大一上学期 第一学期 高数期末考试题及答案
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高等数学I (大一第一学期期末考试题及答案)
1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是
无穷小. (A) ()()x x βα+
(B)
()()x x 22βα+ (C)
[])()(1ln x x βα⋅+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1
(B ) e
(C ) a
e
cot (D ) a
e
tan
3.
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1
(B ) 0
(C ) e (D ) 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么=
--+→h h a f h a f h )2()(lim 0( A ). (A ) )(3a f ' (B ) )(2a f '
(C) )(a f ' (D ) )
(31
a f '
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5. 极限)
0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由
x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y x
xe ye x y
x xy
xy
ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直
线l 的方程为 13
121
1--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 (-?,0)和(1,+? ) .
三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解:1
1
ln(1)120
00(1)1
ln(1)lim
lim lim
2x x x
x x x x e e
x x e
e e x x
x +-→→→+--+-===-
10. 设)(x f 在[a ,b ]上连续,且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=⎰,试求出)(x F ''。
解:
⎰⎰-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
11. 求
3cos .sin x
x
dx x ⎰
解
:
2
3cos 1sin sin 2x x
dx xd x x -=-⎰⎰2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+⎰
四、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)
12. 求
⎰
-2
3
2
21
x x dx . 13. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点. 解:函数的定义域(-?,+?)
令0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点,0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点
极大值1)1(=y ,极小值1)1(-=-y
0=''y 33故拐点(-3,-23),(0,0)(3,23
)
14. 求由曲线43x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积.
15. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -,(3,5)B -,在弧 A B 上,求一点
(,)P x y 使ABP ∆的面积最大.
六、证明题(本大题4分)
16. 设0x >,试证x x e x +<-1)1(2.
证明:设
0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ,x xe x f 24)(-='',0)(,
0≤''>x f x ,因此)(x f '在(0,
+?)内递减。在(0,+?)内,)(,0)0()(x f f x f ='<'在(0,+?)内递减,在(0,+?)内,),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x
亦即当 x >0时,x x e x
+<-1)1(2 试证
x x e x +<-1)1(2.