高中数学专题：抛物线 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
抛物线专题复习
一、抛物线的知识点： 标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点 准线
离心率
焦半径 焦点弦公式
()
022
>=p px
y
x
y
O
F
l
()
0,0 x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=
1=e 0
2x p
PF += )(21x x p AB ++=
()022>-=p px
y
x
y
O F l
()
0,0
x 轴 ⎪
⎭⎫ ⎝⎛-0,2p
2p x = 1=e
02x p PF -= )(21x x p AB +-=
()
022>=p py
x
()
0,0 y 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2p y -=
1=e 0
2y p PF += )(21y y p AB ++=
()022>-=p py
x
()
0,0
y 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p
2
p y = 1=e 0
2
y p
PF -=
)(21y y p AB +-=
通径：d 2=
AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 4
2p
，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++
考点1 抛物线的定义
[例1 ]已知点P 在抛物线x y 42=上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为
考点2 抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质
[例3 ]设B A ,为抛物线px y 22=上的点,且O AOB (2
π
=
∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______
[例4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；
（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=⋅→
→FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点
C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型
1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么
||AB =( )
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4
2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11
1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P
成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+
B ． 321y y y =+
C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+
3．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则=+|
|1
||1QF PF （ ） （A ）a 2 （B ）
a 21 （C ）a 4 （D ）a 4 5．已知抛物线C ：2
4y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△
AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( )
A ．(2,22)
B ．(2，－22)
C ．(2，±2)
D ．(2，±22)
6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则
=∠11FB A （ ）
A. 45
B. 60
C. 90
D. 120
7．两个正数a 、b 的等差中项是9
2
，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为（ ）
A ．1(0,)4-
B ．1(0,)4
C ．1(,0)2-
D ．1(,0)4
-
8．抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3
π
的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（ ）
A ．33
B ．34
C ．36
D ．38
9．已知抛物线C ：2
1
2
x y =,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )
A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B. 22
(,)(,)22
-∞-
+∞ C ．(,22)(22,)-∞-+∞ D ．(,22)(2,)-∞-+∞ 10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）． A ．5 B ．6 C ． 7 D ．9
11．设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为
60，则OA 为 ．
12．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =
13．若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线2
213
x y -=的右焦点重合,则p 的值
14．(文)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|FA |＝3，则抛物线的方程是________．
15．抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点M ,为准线与y 轴的交点A ,为抛
物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程．
16．在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标．
17．设抛物线22y px =(0p >)的焦点为,F 经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．
18．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程．
19．椭圆12222=+b y a x 上有一点)5
9
,4(-在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛
物线的焦点也是椭圆焦点.
(理)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的
直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、
