第六章 数列【例6.1 变式1】解析 解法一：利用基本量法求解，设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则11241037a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以d =2.故选B.解法二：利用等差数列的性质求解.因为在等差数列{a n }中，153210a a a +==，所以35a =，又47a =，所以公差432d a a =-=.故选B. 【例6.1 变式2】解析 由已知心有0d <，故排除C ； 又由151611a a ≥⎧⎨<⎩得1114311411531151a d d a d d +=+≥⎧⎨+=+<⎩解出152.7d -≤<-故选B.【例6.2 变式1】解析 设{a n }的公比为q ，由1234,2,a a a 成等差数列知21344a a a =+，即211144a q a a q =+，且11a =，故244q q =+得2q =.所以4414(1)1(12)15112a q S q -⨯-===--.故选C. 【例6.2 变式2】解析 利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解.423423443232S S a a a a a a =++=+++=+，将23242,a a q a a q ==代入得，2222223232a a q a q a q +++=+，化简得2230q q --=，解得31()2q q ==-或舍去.【例6.2 变式2】解析 解法一：等比数列{a n }的公比1q ≠（因为11213111,,24,39(0)q S a S a S a a ====≠不成等差数列），由123,2,3S S S 成等差数列，得2134=+3S S S ，即21111114(+)=3()a a q a a a q a q +++，解得13q =. 解法二：由123,2,3S S S 成等差数列， 得2134=+3S S S ，21323()S S S S -=-，233a a =，3213a q a ==. 评注 等比数列{a n }的前n 项和为n S ，若12,(1),(2)n n n kS k S k S ++++成等差数列0k >，则122(1)(2),n n n k S kS k S +++=++得12(2)2n n k ka k a q k ++=+⇒=+. 【例6.3 变式1】解析 利用等差数列的性质及通项公式求解.因为等差数列{a n }中，263456,+++=0S S a a a a =则，即45+=0a a ，又45=1,=-1a a 得， 所以54-2d a a =-=，则4(4)(2)02(*)n a a n n n N =+-⨯-=-∈ 【例6.3 变式2】解析 设{}n a 的公比为q ，则2211213112,22,44b a b a q q b a q q =+==+=+=+=+，由123,,b b b 成等比数列得22(2+)2(4)q q =+，即2440q q -+=解得2,q =所以{}n a 的通项公式为12(*)n n a n N -=∈.【例6.4 变式1】解析 当n =1时，118,2a S n ==-≥当时，由221=(9)[(1)9(1)]n n n a S S n n n n --=-----，求得210,n a n =-此式对于1n =也成立.要满足58,k a <<只需52108,k <-<从而有159,2k <<而*,k N ∈因此8.k = 【例6.4 变式2】解析 当n =1时，得111,a S a ==-当2n ≥时，111(1)(1)(1)n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-⋅（2,1n n ≥=时也成立）1(1),0.n n a a a a -⇒=-≠当1a =时， 0n a =，{}n a 为等差数列；当1a ≠时，{}n a 为等比数列，首项为1,a -公比为a. 故选C.评注 本题还可以使用结论法，当1a =时， {}n a 为等差数列，当1a ≠时，因为n S 系常互反的指数函数，故{}n a 为等比数列. 【例6.5 变式1】解析 由数列{}n a 为等比数列，得2243a a a ==1， 31a =±，又{}n a 为正项数列，所以31,a =126a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，得2116q q+=，即2610q q --=，得13q =-（舍）或12q =.311214[1()](1)24,1112nn n a a q a S q q --====--=318(*)2n n N --∈. 【例6.5 变式2】解析 解法一：328,q ==利用公式31041)2282,()(81).1187n n n n a a q S f n q ++--⋅===--- P 435解法二：利用1(1)1n n a q S q-=-，442(18)2()(81)187n n f n ++-==-- （指数1,4,7,10,,310n +L 成等差数列，31013(41)n n +=++-，故一共有4n +项）. 解法三：当1n =时，471013()(1)22222f n f ==++++=1331616322222227712---==--g 52(81)7=-，只有D 符合.故选D. 评注 等比数列的求和公式111(1).(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩利用1(1)(1)1n n a q S q q-=≠-时，要特别注意项数n 的问题，本题中的项143102,2,,2n +L 共有4n +项（指数1,4,7,10,,310n +L 成等差数列，3101(1)3,n n '+=+-⨯得4n n '=+）但使用1(1)1n n a a qS q q-=≠-即解法一不必考虑项数，只需知首项1a 、末项n a 及公比q 即可，这样计算等比数列的前n 项和n S 会更加简捷. 【例6.6变式1】解析 当1q =时，31333S a a ==，符合题目条件；当1q ≠时，由32131(1)31a q S a q q -==-，因为10a ≠，所以2213q q q ++=，2210q q --=，(21)(1)0q q +-=，解得12q =-.综上，公比q 为1或12-.【例6.6变式2】解析 当0x =时，1n S =；当1x =时，2(121)1357(21)2n n n S n n +-=+++++-==L ；当0x ≠且1x ≠时，2311357(21)n n S x x x n x -=+++++-L ①所以2341357(23)(21)n nn xS x x x x n x n x -=+++++-+-L ② 两式相减得231(1)12()(21)n nn x S x x x x n x --=+++++--L1(1)12(21)1n n x x n x x--=+⋅---11(1)(21)(1)2111n n x x x n x x x x x -----=+⋅---- 1(21)(21)11n n n x n x x x+--+++=-，所以12(21)(21)1(1)n n n n x n x x S x +--+++=-. 又当0x =时，1n S =符合上式，综上，212(1)(21)(21)(1)(1)n n n n x S n x n x x x +⎧=⎪=⎨--+++⎪-⎩.【例6.7变式1】解析（1）当n 为偶数时，241353[2(1)1]3nn S n =+++++--+L ，所以2224(123)3(19)2[15(23](333)219n n n n n S n +--=+++-++++=+-L L (1)9(31)28n n n -=+-.（2）当n 为奇数时，则1n +为偶数，所以11n n n S S a ++=-=111(1)9(1)9(31)3(31)2828n n n n n n n ++-++=+--=+-.综上，1(1)9(31)()28.(1)9(31)()28n n n n n n S n n n -+⎧+-⎪⎪=⎨-⎪+-⎪⎩为正奇数为正偶数 【例6.8变式2】解析 （1）由{}n a 为等差数列，102523,22a a ==-得2510315a a d -==-， 则23103353,02n n n n a n S -+=-+=<，得10313103,3433n n >>=，故最小正整数n 为35.（2）1(1)533n a a n d n =+-=-，当17n ≤时，231032n n n nT S -+==；当18n ≥时，21731032S 8842n n n nT S -=-=+. 故2*2*3103(17,)2.3103884(18,)2n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤∈⎪⎪=⎨-⎪+≥∈⎪⎩【例6.8变式2】解析（1）设等差数列的前三项为123,,a a a ，公差为d 则123233a a a a ++=-=，21a =-，1238a a a =，故138(1)(1)a a d d =-=---+，得29,3d d ==±.所以由等差数列通项公式可得1(2)337n a n n =-+-⨯=-或13(2)35n a n n =---=-+.（2）当35n a n =-+时，231,,a a a 分别为1,4,2--，不成等差数列；当37n a n =-时，231,,a a a 分别为1,2,4--，成等差数列，满足条件.故37,1,23737,3n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≤且*n N ∈时，231122n S n n =-+；当3n ≥且*n N ∈时，212331110.22n n S a a a a n n =--+++=-+L则2*2*311,2,22.31110,3,22n n n n n N S n n n n N ⎧-+≤∈⎪⎪=⎨⎪-+≥∈⎪⎩ 【例6.9变式1】解析 利用等差数列的性质求解. 因为数列{}n a ，{}n b 都为等差数列， 所以3153152,2,a a a b b b =+=+3311552()42()()a b a b a b +==+++，得5542735a b +=-=. 【例6.9变式2】解析 因为{}n a 为等差数列，486216a a a +==，所以68a =，则1161188S a ==.故选B.【例6.9变式3】解析 由1479112()3()24a a a a a ++++=，得4106624a a +=，4104a a +=724a ⇒=，72a =，1371313226S a ==⨯=.故选B.【例6.9变式4】解析 解法一：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则38129,a a a d +=+573a a +114182(29)20a d a d =+=+=.解法二：由于{}n a 为等差数列，得5756383222()20.a a a a a a +=+=+= 【例6.10变式1】解析 由等差数列的性质知，4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列，令48,3S k S k ==，则842S S k -=，1283S S k -=，16124S S k -=，则1610S k =，所以816310S S =.故选A. 【例6.10变式2】解析 由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，可知36396,,S S S S S --成等差数列，则可设633,(0)S k S k k ==≠，则263396()()S S S S S -=⨯-得97S k =，故9673S S =.故选B. 【例6.11变式1】解析 设*21()n k k N =+∈，则12121,,,,,k k k a a a a a ++L L 的中间项为1k a +，211(21)33717=S 6n k k S S k a S k k ++==+=⎧⎪+⎨=⎪⎩奇偶解得13173776,29.1313k S k a a +=====即中间项为29. 【例6.11变式2】 解析2121(21)7(21)451438719127(21)(21)32211n n n n n n a n a A n n n b n b B n n n n ----+++======+--++++，因此 12,3,4,6,12n +=，故1,2,3,5,11n =，共5个数.故选D.【例6.12变式1】解析 因为数列{}n a 为递增数列，所以()n a f n =在*N 上单调递P 436增，故()f n 在{}1,2,,7L 与{}8,9,10,L 上分别递增，且(7)(8)f f <，故863017(3)3a a a a -->⎧⎪>⎨⎪--<⎩，即23a <<，故a 的取值范围是(2,3)，故选C.【例6.13变式1】 解析 由101111101010a a a a a +<-⇒<，{}n a 为等差数列且其前n 项和n S 有最小值，故0d >，因此1010110,0a a a <+>，故1910190S a =<，如图6-5所示，120201011()2010()0.2a a S a a +⨯==+>因此当n S 取得最小正值时，20n =，故选D.【例6.13变式2】 解析由101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩可得{}n a 为递增数列，即*1()n n a a n N +>∈，反之1n n a a +>不一定得到1001a q <⎧⎨<<⎩，故“10a <且01q <<”是“对于任意都有1n n a a +>”的充分不必要条件.【例6.13变式3】解析1n a ===*1n N =∈，当[]1,8n ∈时，{}n a 单调递增，且1n a >；当[)9,n ∈+∞时，{}n a 单调递增，且01n a <<，所以数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是98,a a .故选D. 【例6.14变式1】解析 （1）142n n S a +=+①*142(2,)n n S a n n N -=+≥∈②由①-②得1144n n n a a a +-=-，所以1112242(2)n n n n n n a a a a a a +---=-=-.当1n =时，211224265S a a a a =+==+⇒=，所以2125230,a a -=-=≠所以11222n n n n a a a a +--=-，令12n n n b a a +=-，所以*12(2,)n n bn n N b +=≥∈，故数列{}n b 是等比数列.（2）因为数列{}n b 是等比数列，12121312()233b a a S S a S a =-=--=-=.所以1111211(2)2322n n n n n n b b q a a a a ---+=⋅=-⋅=⋅=-，则11232n n n a a -+-=⋅，所以113.224n n n n a a ++-= 令2n n na c =，又0n S ≠，故134n n c c +-=， 因此数列{}n c 是等差数列. 【例6.14变式2】解析 由12n n n a S n ++=得12n n n n S S S n++-=， 所以1222(1)n n n n n S S S n n+++=+=，所以121n n S S n n +=⨯+ 又1110S a ==≠，因此数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列. 【例6.14变式3】解析 1()n n a f a -=，所以1()n n f a a +=，已知11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，所以11()n n n n a a k a a +--=-，又1(*)n n n b a a n N +=-∈，则11n n n b a a --=-，1n n b kb -=且1210(2,*)b a a n n N =-≠≥∈1(0)nn b k k b -=≠，所以数列{}n b 是等比数列. 【例6.15变式1】解析 （1）依题意，设公比不为1的等比数列的公比为q ，由534,,a a a 成等差数列，得3452a a a =+，所以23332a a q a q =+，得22q q =+，解得1q =（舍）， 2.q =-（2）要证明对任意*k N ∈，21,,k k k S S S ++成等差数列，只需证明122(*).k k k S S S k N ++=+∈因为2121`1212()()k k k k k k k k k k S S S S S S S a a a ++++++++-=-+-=++`1`12(2)0.k k a a ++=+-=所以对任意*k N ∈，21,,k k k S S S ++成等差数列. 或利用求和公式展开.2111121(1)(1)2(1)2111k k k k k k a q a q a q S S S q q q ++++---+-=+----12211(222)(2)011k k k k a q q q a q q q q q++---+--===--，因此对任意*k N ∈，21,,k k k S S S ++成等差数列. 【例6.15变式2】解析 先证必要性.设数列{}n a 的公差为d ，若0d =，则所述等式显然成立. 若0,d ≠则12231111n n a a a a a a ++++L 32121122311()n n n n a a a a a a d a a a a a a ++---=+++L 122311111111()()()n n d a a a a a a +⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦L 111111111111().n n n n a a n d a a d a a a a ++++-=⋅-=⋅= 再正充分性.依题意有1223111111n n n n a a a a a a a a +++++=L ① 12231121211111n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++++=L ② ②-①得12121111,n n n n n na a a a a a +++++=-在上式两端同乘112n n a a a ++，得112(1)n n a n a na ++=+-③ 同理可得11(1)n n a na n a +=--④③-④得122()n n n na n a a ++=+，即211n n n n a a a a +++-=-， 所以{}n a 为等差数列.评注 本题考查等差数列、充要条件等有关知识和推理论证、运算求解能力.求解时，必要性证明的关键是利用裂项相消的方法，充分性证明的关键是利用递推关系推导出等差数列的定义.【例6.16 变式1】解析 {}n a 是正项等比数列，数列{log }c n a (0,1)c c >≠是等差数列， 故313103132310(log log )10log log log 2a a a a a +⨯++⋅⋅⋅+=311035635log 5log 5log 8120.a a a a ====故选B.【例6.16 变式2】解析 因为{}n a 是正项等比数列，所以2{log }n a 是等差数列. 故212212123221(log log )log log log 2n n a a na a a --+++⋅⋅⋅+=22252252(log log )log 2.22n n a a n nn -+===故选C.【例6.16 变式2】分析 {}n a 为公比大于1的等比数列，取对数后31{ln }n a +为等差数列，因此T n 为等差数列的求和计算.解析 （1）由已知得1231327,(3)(4)32a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩解得22a =.设数列{}n a 的公比为q ，由22a =可得1332,2,7a a q S q===又， 可知2227,q q ++=即22520,q q -+=解得12.2q =或 由题意得1,q >所以 2.q =由22,a =可得1 1.a =P 437故数列{}n a 的通项为12.n n a -=（2）由于31ln (1,2,)n n b a n +==L ，由（1）得3312nn a +=，所以31ln 3ln 2.n n b a n +== 故112()(3ln 23ln 2)3(1)ln 2.222n n n b b n n n n n T b b b +++=+++===L 【例6.17变式1】分析 利用,a d 将n b 表示出来，然后根据124,,b b b 成等比数列，得到a 与d 的关系，可验证2.nk k S n S =解析 由(1)2n n n S na d -=+，得1.2n n S n b a d n -==+又因为124,,b b b 成等比数列，所以2214b b b =，即23()()2d a a a d d +=+，化简得220.d ad -=因为0d ≠，所以2.d a =因此，对于所有的*m N ∈，有2.m S m a =从而对于所有的,*k n N ∈，有2222().nk k S nk a n k a n S ===【例6.18变式1】解析 因为1200920081006,,,,a a a a L 是公比为d 的等比数列，从而22009120081,a a d a a d ==，由20082009112a a a +=， 得2211112,120a d a d a d d +=+-=，解得3d =或 4.d =-又1200920081006,,,,a a a a L 均为正数，故3d =或4d =-（舍）从而11005n ≤≤时，2(2)53(2)3 1.n a a n d n n =+-=+-=-而当10062009n ≤≤时，由1200920081006,,,,a a a a L 是公比为3的等比数列，1120092,23a a ==⨯，210042008100623,,23a a =⨯=⨯L ，观察指数规律得2009(1)201020101123(10062009).n n n n a a da d n ----===⨯≤≤ 因此，201031(11005).23(10062009)n nn n a n --≤≤⎧=⎨⨯≤≤⎩【例6.19变式1】解析 先设等差数列12,,,n a a a L 的公差为d ，存在,*k l N ∈，1,k l a a ==1()l k a a l k d =-=-，即1d l k-=-. 如果数列{}n a 中有不同的三项,,m n p a a a 构成等比数列，则1()(),m k k a a m k d a m k l k =+-=+-⋅-()()n k k a a n k d a n k =+-=+-1()().p k k a a p k d a p k l k-=+-=+-⋅- 不妨设,,,m k n k p kM N P l k l k l k---===---则11),11),11).m n p a M a N a P =+=+-=+ 由,,m n p a a a 成等比数列，故2.n m p a a a =⋅所以211)11)11),N M P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦化简得 22(132)2)(13)2)N N N N P M MP P M MP +-+-=--+++-213213N N P M MP ⇒+-=--+①2222N N P M MP -=+-②①+②得2N MP =，代入②中，2222N PM P M MP N P M -=+-⇒=+，2222(2)()44()0N P M N PM P M P M =+==⇒-=⇒=，则P M N ==，可得m n p ==，与假设矛盾，因此命题得证.评注 本题实质上是例6.19的特例，由例6.19可直接推出本命题. 【例6.20 变式2】分析 通过观察1(2)k a k -≥的变化规律11151,,,,,,643122⋅⋅⋅能求出1k a -的通项公式；同时通过前6个式子，不难发现2k a -的规律.解析 1(2)k a k -≥的变化规律为11151,,,,,,643122⋅⋅⋅1(2)k a k -≥，即23456,,,,,,1212121212⋅⋅⋅分子成等差数列，故能求出1k a -的通项公式， 1,12k ka -=由前6个式子，当2k =时，没有常数项，当3k =时，没有一次项， 当4k =时，没有平方项，当为k 时，没有2k -项，故2k a -=0. 【例6.21 变式】解析 由已知211213212,2,2,,2(2,*).n n n n n n a a a a a a a a n n N -+--==-=⋅⋅⋅-=≥∈即有故12112(12)22212n n n a a ----=++⋅⋅⋅+=-=2 2.n -且12a =，所以1222(2,*),1n nn a a n n N n =-+=≥∈=且时，12a =也满足上式. 故2(*).nn a n N =∈【例6.21 变式2】分析 递推公式满足1()n n a a f n +=+的形式，其中1()ln(1)f n n=+，用叠加法求解. 解析 11ln(1)ln(1)ln n n n a a a n n n+=++=++-，即1ln(1)ln n n a a n n +-=+-， 故21321ln 2ln1,ln 3ln 2,ln ln(1)(2)n n a a a a a a n n n --=--=-⋅⋅⋅-=--≥， 叠加得1ln ln1ln (2)n a a n n n -=-=≥，故1ln 2ln n a n a n =+=+，且当1n =时，12a =也满足上式.故选A. 【例6.21 变式3】解析 （1）证明：由题设11(1)(2),n n n a q a qa n +-=+-≥得11()(2)n n n n a a q a a n +--=-≥， 即1(2)n n b qb n -=≥.又1211,0,b a a q =-=≠所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列.（2）由（1）知02132121(1),(2)n n n n n a a q a a qb q n a a q n ---⎧-=⎪-=⎪=≥⎨⋅⋅⋅⎪⎪-=≥⎩故.将以上各式相加，得121111(1,2)1n n n q a a qq n q----=++⋅⋅⋅+=≠≥- 所以111(1)(2,*),1n n q a q n n N q--=+≠≥∈-当n =1时，11a =，满足2,*n n N ≥∈时的形式；当q =1时，{}n a 是差为1的等差数列，所以(*)n a n n N =∈.故111,(1)1,(1)n n q q a qn q -⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩. 【例6.21 变式4】解析 （1）1232,2,23,a a c a c ==+=+因为123,,a a a 成等比数列，所以2(2)2(23),c c +=+解得c =0或c =2.当c =0时，123,a a a ==公比为1，不符合题意，故c =2.（2）当2n ≥时，有21321,2,,(1),n n a a c a a c a a n c --=-=⋅⋅⋅-=- 所以1(1)[12(1)],2n n n ca a n c --=++⋅⋅⋅+-=又12,2a c ==，故22(1)2(2,3,)n a n n n n n =+-=-+=⋅⋅⋅， 当n =1时，上式也成立，所以22(*)n a n n n N =-+∈.【例6.21 变式4】 解析 由12n n a n a n ++=变形得111n n a n a n -+=-，从而122n n a na n --=-，⋅⋅⋅，2131a a =，故12321123211143(1).123212n n n n n n n a a a a a a n n n n n a a a a a a n n n -----+-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=---g g g 且11a =，故11(1)(2,*).2n n a n n a a n n N a +==≥∈g 且n =1时， 11a =也满足上式.故通项公式为(1)(*).2n n n a n N +=∈ 【例6.23 变式1】解析 由1132,3(),n n n n a a a a λλ--=++=+设即132,n n a a λ-=+ 比较132n n a a -=+得1λ=，故113(1).n n a a -+=+因此数列{1}n a +是首项为2，公比为3的等比数列，所以1231(*)n n a n N -=⋅-∈.【例6.25 变式1】解析 （1）证：由已知122nn n a a +=+得1112211222n n n nn n n n n a a a b b ++-+===+=+， 又111,b a ==因此{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）知112311,2,122324222n n n n n n a n a n S n ---==⋅=+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅即 P 439两边同乘以2，得2322223222nn S =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅②②－①得：12112222(21)2(1)21n n n n n n S n n n -=----⋅⋅⋅-+=--+⋅=-⋅+.【例6.26 变式1】 解析 由题意设13,21n n n a a a +=+得11211211()1333n n n nn na a a a ap q a +++==+=⋅+形如型.即11111121(1),1.33n n a a a +-=--=又故1{1}n a -是以23为首项，以13为公比的等比数列. 所以1121212231(),1,33333n n n n n n n a a -+-=⋅==+=所以3(*)32nn na n N =∈+. 【例6.26 变式2】分析 式中含有形如1n n S S -和的分式形式，考虑利用倒数变换求其通项公式. 解析11121112,n n n n S S S S ---+==+所以1{}n S 是首项为1，公差为2的等差数列.所以1112(1)21,.21n n n n S S n =+-=-=-即 所以111(2,*).2123n n n a S S n n N n n -=-=-≥∈-- 且当n =1 时，a 1=1不满足上式，所以1(1),11(2,*),2123n n a n n N n n =⎧⎪⎨-≥∈⎪--⎩. 【例6.27 变式1】解析 依题意，2110,10,10,n n n a a a a +>==⋅由得2111lg lg(10),lg 12lg ,lg 12(lg 1)n n n n n n a a a a a a +++=⋅=++=+即，故数列{lg 1}n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，lg 12,lg 21,n nn n a a +==-得所以2110(*)n n a n N -=∈.【例6.28 变式1】解析 （1）由已知142(1)n n S a n +=+≥ ① 可得142(2),n n S a n -=+≥②①－②得1144(2),n n n a a a n +-=-≥即1122(2),n n n n a a a a +--=-所以12(2),n n b b n -=≥可知数列{}n b 是等比数列，且首项为12123,b a a =-=公比为2.所以132(*).n n b n N -=⋅∈（2）1111111()23232n n n n n c a a --+===⋅-⋅为等比数列，得21(1).32nnT =- （3）由（1）132,n n b -=⋅即11232,n n n a a -+-=⋅所以111113233..22244n n n n nn n n a a d d -++++⋅-==-=即 所以数列{}n d 为等差数列，且首项1113,,224a d d ===公差 所以2010160292009.4d d d =+=评注 本题中的第（3）问难度较大.若应用“目标意识”引领我们的解题思路，则题目的求解变得很简单，也就是由题目中有2n n a 这种形式，想到在11232n n n a a -+-=⋅基础上，两边同除以12n +，即达到转化目的。
