最新初中数学证明题辅助线典型做法
- 格式:doc
- 大小:154.00 KB
- 文档页数:4
八年级数学培优训练题
补形法的应用
班级________ 姓名__________ 分数_______
一些几何题的证明或求解,由原图形分析探究,有时显得十分繁难,若通过适当的“补形”来进行,即
添置适当的辅助线,将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形,则能使原问题的本质得到充分
的显示,通过对新图形的分析,使原问题顺利获解。这种方法,我们称之为补形法,它能培养思维能力和
解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例
如下,以供参考。
一、补成三角形
1.补成三角形
例1.如图1,已知E为梯形ABCD的腰CD的中点;
证明:△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。
分析:过一顶点和一腰中点作直线,交底的延长线于一点,构造等面积的
三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。
略证:
2.补成等腰三角形
例2 如图2.已知∠A=90°,AB=AC,∠1=∠2,CE⊥BD,求证:BD=2CE
分析:因为角是轴对称图形,角平分线是对称轴,故根据对称性作出辅助
线,不难发现CF=2CE,再证BD=CF即可。
略证:
3.补成直角三角形
例3.如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=90°,F、G分别
是AD、BC的中点,若BC=18,AD=8,求FG的长。
分析:从∠B、∠C互余,考虑将它们变为直角三角形的角,故延长BA、
CD,要求FG,需求PF、PG。
图3略解:
4.补成等边三角形
例4.图4,△ABC是等边三角形,延长BC至D,延长BA至E,使AE=BD,连结CE、ED。
证明:EC=ED
分析:要证明EC=ED,通常要证∠ECD=∠EDC,但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F,
使BF=BE,连结EF。
略证:
收集于网络,如有侵权请联系管理员删除
二、补成特殊的四边形
1.补成平行四边形
例5.如图5,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD
的中点,并且E、F、G、H不在同一条直线上,求证:EF和GH互相平分。
分析:因为平行四边形的对角线互相平分,故要证结论,需考虑四边形GEHF
是平行四边形。
略证:
2.补成矩形
例6.如图6,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=200m,CD=100m,求AD、BC 的长。
分析:矩形具有许多特殊的性质,巧妙地构造矩形,可使问题转化为解直角三角
形,于是一些四边形中较难的计算题不难获解。
略解:
3.补成菱形
例7.如图7,凸五边形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=2,CD=
DE=4,求其面积
分析:延长EA、CB交于P,根据题意易证四边形PCDE为菱形。
略解:
4.补成正方形
例8.如图8,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAC=45°,BD=3,DC=2。求△ABC的面积。
分析:本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难,如果从题设∠BAC=45°,AD⊥BC出发,可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息,那么问题立即可以获解。
略解:
5.补成梯形图7
图8
图6
收集于网络,如有侵权请联系管理员删除
收集于网络,如有侵权请联系管理员删除
例9.如图9,已知: G 是△ABC 中BC 边上的中线的中点,L 是△ABC 外的一条直线,自A 、B 、
C 、G 向L 作垂线,垂足分别为A 1、B 1、C 1、G 1。求证:GG 1=41
(2AA 1+BB 1
+CC 1)。
分析:本题从已知条件可知,中点多、垂线多特点,联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当,故过D 作DD 1⊥L 于D 1,则DD 1既是梯形BB 1C 1C 的中位线,又是梯形DD 1A 1A 的一条底边,因而,可想到运用梯形中位线定理突破,使要证的结论明显地显示出来,从而使问题快速获证。
略证:
三、练习1、在△ABC 中,AC=BC ,D 是AC 上一点,且AE 垂直BD 的延长线于E ,又AE=1
2
BD ,求证:BE 平分∠ABC 。
2、如图,已知:在△ABC 内,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P 、Q 分别在BC 、CA 上,并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线,求证:BQ+AQ=AB+BP
3、已知:∠BAC=90°,AB=AC ,AD=DC ,AE ⊥BD ,求证:∠ADB=∠CDE
4、设正三角形ABC 的边长为2,M 是AB 边上的中点,
P 是BC 边上的
A
B
Q
C
P
A
B
C
D
E
A
B
C
P
M
图9
收集于网络,如有侵权请联系管理员删除
任意一点,PA+PM 的最大值和最小值分别记为S 和,求:S 2-t 2
的值。
2019届高三数学专题练习外接球
1.正棱柱,长方体的外接球球心是其中心
例1:已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是( ) A .16π
B .20π
C .24π
D .32π
2.补形法(补成长方体)
图2
图3
例2:若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 . 3.依据垂直关系找球心
例3:已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上,底面ABC △满足BA BC ==
π
2
ABC ∠=
,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为( ) A .8π
B .16π
C .
16π3
D .
32π3