第九讲勾股定理
知识概要
1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222
a b c
+=．
(注：应用勾股定理的关键在于构造直角三角形)
2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足222
+=，那么这个三角形是直角三角形，其
a b c
中c为斜边。
3、勾股定理的作用
|
（1）已知直角三角形的两边求第三边.
（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一边，求另两边的关系.
（3）用于证明平方关系的问题.
4、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如c）.
（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.
若2c=2a+2b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形；
:
若2c≠2a+2b，则△ABC不是直角三角形.
【注意】当2c≠2a+2b时有两种情况.
（1）当2a+2b<2c时，此三角形为钝角三角形；
（2）当2a+2b>2c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.
5、常用勾股数组：(3, 4 ,5); (5, 12 ,13); (6, 8, 10); (7, 24, 25); (8, 15, 17) ; (9, 40 ,41)；（20,21,29）……
6、一组勾股数中各数的相同的正整数倍得到的一组新数还是勾股数。
7、一组勾股数中各数的相同的正数倍得到的一组新数为边，仍构成直角三角形。
8、（
9、直角三角形的性质：（1）直角三角形中斜边最大；（2）直角三角形中有勾股定理；（3）直角三角形中，30度角所对应直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（5）等积原理（ab=ch ）
10、双垂图中的射影定理
例题精讲
~
【例1】如图，证明勾股定理．
【例2】填空题:
》
在△ABC 中,∠C 为直角.
(1)若BC =2, AC=3则AB = ； 若BC =5, AB=13.则AC = ；若AB=61, AC=11.则BC = .
(2)若BC ∶AB =3∶5且AB =20则AC= .
(3)若∠A=60°且AC=2cm 则AB= cm ，BC= cm.
【巩固练习】
1、
2、Rt △ABC 中，C ∠是直角，
3、（1）已知6BC =，8AC =，求AB 之长；
4、
（2）已知25AB =，14BC =，求AC 之长；
（3）
板块一 勾股定理
a
a
a a
b b
] b
@
（3）已知13AC =，19AB =，求BC 之长．
2、已知等边三角形的边长为a ，求等边三角形一边上的高和这等边三角形的面积．
￥
【例 3】已知60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 和AD 的长．
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【巩固练习】
已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.
《
【例 4】如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15,BC AD ⊥于D ，求AD 的长.
'
A
B
C
D
【 B
A D
C
B A
D
【例 5】如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．
求证：222BC AP BP += ．
"
【例 6】如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．
$
【巩固练习】 1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
`
P M B C A ; A B S 1
2、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、
B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
A．13 B．26 C．47 D．94
^
3、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则1S+2S+3S+4S=____
$
"
1S
2
S3S4
23
1
【例7】在△ABC 中，如果a ∶b ∶c =1∶3∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °
如果a ∶b ∶c =1∶1∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °
`
【例 8】判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）15a =，8b =，17c =；
（2）13a =，14b =，15c =；
（3）7a =，24b =，25c =．
【例 9】已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ， 《
试判断△ABC 的形状
《
【例 10】如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．
，
板块二 勾股定理逆定理
