二分类Logistic 回归模型
在对资料进行统计分析时常遇到反应变量为分类变量的资料，那么，能否用类似于线性回归的模型来对这种资料进行分析呢？答案是肯定的。本章将向大家介绍对二分类因变量进行回归建模的Logistic 回归模型。
第一节
模型简介
一、模型入门
在很多场合下都能碰到反应变量为二分类的资料，如考察公司中总裁级的领导层中是否有女性职员、某一天是否下雨、某病患者结局是否痊愈、调查对象是否为某商品的潜在消费者等。对于分类资料的分析，相信大家并不陌生，当要考察的影响因素较少，且也为分类变量时，分析者常用列联表(contingency Table)的形式对这种资料进行整理，并使用2
χ检验来进行分析，汉存在分类的混杂因素时，还可应用Mantel-Haenszel 2
χ检验进行统计学检验，这种方法可以很好地控制混杂因素的影响。但是这种经典分析方法也存在局限性，首先，它虽然可以控制若干个因素的作用，但无法描述其作用大小及方向，更不能考察各因素间是否存在交互任用；其次，该方法对样本含量的要求较大，当控制的分层因素较多时，单元格被划分的越来越细，列联表的格子中频数可能很小甚至为0，将导致检验结果的不可靠。最后，
2χ检验无法对连续性自变量的影响进行分析，而这将大大限制其应用范围，无疑是其致使
的缺陷。
那么，能否建立类似于线性回归的模型，对这种数据加以分析？以最简单的二分类因变量为例来加以探讨，为了讨论方便，常定义出现阳性结果时反应变量取值为1，反之则取值为0 。例如当领导层有女性职员、下雨、痊愈时反应变量1y =，而没有女性职员、未下雨、未痊愈时反应变量0y =。记出现阳性结果的频率为反应变量(1)P y =。
首先，回顾一下标准的线性回归模型：
11m m Y x x αββ=+++
如果对分类变量直接拟合，则实质上拟合的是发生概率，参照前面线性回归方程 ，很自然地会想到是否可以建立下面形式的回归模型：
11m m P x x αββ=+++
显然，该模型可以描述当各自变量变化时，因变量的发生概率会怎样变化，可以满足分析的基本要求。实际上，统计学家们最早也在朝这一方向努力，并考虑到最小二乘法拟合时遇到的各种问题，对计算方法进行了改进，最终提出了加权最小二乘法来对该模型进行拟合，至今这种分析思路还偶有应用。
既然可以使用加权最小二乘法对模型加以估计，为什么现在又放弃了这种做法呢？原因在于有以下两个问题是这种分析思路所无法解决的：
（1）取值区间：上述模型右侧的取值范围，或者说应用上述模型进行预报的范围为整 个实数集(,)-∞+∞，而模型的左边的取值范围为01P ≤≤，二者并不相符。模型本身不能
保证在自变量的各种组合下，因变量的估计值仍限制在0～1内，因此可能分析者会得到这种荒唐的结论：男性、30岁、病情较轻的患者被治愈的概率是300%！研究者当然可以将此结果等价于100%可以治愈，但是从数理统计的角度讲，这种模型显然是极不严谨的。
（2）曲线关联：根据大量的观察，反应变量P 与自变量的关系通常不是直线关系，而是S 型曲线关系。这里以收入水平和购车概率的关系来加以说明，当收入非常低时，收入的增加对购买概率影响很小；但是在收入达到某一阈值时，购买概率会随着收入的增加而迅速增加；在购买概率达到一定水平，绝大部分在该收入水平的人都会购车时，收入增加的影响又会逐渐减弱。如果用图形来表示，则如图1所示。显然，线性关联是线性回归中至关重要的一个前提假设，而在上述模型中这一假设是明显无法满足的。
图1 S 型曲线图
以上问题促使统计学家们不得不寻求新的解决思路，如同在曲线回归中，往往采用变量变换，使得曲线直线化，然后再进行直线回归方程的拟合。那么，能否考虑对所预测的因变量加以变换，以使得以上矛盾得以解决？基于这一思想，又有一大批统计学家在寻找合适的变换函数。终于，在1970年，Cox 引入了以前用于人口学领域的Logit 变换(Logit Transformation)，成功地解决了上述问题。
那么，什么是Logit 变换呢？通常的把出现某种结果的概率与不出现的概率之比称为比值(odds ，国内也译为优势、比数)，即1Odds π
π
=
-，取其对数ln()ln
1Odds π
λπ
==-。
这就是logit 变换。下面来看一下该变换是如何解决上述两个问题的，首先是因变量取值区间的变化，概率是以0.5为对称点，分布在0～1的范围内的，而相应的logit(P)的大小为：
0π= logit()ln(0/1)π==-∞
0.5π= logit()ln(0.5/0.5)0π==
1π= logit()ln(1/0)π==+∞
显然，通过变换，Logit(π)的取值范围就被扩展为以0为对称点的整个实数域，这使得在任何自变量取值下，对π值的预测均有实际意义。其次，大量实践证明，Logit(π)往往和自变量呈线性关系，换言之，概率和自变量间关系的S 形曲线往往就符合logit 函数关系，从而可以通过该变换将曲线直线化。因此，只需要以Logit(π)为因变量，建立包含p 个自变量的logistic 回归模型如下：
011log it()p p P x x βββ=++
+
以上即为logistic 回归模型。由上式可推得：
011011exp()1exp()
p p p p x x P x x ββββββ+++=
+++
+ 0111
11exp()
p p P x x βββ-=
+++
+
上面三个方程式相互等价。通过大量的分析实践，发现logistic 回归模型可以很好地满足对分类数据的建模需求，因此目前它已经成为了分类因变量的标准建模方法。
通过上面的讨论，可以很容易地理解二分类logistic 回归模型对资料的要求是： （1）反应变量为二分类的分类变量或是某事件的发生率。 （2）自变量与Logit(π)之间为线性关系。 （3）残差合计为0，且服从二项分布。 （4）各观测值间相互独立。
由于因变量为二分类，所以logistic 回归模型的误差应当服从二项分布，而不是正态分布。因此，该模型实际上不应当使用以前的最小二乘法进行参数估计，上次均使用最大似然法来解决方程的估计和检验问题。
二、一些基本概念
由于使用了logit 变换，Logistic 模型中的参数含义略显复杂，但有很好的实用价值，为此现对一些基本概念加以解释。
1. 优势比
如前所述，人们常把出现某种结果的概率与不出现的概率之比称为比值（odds ），即
1P
odds P
=
-。两个比值之比称为优势比（odds Ratio ，简称OR ）。首先考察OR 的特性： 若12P P >，则1
2121211P P odds odds P P =
>=-- 若12P P <，则1
2121211P P odds odds P P =
<=-- 若12P P =，则1
2121
211P P odds odds P P =
==-- 显然，OR 是否大于1可以用作两种情形下发生概率大小的比较。
2. Logistic 回归系数的意义
从数学上讲，β和多元回归中系数的解释并无不同，代表x 改变一个单位时logit(P )的平均改变量，但由于odds 的自然对数即为logit 变换，因此Logistic 回归模型中的系数和OR 有着直接的变换关系，使得Logistic 回归系数有更加贴近实际的解释，从而也使得该模型得到了广泛的应用。下面用一个实例加以说明：
以4格表资料为例具体说明各回归系数的意义：
