有限单元法3.1

考虑到：
0 u [ L]u y v x
u N ae
x 其中： [ L] 0 y
0 y x
因此：
[L][N ]ae [B]ae
Li N i 1 (ai bi x ci y )
2A
3-2 单元位移函数
——以三角形单元为例
选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性 ，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题 的正确解答。
因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：
(1) 必须能反映单元的刚体位移和常量应变。 6个参数 a1到 a6反映了三个刚体位移和三个常量应变。 (2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。 (线性函数的特性)
3-2 单元位移模式
三结点三角形单元
——以三角形单元为例
为什么？
六个节点位移只能确 定六个多项式的系数。 所以平面问题的3结点三角形单元 的位移函数如下：
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
该位移函数为线性函数.
其中,β1-β6 为待定系数，可由单 元的6个结点位移来确定。
[ N ] [ IN i IN j IN m ] 1 (下标i，j，m轮换)， ae N i (ai bi x ci y ) 称为形函数， 2A
I是2乘2的单位矩阵，
3-2 单元位移函数
• 形函数具有如下性质:
• (1) 在结点上形函数的值有
0 i j N i ij 1 i j
ai 4 1 bi 5 2 A c 6 i
aj bj cj
am vi bm v j v cm m

Q1l 2 θ = 2 EJ
m1 l 2 2 EJ
θ =+
1
l
1 2
m1 l EJ
m1
2
l
1节点桡度 节点桡度 1节点转角 节点转角
Q1l 3 m1l 2 f1 = 1 = 3EJ 2 EJ m1l Q1l 2 θ1 = 0 = EJ 2 EJ
解得
Q1 =
12 EJ = k11 3 l 6 EJ m 1 = 2 = k 21 l
局部坐标下梁 单元刚度矩阵
[ ]
12 EJ k e = 3 6l l 12 6l
6l 4l 2 6l 2l 2
12 6l 12 6l
6l 2l 2 6l 4l 2
对称矩阵
上述由几何关系, 物理方程, 上述由几何关系 物理方程 受力和位移的关系求出单元刚度矩阵 的方法——直接刚度法 的方法 直接刚度法
整体座标下的单元刚度矩阵换算通式
[ K e ] = [T ]T [ K e ][T ]
思考: 整体刚度矩阵如何迭加? 思考 整体刚度矩阵如何迭加
§3.3 位移函数—虚功原理推导单元有限元格式 位移函数—
基本原理 将单元内任一点的位移表示成节点位移的某种函数——位 将单元内任一点的位移表示成节点位移的某种函数 位 移函数, 利用虚功原理, 推导单元的刚度矩阵. 移函数 利用虚功原理 推导单元的刚度矩阵.
对方程加" 项 扩展为: 对方程加"0"项,扩展为:
N1 EA 1 11 N = 2 l 1 1 2
N1 1 0 0 0 EA 0 N = 1 1 l 0 0 0 0
6l f1 2l 2 θ1 6l f 2 4l 2 θ 2
0 0 0 0 0 0

1.一维单元分析 ； 2.二维单元分析； 3.三维单元分析 ； 4.板壳单元 ； 5.其它各种单元介绍； 6.单元选用；
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴 向分布载荷q为(x) 。单元2个节点的位移 向量为： e ui u j T
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{} [B]{ }e [[B1 ][B2 ][B20 ]]{ }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可 以表示成：
[ ] [D][ ] [D][B]{ }e [S]{ }e
单元刚度矩阵为 ：
[k]e
[B]T [D][B]dV
[k1e1
[k
e 21
这其中设定单元位移模式，利用虚功 原理建立单元节点力与节点位移关系并组建 单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分 析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋 小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移 函数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位 移项；
这样空间梁单元就由3个节点组成i,，j,k 点必
须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节
点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、
j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定
则可以确定另一坐标iz, 轴j, k(或y轴)。
三点
确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面
方位也就完全确定下来。所增加的一个用于
] ]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
[k1e20
[k

有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 3．单元分析 • 单元分析包括位移模式选择，单元力学分析两个内容。 • 位移模式也称位移函数或插值函数，在有限元位移法中是 以节点位移为基本未知量，再由这些节点位移插值得到单 元内任意一点的位移值。单元的位移模式一般采用多项式， 因为多项式计算简便，并且随着项数的增加，可以逼近任 何一段光滑的函数曲线。 • 单元力学分析 根据所选单元的节点数和单元材料性质， 应用弹性力学几何方程和物理方程得到单元刚度矩阵。由 于连续体离散化后假定力是通过节点在单元间传递的，因 此要利用插值函数把作用在单元上的体积力、面积力和集 中力按静力等效原则移到节点上。
Hale Waihona Puke 有限元原理及应用第三章 弹性力学有限元法
• 5．结果后处理和分析 • 求解线性方程组得到位移矢量后，由几何和物理关系可以 得到应变和应力。 • 由于应变（应力）来自位移的微分可能导致单元间应力不 连续，这会使应力计算误差较大，要在节点附近进行平均 化处理。 • 通过后处理还可得到位移、应变和应力的最大最小值及其 所在位臵以及主应力、主应变或其它定义的等效应力。 • 结果的输出可以应用图表、动画等各种方式。最后还要对 这些结果进行分析以指导工程设计、产品开发等等。
有限元原理及应用第三章弹性力学有限元法?如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度ww与板厚tt的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图35所示面内的两个自由度也要一并考虑所示面内的两个自由度也要一并考虑导致单元的每个节点上a四边形弯曲单元b三角形弯曲单元图34薄板弯曲单元导致单元的每个节点上就要有五个自由度此类单元一般称为薄板单元
有限元原理及应用