2017届高三数学二轮复习第一部分基础送分题题型专题三平面向量教师用书理

题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2016·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0， 解得x >12或x <－32，故选A.3．(2016·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2016·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2016·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4. [技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2016·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2016·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2， －3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2016·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线 2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2016·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2016·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2016·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2016·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6．(2016·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2016·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤a x 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2016·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2016·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c－b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2016·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2016·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2016·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2016·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________． 解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1x c ＋1x<0，故得－1<1x <－13或12<1x <1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)． 答案：(－3，－1)∪(1，2)。

大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
1．(2020·西安模拟)下列命题正确的是( C )
核
心
A．若|a|＝|b|，则 a＝b
考
点 突
B．若|a|>|b|，则 a>b
破
C．若 a＝b，则 a∥b
D．若|a|＝0，则 a＝0
高
考
[解析] 对于 A，当|a|＝|b|，即向量 a，b 的模相等时，方向不一定相同，故 a＝b 不
cos30°＝3.故选 A.
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与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
6．(2020·太原二模)如图所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝4π，
核 心 考
若A→B·A→C＝2A→B·A→D，则A→D·A→C＝___1_2____.
点
突
破
高 考 真 题 体 验
A．1
1 B.2
C．－12
D．－1
体
验
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与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
[解析] 由题图可设C→G＝xC→E(x>0)，则C→G＝x(C→B＋B→E)＝xC→B＋12C→D＝2xC→D＋xC→B.
核 心 考 点
因为C→G＝λC→D＋μC→B，C→D与C→B不共线，所以 λ＝2x，μ＝x，所以μλ＝12.
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与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
2．(2020·山东临沂一中月考)已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为 60°，向量 m＝5e1
核 －2e2，则|m|＝( A )
心 考
A. 19 B. 21 C．2 5 D．7

第三编 平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景．(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义． (3)理解向量的几何表示． 2．向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义． 3．平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义． (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． (4)理解用坐标表示平面向量共线的条件． 4．平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义． (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．(4)能运用数量积求两个向量的夹角的余弦值，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．知识能力解读知能解读 (一)基本概念(1)向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)向量的大小：向量AB 的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作AB ．(3)向量的两个要素：大小和方向．(4)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0．(5)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．(6)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(也叫做共线向量)，记作P a b ．规定零向量与任一向量平行．(7)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 用有向线段表示的向量a 与b 相等，记作=a b ．说明：(1)零向量与零向量相等．(2)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．(8)相反向量：长度相等且方向相反的两个向量叫做相反向量．向量a 与向量b 相反，记作=-a b ．2．向量的表示法(1)几何表示法：用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB． (2)字母表示法：用一个小写字母表示，如a ，b ，c ．注：印刷用黑体a ，书写用a．(3)坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j作基底，则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使x y =+a i j ，就把(),x y 叫做向量a 的(直角)坐标，记作(),x y =a ．说明：(1)x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)()1,0=i ，()0,1=j ，()0,0=0．(二)向量的运算1．向量的加法 (1)运算法则①向量法：三角形法则、平行四边形法则(如图)．三角形法则 平行四边形法则说明：三角形法则适用于向量首尾相接的情况，平行四边形法则适用于向量共起点的情况．②坐标法：若()11,x y =a ，()22,x y =b ，则()1212,x x y y +=++a b ． (2)运算律①交换律：+=+a b b a ．②结合律：()()++=++a b c a b c ．(3)重要结论①多边形法则：围成一周的首尾顺次相接的向量的和为0，如图，AB BC CD DE EA ++++=0．C②+=+=00a a a ．③在ABC ∆中，BC 的中点为D ，则()12AD AB AC =+． 2．向量的减法 (1)运算法则①向量法：三角形法则，如图所示．三角形法则②坐标法：若()11,x y =a ，()22,x y =b ，则()1212,x x y y -=--a b ．区别于“若()11,A x y ，()22,B x y ，则()1121,AB x x y y =--”． (2)重要结论①()--=a a ，()()+-=-+=0a a a a ． ②()-=+-a a a b ．3．实数与向量的积(向量数乘)(1)定义:一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①λλ=a a ．②当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，λ=0a ．(2)坐标表示：若(),x y =a ，λ为实数，则(),x y λλλ=a ． (3)运算律：设λ，μ为实数，a ，b 为向量． ①结合律：()()λμλμ=a a ； ②第一分配律：()a λμλμ+=+a a ； ③第二分配律：()λλλ+=+a b a b ． 4．平面向量的数量积 (1)定义①夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA = a ，OB =b ，则()0180AOB θθ∠=︒︒≤≤︒叫做向量a 和b 的夹角．．(如图)．A显然，当0θ=︒时，a 与b 同向；当180θ=︒时，a 与b 反向；当90θ=︒时，我们说a 与b 垂直，记为⊥a b ．②数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则cos θa b 叫做a 和b 的数．量积．．(或内积)，记作⋅a b ，即cos θ⋅=a b a b ． ③投影：()cos cos θθa b 叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影． (2)坐标表示设()11,x y =a ，()22,x y b =，则1212x x y y ⋅=+a b ． (3)运算律①交换律：⋅=⋅a b b a ；②结合律：()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b ； ③分配律：()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ．点拨：两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与两个数的乘法是不同的． (1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与其夹角余弦值的乘积．(2)当≠0a 时，由0⋅=a b 不能推出=0b ，这是因为对任意与a 垂直的非零向量b 都有0⋅=a b ．(3)已知非零实数a ，b ，c ，则ab bc a c =⇒=，但对于向量该推理就是不正确的，即⋅=⋅⇒a b a c =a c ．如图，由于a ，c 在b 上的投影相等，所以⋅=⋅a b b c ，但≠a c ．(4)对于实数a ，b ，c ，有()()a b c ab c =，但对于向量a ，b ，c ，()()⋅⋅≠⋅⋅a b c a b c ．因为()⋅⋅a b c 表示一个与c 共线的向量，而()⋅⋅a b c 表示一个与a 共线的向量，且c 与a 不一定共线，所以()()⋅⋅≠⋅⋅a a a a b c ．(4)重要性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，()11,x y =a ，()22,x y =b ，则①cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②⊥⇔⋅=a b a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ． ③当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ．特别地，2⋅=a a a 或==a④cos θ⋅==a ba b．⑤⋅≤a b a b ． (三)定理与公式1．向量共线(平行)定理向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=b a ．说明：定理中限定了≠0a ，因为如果=0a ，则λ=0a ，当=0b 时，λ有无数个值；当≠0b 时，λ不存在．2．平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122λλ=+a e e ．我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 说明：由于1e ，2e 为不共线向量，所以1≠0e ，2≠0e ． 3．两个向量平行的充要条件设()11,x y =a ，()22,x y =b ，λ为实数． (1)向量式：()λ≠⇔=0P a b b a b ． (2)坐标式：()12210x y x y ≠⇔-=0P a b b ． 4．两个向量垂直的充要条件设a ，b 为两个非零向量，且()11,x y =a ，()22,x y =b ，则 (1)向量式：0⊥⇔⋅=a b a b ．(2)坐标式：12120x y y ⊥⇔+=a b x ． 5．两点间的距离公式12PP =()111,P x y ，()222,P x y ． 解题方法荟萃Ⅰ．数学思想方法思想方法 (一)数形结合思想 (二)转化思想(三)函数与方程思想 (四)待定系数法 (五)向量法Ⅱ．解题规律技巧规律技巧 向量法解三点共线问题 Ⅲ．易混易错辨析易混易错 认为“,a b 为锐角()cos ,0⇔>a b ”及“,a b 为钝角cos ,0⇔<a b ”致误高考命题研究从近几年高考试题看，本编内容在高考中考查的热点有两个方面：一是向量的基本概念、基本运算；二是平面向量的数量积，主要考查平面向量数量积的运算、求模、求夹角及垂直问题，即用向量知识解决解析几何、立体几何、三角函数、代数中的综合问题．分析近几年的高考试题对本编内容的考查有如下趋势：(1)考查向量的基本运算、向量平行或垂直的充要条件，难度不大，多以选择题、填空题的形式出现；(2)以向量为载体，对其他知识综合考查一直是高考的热点，此类问题多以解答题的形式出现，综合性较强，但向量只是起工具作用，其应用难度不大． 高考热点 (一)向量的线性运算与坐标运算 (二)平面向量的数量积及应用 (三)与平面向量有关的综合题 附录 常用公式定理1．常用公式设a ，b 表示向量，且()11,OA x y == a ，()22,OB x y ==b ，λ表示实数．(1)加法：()1212,x x y y +=++a b ． (2)减法：()1212,x x y y -=--a b ． (3)数乘：()11,x y λλλ=a ． (4)数量积：1212x x y y ⋅=+a b ．(5)平行关系：12210y x y ⇔-=P a b x ． (6)垂直关系：12120x y y ⊥⇔+=a b x ．(7)中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎨+⎪=⎩． (8)三角形重心坐标公式：12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎨++⎪=⎩，其中()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 为三角形三顶点的坐标．(9)长度公式①=a②AB =(10)角度公式：cos θ⋅==a ba b，其中θ为a 与b 的夹角．2．常用定理(1)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122λλ=+a e e ．(2)两向量共线定理向量()≠0a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=b a ． (3)两向量垂直定理向量a 与向量b 垂直的充要条件是0⋅=a b ．。

专题测标题7 平面向量一．选择题(每小题5分)1．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF ( )（A ）1122AB AD + （B ）1122AB AD -- （C ）1122AB AD -+ （D ）1122AB AD - 2．（2010·全国）a →，b →为平面向量，已知a →＝(4,3), 2a →＋b →＝(3,18)，则a →，b →夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－1665 3．（2012全国理6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →=a →,CA →=b →, 若a →·b →=0，|a →|=1，|b→|=2，则AD →=( )A 13a →－13b →B 23a →－23b →C 35a →－35b →D 45a →－45b → 4．已知向量(2,1)a =r ，(1,)b k =r ，且a r 与b r 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是（ ）A ()2,-+∞B 11(2,)(,)22-+∞ C (,2)-∞- D (2,2)- 5．已知向量a →＝(sin(α＋π6),1)，b →＝(4,4cos α－3)，若a →⊥b →，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34B ．－14 C.34 D.14二、填空题（每小题5分）6．.【2015江苏6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______.7.（2010浙江）已知平面向量a →、b →，若|a →|=1，|b →|=2，a →⊥(a →－2b →)，则|2a →+b →|的值是________8．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ．三、解答题（每题10分）9．【2015广东16】在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2m ⎛= ⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．10．已知向量m →＝(3sin x 4，1)，n →＝(cos x 4，cos 2x 4)． (1)若m →·n →＝1，求cos(2π3－x )的值； (2)记f (x )＝m →·n →，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．附加题：（2016浙江）已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12。