专题13一线三等角模型证全等
1．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝
90°，AC＝BC，试回答下列问题：
（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 45 度；
（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．
（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN
与MN之间有什么关系？请说明理由．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∵AB∥MB，
∴∠2＝∠B＝45°，
故答案为45；
（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，
∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．
∴∠1+∠CAM＝90°，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠CAM，
同理：∠1＝∠CBN，
在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），
∴AM＝CN，MC＝BN，
∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；
（3）MN＝BN﹣AM，理由：
同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），
∴AM＝CN，MC＝BN，
∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．2．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的
感知填写出来：
①如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90o，点D为AB中点，则△AED∽ △BDF ；②如图2，△ABC为正三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌ △CFD ；
③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若
AE＝1，CF＝2，则EF的长为 3 ．
【模型应用】
（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，），
则点C的坐标为 （﹣，1） ．【模型变式】
（3）如图5所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求BE的长．
一、八年级数学全等三角形解做题压轴题〔难〕
1. 〔1〕如图〔1〕,：在△ ABC中,N BAC=90.,AB二AC,直线m经过点A, 8口,直 线m, CE J_直线m,垂足分别为点D、E.证实:DE=BD+CE.
〔2〕如图〔2〕,将〔1〕中的条件改为：在△ ABC中,AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上,并且有N BDA=Z AEC=Z BAC=.,其中.为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证实;假设不成立,请说明理由.
〔3〕拓展与应用：如图〔3〕 , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E 三点互不重合〕,点F为N BAC平分线上的一点,且△ ABF和^ ACF均为等边三角形,连接 BD、CE,假设N BDA=Z AEC=Z BAC,试判断△ DEF 的形状.
【答案】(1)见解析(2)成立(3) 4DEF为等边三角形
【解析】
解：(1)证实：BDL直线 m, CEJ_直线 m,,N BDA=N CEA=900.
: Z BAC=90°, /. Z BAD+Z CAE=90°.
•/ Z BAD+Z ABD=90°, /. Z CAE=Z ABD.
又 AB二“AC〞,「・△ ADB合△ CEA (AAS) . /. AE=BD, AD=CE.
/. DE=,,AE+AD=H BD+CE.
(2)成立.证实如下：
: Z BDA =Z BAC=a , /. Z DBA+Z BAD=Z BAD+Z CAE=180°-Or . /. Z DBA=Z CAE.
Z BDA=Z AEC=., AB=AC,「・△ AD於△ CEA (AAS). /. AE=BD, AD=CE.
DE二AE+AD=BD+CE.
(3) △ DEF为等边三角形.理由如下：
由(2)知,△ ADB合△ CEA, BD=AE, Z DBA =Z CAE,
: △ ABF 和^ ACF 均为等边三角形,J Z ABF=Z CAF=60°.
人教版八年级数学上册第12章
全等三角形证明过程训练（讲义、随堂测试、习题）
➢ 课前预习
1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______．
要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．
2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化，请学习下图中的标注．
①如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．
②如图2，在四边形ABCD中，连接BD，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，∠A=∠C．
③如图3，在四边形ABCD中，连接AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=DO．
DCBA
××A BCDOA BCD
图1图2图3
3. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请走通思路后，完整书写过程．
如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB∥CD），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．
➢ 知识点睛
1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________．
2. 已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′． 321DCBA求证：△ABC≌△A′B′C′．
C'B'A'CBA
证明：如图，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中
ABA'B'ACA'C'（已知）（已知）
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
➢ 精讲精练
1. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，则___________≌___________，从而BC________BD．
DCBA
2. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AE=AF，则_____≌______，从而DE=______．
ABCDEF
3. 已知：如图，AB=CD，AF=CE，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．
1等边三角形压轴必考题型归纳
【题型01：等边三角形中动点与全等三角形综合问题】
【题型02：平行法法构造全等三角形】
【题型03：“截长补短法”构造全等三角形】
【方法点拨】
类型一﹑ 平行线法构造全等三角形：通过作平行线来构造全等三角形，这种方法在证明与等腰或等边三角形
相关的性质时非常有用。
类型三﹑ 截长补短法：在证明与三角形边长相关的性质时，可以通过截取或延长某一边，使得其长度等于另一边，从而构造出全等三角形。这种方法在处理三角形的边长关系时非常有用。
【题型01：等边三角形中动点与全等三角形综合问题】
【典例1】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q
从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它
的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
2【变式1-1】如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC
上的动点．
（1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的
速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大
小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由．
（2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的
速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停
止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？
【变式1-2】如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接
