圆与方程-2018年高考文科数学高频考点总结与强化训练
- 格式：doc
- 大小：1.00 MB
- 文档页数：17
圆与方程-2018年高考文科数学高频考点总结与强化训练考点1 圆的方程 题组一 直接求圆的方程调研1 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，且圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为 . 【答案】(x －2)2＋y 2=10【解析】设所求圆C 的方程为(x －a )2＋y 2=r 2，把所给两点坐标代入方程得222222(5)1(1)3a ra r⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2r 2＝10，所以所求圆C 的方程为(x －2)2＋y 2=10.【名师点睛】圆心在x 轴上，可设圆心坐标为(a ,0)，半径长为r ，写出圆C 的标准方程，将A ，B 两点坐标代入求a ，r 即可得圆C 的方程． 题组二 利用圆的几何性质求圆的方程调研2 已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y =0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的标准方程为 . 【答案】(x ＋1)2＋(y ＋1)2=2或 (x －1)2＋(y －1)2=2【解析】设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2=r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2=2或(x －1)2＋(y －1)2=2. ☆技巧点拨☆求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． 2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 附：（1）圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2=r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2=r 2. （2）圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．考点2 直线与圆的位置关系 题组一 与圆有关的对称问题调研1 若直线y =kx 与圆(x －2)2＋y 2=1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b =0对称，则点(k ，b )所在的圆的方程为A ．221()(5)12x y -++= B ．221()(5)12x y -+-=C ．221()(5)12x y ++-=D ．221()(5)12x y +++=【答案】A【解析】由题意知直线y =kx 与直线2x ＋y ＋b =0互相垂直，所以k =12.又圆上两点关于直线2x ＋y ＋b =0对称，故直线2x ＋y ＋b =0过圆心(2,0)，所以b =－4，结合各选项可知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－4在圆221()(5)12x y -++=上，故选A ． ☆技巧点拨☆1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． 题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系调研2 若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－33，33)D ．[－33，33] 【答案】D【解析】解法一：如图，BC =1，AC =2，∴∠BAC =30°，∴－33≤k ≤33. 解法二：设直线l 的方程为y =k (x －4)，则由题意知，|2k －0－4k |1＋k 2≤1，∴－33≤k ≤33. 解法三：过A (4,0)的直线l 可设为x =my ＋4，代入(x －2)2＋y 2=1中得：(m 2＋1)y 2＋4my ＋3=0， 由Δ=16m 2－12(m 2＋1)=4m 2－12≥0得m ≤－3或m ≥ 3.∴l 的斜率k =1m ∈[－33，0)∪(0，33]，特别地，当k =0时，显然有公共点，∴k ∈[－33，33]． 调研3 已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2=1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2=82上的点，则|MN |的最小值为 A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2【答案】D【解析】设圆C ′、圆C 的半径分别为R ，r ，∵|CC ′|=5＜R －r =7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r =2. ☆技巧点拨☆解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题. 题组三 与圆有关的综合问题调研4 抛物线y 2=4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________.【答案】(x －1)2＋y 2=4【解析】∵抛物线y 2=4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，∴不妨设A ，B 两点的坐标分别为：(1,2)，(1，－2)，又准线与x 轴的交点为M ，∴M 点的坐标为(－1,0)， 则过M ，A ，B 三点的圆的圆心在x 轴，设圆心坐标为C (a,0)，则|CA |=|CM |(1)a =--，解得a =1.∴圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2=4.调研5 已知圆()()221:222C x y -+-=内有一动弦AB ，且2AB =，以AB 为斜边作等腰直角三角形PAB ，点P 在圆外.（1）求点P 的轨迹2C 的方程；（2）从原点O 作圆1C 的两条切线，分别交2C 于,,,E F G H 四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S . 【答案】（1）()()22224x y -+-=；（2）6. 【解析】（1）连接11,C A C B ，2=，∴1C AB △为等腰直角三角形. ∵PAB △为等腰直角三角形， ∴四边形1PAC B 为正方形. ∴12PC =，∴点P 的轨迹是以1C 为圆心，2为半径的圆， 故点P 的轨迹2C 的方程为()()22224x y -+-=. （2）如图，作1C N OF ⊥于点N ，连接111,,C E C F C O .在1Rt OC N △中，∵11OC C N ==ON =∴11sin 2C ON ∠=， ∴130C ON ∠=︒.∴OEH △与OFG △为正三角形.∵11C EN C FN △≌△，且112C E C F ==，∴NE NF ==26=.【思路点拨】（1）可证1C AB △为等腰直角三角形，进而证明四边形1PAC B 为正方形，从而可得点P 的轨迹是以1C 为圆心，2为半径的圆；（2）由四边形EFGH 的面积OFG OEH S S S =-△△，可求出其面积.强化训练1．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试）直线3542y x =-和圆2242200x y x y +-+-=的位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相离D ．相切【答案】A2．（重庆綦江区2017~2018学年度第一学期期末高中联考）圆()()22224x y +++=与圆()()22219x y -+-=的位置关系为A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离【答案】C【解析】圆()()22224x y +++=的圆心坐标为()2,2--，半径12r =；圆()()22219x y -+-=的圆心坐标为()2,1，半径23r =，圆心距为5d ==，125r r +=，即12d r r =+，故两圆外切. 故选B ．3．（陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考）若过点()3,0A 的直线l 与曲线()2211x y -+=有公共点，则直线l 斜率的取值范围为A ．(B ．⎡⎣C ．⎛ ⎝⎭D ．⎡⎢⎣⎦【答案】D4．（四川省2018届高三“联测促改”活动数学试题）过点()1,0且倾斜角为30的直线被圆()2221x y -+=所截得的弦长为A B ．1CD ．【答案】C【解析】由题意得，直线方程为)1y x =-，即10x -=．圆心（2,0）到直线10x -=的距离为21122d -==，故所求弦长为l ===故选C ．5．（2018年普通高校招生全国卷Ⅰ（A ）【衡水金卷】高三信息卷）过点()3,4P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB =A ．5B ．5C D 【答案】D6．（宁夏吴忠市2018届高三下学期高考模拟）与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=【答案】C【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --=的距离为=(),a b ，且圆心在直线40x y --=的左上方，=0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．7．（湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校2018届高三第二次联考）已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，则实数a 的值为A BCD 【答案】B8．（云南省昆明市2018届高三教学质量检查（二统））已知直线:l y m +与圆()22:36C x y +-=相交于A 、B 两点，若AB =m 的值等于 A ．−7或−1 B ．1或7C ．−1或7D ．−7或1【答案】C【解析】由圆()22:36C x y +-=可知，圆心坐标为()0,3，圆半径为2AB r AB ===，由勾股定理可知，圆心到直线:l y m =+的距离为2==，解得1m =-或7m =.故选C ．9．（江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，且被圆()221x y a +-=a =A BCD【答案】B10．（安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试）已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则a =__________． 【答案】−2【解析】因为点P 在圆()2215x y -+=上，所以过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切的切线为()()21125,260x y x y --+=+-=，又该切线方程与直线10x ay -+=平行，得2, 2.a a -==- 11．（北京市朝阳区2018年高三一模）已知点()()2,0,0,2,A B -若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点,则ABM △面积的最小值为__________． 【答案】2【解析】将圆22220x y x y +-+=化简成标准方程，得()()22112x y -++=,其圆心坐标为()1,1-,半径为r =如图，因为()()2,0,0,2A B -,所以AB =要求ABM △的面积最小,即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小,而圆心()1,1-,所以min d =，故ABM S △的最小值为min 1222AB d ⋅⋅=⨯=,故答案为2.12．（辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考）已知以点C 2,t t ⎛⎫⎪⎝⎭（t ∈R ，且0t ≠）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点． （1）求证：OAB △的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程． 【答案】（1）见解析；（2）()()22215x y -+-=.当2t =时，圆心C 的坐标为()2,1， OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =<圆C 与直线24y x =-+相交于两点，符合题意；当2t =-时，圆心C 的坐标为()2,1--， OC =，此时点C 到直线24y x =-+的距离d =>C 与直线24y x =-+不相交，所以2t =-不符合题意，舍去． 所以所求圆C 的方程为()()22215x y -+-=．【思路点拨】（1）因为圆C 过原点O ，所以，设圆C 的方程是()222224x t y t t t ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭,分别令0x =和0y =求出A ,B 的坐标,代入面积公式计算即可;（2）因为OM ON =，CM CN =，所以OC 垂直平分线段MN ，从而可得解.13．（云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测）在直角坐标系xOy 中，已知定圆()22:136M x y ++=，动圆N 过点()1,0F 且与圆M 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明:·OS OT 为定值.【答案】（1）22198x y +=；（2）详见解析.（2）设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -， 由题意知01x x ≠±，则1010AP y y k x x -=-，直线AP 的方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得011010S x y x y x y y -=-，同理()()011001101010T x y x y x y x y x y y y y --+==--+，真题链接1．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3C D ．13【答案】A2．（2016新课标全国卷Ⅱ文科）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a = A ．−43B ．−34C ．D ．2【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A.【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围． 3．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为 . 【答案】4π【解析】圆22:220C x y ay +--=，即222:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ，由||2AB =圆心C 到直线2y x a =+2222a +=+，则22,a =所以圆的面积为2π(2)4πa +=.【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到.4．（2016新课标全国卷Ⅲ文科）已知直线l：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点.则||CD =_________. 【答案】45．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会，理由见解析；（2）详见解析 【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设1(,0)A x ,2 (,0)B x ,则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-. 又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.（2）BC 的中点坐标为（2122x ，），可得BC 的中垂线方程为22122x y x x -=-（）. 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-.联立222122m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（122m --，），半径2r =故圆在y 轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【思路点拨】（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由根与系数的关系得122x x =-，矛盾，所以不存在；（2）求出过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长. 【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-=；(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．6．（2015新课标全国卷Ⅰ文科）已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .【答案】（1）；（2）2.（2）设()1122,,(,)M x y N x y .。
