高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第59讲 空间直线、平面平行位置关系的证明

段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q ，则线
段AQ 的长为
()
2
1
1
1
A.3
B.2
C.6
D.3
解析：如图所示，过点A作AE∥BM交DD1于
点E，则E是DD1的中点，过点N作NT∥AE交
A1A于点T，此时NT∥BM，所以B，M，N，
T四点共面，所以点Q 与点T重合，易知AQ ＝NE＝13，故选D. 答案：D
[方法技巧]
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共面、共线、共点问题的证明方法
(1)证明点或线共面问题的两种方法：
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再
证其余的线(或点)在这个平面内；
②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面
重合．
(2)证明点共线问题的两种方法：
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
()
3 A. 2
15 B. 5
10 C. 5
3 D. 3
解析：如图所示，将直三棱柱 ABC-A1B1C1
补成直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1，连接 AD1，
B1D1，则 AD1∥BC1，所以∠B1AD1 或其补角
为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角．
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3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面， 给出下列三个命题，其中真命题是________．(填序号) ①P∈a，P∈α⇒a⊂α； ②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β； ③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α. 答案：③
研透高考·深化提能
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[典例感悟]
1．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，N为线
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空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面练习1.判断下列命题是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.（1）书桌面是平面.（2）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点.（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.【答案】（1）×；（2）×；（3）√.【解析】【分析】根据平面性质可知（1）错误，根据公理2知（2）错误，根据公理3可判断（3）正确.【详解】（1）由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面；（2）根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在一条直线上，故判断错误；根据公理3，不共线的三个点确定一个平面，因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正确.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质，属于容易题.2.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理2的理解和运用，属于基础题.3.不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论.【答案】4个【解析】【分析】画出空间四边形，可以得到确定的平面个数.【详解】可确定4个平面，如图：由不共线的三个点确定一个平面可知，不共线的四个点可确定平面ABC ,平面ACD ,平面ABD ,平面BCD ，共4个平面.【点睛】本题主要考查了不共线的三个点确定一个平面，属于容易题.4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A 在平面α内，点B 在平面α外；（2）直线a 经过平面α外的一点M ；（3）直线a 既在平面α内，又在平面β内.【答案】（1）,A B αα∈∉，如图.（2）,M M a α∉∈，如图.（3）,a a αβ⊂⊂，如图.【解析】【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可.【详解】（1）,A B αα∈∉，如图：（2）,M M a α∉∈，如图：（3）,a a αβ⊂⊂或=a αβI ，如图：【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系例1：如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中， l αβ= ，a A α= ，a B β⋂=.在（2）中，l αβ= ，a α⊂，b β⊂，a l P = ，b l P = ，a b P = .例2：如图8.4-17，AB B α⋂=，A αÏ，a α⊂，B a ∉.直线AB 与a 具有怎样的位置关系？为什么？解：直线AB 与a 是异面直线.理由如下.若直线AB 与直线a 不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为β，则B β∈，a β⊂.由于经过点B 与直线a 有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合，从而AB α⊂，进而A α∈，这与A αÏ矛盾.所以直线AB 与a 是异面直线.练习5.如果两条直线a 与b 没有公共点，那么a 与bA.共面B.平行C.异面D.平行或异面【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线a 与b 的位置关系.【详解】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则a 与b 平行或异面.故选：D.【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，属于基础题.6.设直线a b ，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a 与b （）A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线【答案】D【解析】【分析】按直线的三种位置关系分析．【详解】如图，长方体ABCD A B C D ''''-中，当'A B 所在直线为a ，BC '所在直线为b 时，a 与b 相交；当'A B 所在直线为a ，B C '所在直线为b 时，a 与b 异面.故选：D.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．7.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，判定直线AB 与AC ，直线AC 与A C ''，直线A B '与AC ，直线A B '与C D '的位置关系.【答案】见解析【解析】【分析】按直接的三种位置关系判断．【详解】解：直线AB 与AC 相交；直线AC 与A C ''平行；直线A B '与AC 异面；直线A B '与C D '异面.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．8.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α.（）（2）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行.（）（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.（）（4）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√【解析】【分析】（1）举反例说明；（2）分析三种位置关系的可能性．由线面平行的性质定理得平行线，平面内与这平行相交的直线，与平面外的那条直线异面；（3）把与平行平行的直线平移，观察与平面的位置关系；（4）由线面平行的定义判断．【详解】（1）当直线1与平面α相交时，直线1上也有无数个点不在平面α内；（2）也可能异面；（3）也可能直线在平面内；（4）∵1∥a ，∴l 与α没有公共点，∴l 与α内任意一条直线都没有公共点.答案：（1）×（2）×（3）×（4）√【点睛】本题考查线面平行的定义与性质．掌握线面平行的定义是解题基础．9.已知直线,a b ，平面,αβ，且a α⊂，b β⊂，//αβ．判断直线,a b 的位置关系，并说明理由．【答案】它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【解析】【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系；【详解】直线,a b 的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由//αβ，直线,a b 分别在平面α，β内，可知直线,a b 没有公共点．因为若,a b 有公共点，那么这个点也是平面α，β的公共点，这与是平面α，β平行矛盾．因此直线,a b 不相交，它们是平行直线或异面直线．习题8.4复习巩固10.画出满足下列条件的图形：（1）,,,a b a b A c A ααα⊂⊂⋂=⋂=；（2）,,,//,//l AB CD AB l CD lαβαβ⋂=⊂⊂【答案】见解析【解析】【分析】由题意直接画图即可.【详解】如图【点睛】本题主要考查的是空间图形的画法，直线和平面的位置关系，基本知识的考查，是基础题.11.经过同一条直线上的3个点的平面A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数多个D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据平面的性质，直接判定即可得出结果.【详解】经过一条直线可以作无数多个平面.故选：C.【点睛】本题主要考查由线确定平面的数量，熟记基础题型.12.若直线a 不平行于平面α且a α⊄，则下列结论成立的是A.平面α内的所有直线与a 异面B.平面α内不存在与a 平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a 平行D.平面α内的直线与a 都相交【答案】B【解析】【分析】由题意知直线a 与平面α相交，依次判断选项即可.【详解】解:由条件知直线a 与平面α相交，则平面α内的直线与a 可能相交，也可能异面.不可能平行故选:B.【点睛】本题考查判断直线与平面相交，属于基础题.13.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”（1）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.（）（2）四边形可以确定一个平面.（）（3）若a ，b 是两条直线，,αβ是两个平面，且,a b αβ⊂⊂，则a ，b 是异面直线.（）【答案】①.√②.×③.×【解析】【分析】根据空间中的平面公理与推理，以及异面直线的定义，对命题进行判断即可.【详解】对于(1)，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,如三角形所在的三边确定一个平面，(1)正确；对于(2)，当四边形是空间四边形时不能确定一个平面，(2)错误；对于(3)，若a ，b 是两条直线，,αβ是两个平面，且,a b αβ⊂⊂，则a ，b 是平行、相交、异面直线，(3)错误.【点睛】本题主要考查的是平面公理与推论的应用问题以及异面直线的判定，是基础题.14.填空题（1）如果a 、b 是异面直线，直线c 与a 、b 都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________；（3）已知两条相交直线a 、b ，且//a 平面α，则b 与α的位置关系是__________．【答案】①.2②.直线平行于平面或直线在平面内③.//b α或b 与α相交【分析】（1）根据两相交直线可确定一个平面可得解；（2）利用图形可判断直线与平面的位置关系；（3）利用图形可判断b 与α的位置关系.【详解】（1）因为a 、b 是异面直线，直线c 与a 、b 都相交，则c 与a 、c 与b 可分别确定一个平面，故这三条直线中的两条所确定的平面共有2个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线在这个平面内或这条直线与平面平行，如下图所示：已知//αβ，//a α，则//a β（如图1），a β⊂（如图2）.（3）已知两条相交直线a 、b ，且//a 平面α，如下图所示：如图3所示，可知//b α，如图4所示，b 与α相交.故答案为：（1）2；（2）直线与平面平行或直线在平面内；（3）//b α或b 与α相交.15.正方体各面所在平面将空间分成几部分？【答案】27个部分【分析】根据题意画出图形即可得出答案.【详解】如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分，同理中层、下层也分别把空间分成9个部分，因此共将空间分成27个部分.【点睛】本题主要考查的是平面基本性质，正确理解确定平面的几个公理及由题意画出图形且有较强的空间想象能力是解题的关键，是中档题.综合运用16.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由.【答案】共面，理由见解析【解析】【分析】先说明两条平行直线确定一个平面，再证第三条直线在这个平面内即可.【详解】共面.两条平行直线确定唯一的平面，又第三条直线与两条平行直线都相交，第三条直线有两个点在此平面内，则第三条直线也在这个平面内，所以这三条直线共面.【点睛】本题主要考查的线共面的判定，以及学生对平面基本性质的理解和应用，是基础题.17.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？【答案】三条直线两两平行且不共面，一共可以确定三个平面；如果三条直线相交于一点，则最多可以确定三个平面.【解析】【分析】这三条直线象三棱柱的三条侧棱根据平面的基本性质可以确定3个平面，得到结果；满足相交于一点的三条直线能够确定一个平面或三个平面，从而得出其最多可以确定几个平面.【详解】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧棱，其中每两条直线可以确定一个平面,则可以确定3个平面；②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确定1个平面；当这三条直线不在同一个平面时，则可以确定3个平面；这三条直线能够确定一个平面或三个平面,最多可以确定3个平面.【点睛】本题考查查平面的基本性质及其应用，考查进行简单的合情推理，本题是一个推论应用问题，是一个基础题.18.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.【答案】证明见解析【解析】【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明.【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.拓广探索19.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？【答案】直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.【解析】【分析】首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断.【详解】还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题.20.在本节，我们学习了平面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法，类似地，直线有什么基本特征？如何刻画直线的这些基本特征？【答案】答案见解析.【解析】【分析】写出直线的特点：直的，无限延伸，无粗细，不可以测量长度，再指出直线的对称性即可.【详解】直线的基本特征：直线是直的，没有粗细，没有端点，可以向两端无线延展、不可以测量长度；刻画直线的基本特征：直线是轴对称图形，它有无数条对称轴，直线本身以及与它垂直的直线都是它的对称轴.变式练习题21.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，点G，H分别在边CD，DA上，且满足12CG GD，DH＝2HA.求证：四边形EFGH为梯形．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用条件证明,EF HG互相平行，且不相等即可证得四边形为梯形.【详解】证明：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF12AC = .又21DHHA=，21DGGC=，所以DH DGHA GC=，从而HG23AC=，所以EF∥HG且EF≠HG，故四边形EFGH为梯形．22.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点．求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质及等角定理，即可得到答案；【详解】证明：如图，取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，所以CM∥BK.因为A1K∥BQ且A1K＝BQ，所以四边形A1KBQ为平行四边形，从而A 1Q ∥BK .由基本事实4有A 1Q ∥CM .同理可证A 1P ∥CN .因为∠PA 1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反，所以∠PA 1Q ＝∠MCN .23.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D ，E 分别是△PAB 和△PBC 的重心．求证：D ，E ，A ，C 四点共面且DE ＝13AC .【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，连接PD ，PE 并延长，分别交AB ，BC 于点M ，N ，连接MN ，证明DE ∥MN 且DE ＝23MN ，原题即得证.【详解】证明：如图，连接PD ，PE 并延长，分别交AB ，BC 于点M ，N ，因为D ，E 分别是△PAB ，△PBC 的重心，所以M ，N 分别是AB ，BC 的中点，连接MN ，则MN ∥AC 且MN ＝12AC .在△PMN 中，因为23PD PE PM PN ==，所以DE ∥MN 且DE ＝23MN .所以DE ∥AC 且DE ＝23×12AC ＝13AC .则D ，E ，A ，C 四点共面．24.如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，点F 在CD 上，点H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝1∶3，DH ∶HA ＝1∶3.求证：EF ，GH ，BD 交于一点．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.【详解】证明连接GE ，HF .因为E ，G 分别为BC ，AB 中点，所以1//2GE AC .因为DF ∶FC ＝1∶3，DH ∶HA ＝1∶3，所以1//3HF AC .从而GE ∥HF 且GE HF ≠，故G ，E ，F ，H 四点共面且四边形EFHG 为梯形，因为EF 与GH 不能平行，设EF ∩GH ＝O ，则O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD .而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EF ，GH ，BD 交于一点．25.在长方体1111ABCD A B C D -中，（1）直线1A B 与直线1D C 的位置关系是___________；（2）直线1A B 与直线1B C 的位置关系是_______________；（3）直线1D D 与直线1D C 的位置关系是______________；（4）直线AB 与直线1B C 的位置关系是______________.【答案】①.平行.②.异面.③.相交.④.异面.【解析】【分析】（1）根据题意得出四边形11A BCD 为平行四边形，即可得出结论；（2）根据异面直线的定义判断即可；（3）直线1D D 与直线1D C 相交于一点，则直线1D D 与直线1D C 的位置关系是相交；（4）根据异面直线的定义判断即可.【详解】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，四边形11A BCD 为平行四边形.11//A B D C ∴.（2）直线1A B 与直线1B C 不同在任何一个平面内，所以直线1A B 与直线1B C 的位置关系是异面.（3）直线1D D 与直线1D C 相交于点1D ，所以直线1D D 与直线1D C 的位置关系是相交.（4）直线AB 直线1B C 不同在任何一个平面内，所以直线AB 与直线1B C 的位置关系是异面.故答案为：(1)平行；(2)异面；(3)相交；(4)异面【点睛】本题主要考查了判断直线与直线的位置关系，属于基础题.26.如图所示，G 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 延长线上的一点，E ，F 是棱AB ，BC 的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．（1）过点G 及AC .（2）过三点E ，F ，1D .【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）连接GA 交11A D 于点M ，连接GC 交11C D 于点N ；连接MN ，AC ，由图可得交线；（2）根据公理，连接EF 分别交DC 、DA 的延长线于点P ，Q ，连接1D P 交1CC 于点M ，连接1D Q 交1AA 于点N ；连接MF ，NE 由图可得交线.【小问1详解】连接GA 交11A D 于点M ，连接GC 交11C D 于点N ；连接MN ，AC ，则MA ，CN ，MN ，AC 为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．【小问2详解】连接EF 交DC 的延长线于点P ，交DA 的延长线于点Q ；连接1D P 交1CC 于点M ，连接1D Q 交1AA 于点N ；连接MF ，NE ，则1D M ，MF ，FE ，EN ，1ND 为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．。

BHC D AF EG直线与平面的位置关系一、直线与平面平行1、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.2、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒3、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.数学符号表示：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒【例1】如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形， (1)求证：CD ∥平面EFGH ； (2)求异面直线AB ，CD 所成的角．训练：如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD //平面EFGH .【例2】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点.（1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小； （2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.二、直线与平面垂直1、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα⊂⊂=A ⊥⊥⇒⊥（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.//,a b a b αα⊥⇒⊥（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.//,a a αβαβ⊥⇒⊥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.,//a b a b αα⊥⊥⇒【例3】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B 1H ⊥D 1O ，H 为垂足．求证：B 1H ⊥平面AD 1C ．【例4】如图，正方体AC 1中，已知O 为AC 与BD 的交点，M 为DD 1的中点。