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北师大版九年级数学下册《三章 圆 ：7 切线长定理》公开课教案_15

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第三章 圆
第七节《切线长定理》教学设计

【教材分析】
本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研
究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识.体现了图形的认识、图形的
变换、图形的证明的有机结合.在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化
为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识.
【学情分析】
学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全等的判定与性质、正方
形的判定与性质、勾股定理，在本章《圆》前面已经学习了切线的定义、判定与
性质、圆的对称性.因此学生对前面圆的相关知识都有一定的认识，这对本节课
的学习有一定的帮助，学习过程不会很困难，理解也不很困难，但书写证明过程
有一定的难度.
【教学环节设计】
本节课设计了六个教学环节：一、创设情景，引入新课→二、 合作学习，探
究新知→三、举例应用，培养思维→四、训练巩固，体验成功→五、中考链接，
提升层次→六、梳理小结，盘点收获 → 七、分层作业，巩固拓展.
【教学过程】
教学目标：
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．
2.学会运用切线长定理解有关问题．
情感态度价值观：
1. 学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，
进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
2. 通过
分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验

成功.
第一环节：出示目标，创设情境，导出本节课研究对象。
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1、经过圆外一点做一条直线，这条直线和圆有怎样的位置关系？
2、过⊙O外一点P画出⊙O的切线，你能画出几条？试试看。
活动目的：把学生的注意力较快地集中到本课的学习中.教师通过对话交往，
引导学生把对概念的感性认识上升到理性认识，然后在图形中进行识别，从而认
识概念的本质特征，理解概念的外延.
第二环节 合作学习，探究新知
（一）、切线长定义
1、板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度
叫做圆的切线长
2、剖析定义：
思考：切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？

图1
P
A
O
B

O

A
P

图2
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
（二）、切线长定理：
1、探索问题1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段
PA和PB之间有何关系？
探索步骤：
（1）根据条件画出图形；
（2）猜想：线段PA和PB之间的关系；
（3）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？
请说明理由.

图3
O
P
B

A
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活动目的：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合.首先出示探
索步骤的前三个，等学生猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、 利用圆的对
称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时
激励学生寻找证明猜想的途径.之后，再让学生探索更多的结论，并由（3）得出
定理.定理的剖析以对话形式进行.在整个过程中，教师相应地进行板书.
本环节教师通过学生探究、学生讲解、学生总结、归纳总结得出本节课的核
心知识“切线长定理”，又通过动态演示强化核心知识.最后通过习题、生活中
的实例让学生应用核心知识，树立学生的应用意识.这样多种形式、多种角度强
化核心知识，更易学生接受.
3、剖析定理：
（1）指出定理的题设和结论；
（2）用符号语言表示定理：
∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于
点A、B）
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
(3)切线和切线长区别.
切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段，指过圆外一点
做圆的切线，该点到切点的距离.
活动目的：此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也
使学生了解切线长与切线的关系，
（三）圆的外切四边形的性质.
请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条
切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.

结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
活动目的：学生通过在图形中识别切线长定理的基
本图形，总结的出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结

图9

O
D
C
B

A
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论.这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林”.
第三环节 例题应用，培养思维
活动内容：
(一)例题学习
1.例题：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的
内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.

变式一：由于切线长定理的运用是本节的难点，为了化解难点，在例题完成
后，将例题加以变式训练，将 Rt△ABC变为一般△
ABC.
即：课本96页知识技能第2题已知：如图5，△ABC的内切圆⊙O与
BC
，
CA,AB分别相切于点 D，E，F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE
的

长
.

变式二：在变式一完成后，将变式一再加以变式训练，将切线AC平移到圆的另
一侧，即知识技能第1题例1、如图，P是⊙O外一点，PA与PB分别⊙O切于
A、B两点，DE也是⊙O的切线，切点为C
，

PA=PB=5cm，求△PDE的周长.

让学生分析问题后，提出问题：
1、从图中可得出哪些结论？请说明理由.

O
A
B
D

C
E

P

第2题
O
F
E
DC
B

A

例题1图
A
F
B

D

E
O
C
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2、求△PDE的周长时，应如何利用已知条件？
提出引导问题的目的让学生对所学的知识加以归纳，形成知识系统，问题2
是解决本题的关键，可以引导学生寻找思路，请一学生板演完成此题，并让学生
进行题后小结.
活动目的：本环节利用由简入深的变式，充分发挥学生的主体地位，加深学
生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生自主建构知
识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通！

第四环节：巩固练习，体验成功
1.填空：如图10，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
（1）若PB=12，PO=13，则AO=
（2）若PO=10，AO=6，则PB= ；
（3）若PA=4，AO=3，则PO= ；PD= ；
2.已知,如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，且
PA=4cm,PD=2cm.求半径OA的长.

活动目的：本环节加深了学生对知识的理解，让学生体验数学的严谨性，意
在培养学生自主学习的习惯、自主探索、引导学生爱读书敢质疑、能自主建构切
线长，并利用切线长定理解答问题，对本节知识进行巩固练习.

第五环节：中考链接，提升层次
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线，切点分别是A,B，如果∠P＝60°,
那么∠AOB等于（ C ）
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长
为（ D ）

D
图10
O

P

B

A
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A．2 B．3 C． 3 D． 23
第六环节：梳理小结，盘点收获
活动内容：
1、通过这节课的学习，你有什么收获或体会？

2、你还存在哪些困难、疑问？
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.理解切线长的概念
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长
.
2、掌握切线长定理．
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平
分两条切线的夹角
.
3. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法.
提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平
分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．让学生自由提问，同时也可利用
这个机会，辅导有困难的学生，从而使每个学生都能达标
.
活动目的：为让学生形成知识网络，完善认知结构，小结时引导学生参与总
结，在引导学生针对以上问题，反思自己学习过程
.
第七环节：分层作业，巩固拓展
作业设计：
A组 P96 1、2、3.
B组 P96 2、3、4.
课堂寄语：
对真理和知识的追求并为之奋斗，是人的最高品质之一。
------爱因斯坦

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九年级数学下册 第3章 圆 3.7 切线长定理教案 北师大版

九年级数学下册 第3章 圆 3.7 切线长定理教案 北师大版

《切线长定理》◆模式介绍“探究式教学”是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构．探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用．探究式教学通常包括以下五个教学环节：创设情境——启发思考——探究问题——形成结论——巩固提高◆设计说明首先通过问题1回顾圆的切线性质定理和判定定理，为学习切线长定理打下基础；问题2通过确定圆形工艺品的半径问题引出本节内容，激发学生探究新课的欲望，同时让学生明白“生活处处有数学”；问题3通过解决圆形工艺品的半径问题引出圆的切线长概念，为下一步探究切线长定理作准备；问题4承上启下，引导学生用轴对称性来探索切线长定理，引出本节课所要研究的内容；问题5进一步利用切线长研究圆外切四边形边之间的关系．最后通过例、习题的巩固，突出圆的切线长定理的运用．◆教材分析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第7节《切线长定理》的教学内容，本节课是在学生学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．切线长定理的探究，通过设计让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出的，使学生的直观操作与逻辑推理有机的结合在一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性．切线长定理为证明线段，角相等，弧相等，线段的垂直关系等问题提供了理论依据．本节知识属于选学内容．◆教学目标【知识与能力目标】1、了解切线长的概念；2、探索并证明切线长定理．【过程与方法】探索并证明切线长定理，发展推理能力．【情感态度与价值观】通过轴对称的性质证明切线长定理的过程，让学生感受数学知识的美感．◆教学重难点【教学重点】探索并证明切线长定理．【教学难点】切线长定理的运用．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教学过程【创设情境】问题1 我们在前面学过圆的切线的性质定理和判定定理，请大家回忆一下它们的具体内容．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．问题2 如图是一件圆形工艺品，现只有一个曲尺，你能测出它的半径吗？设计意图：问题1回顾圆的切线性质定理和判定定理，为学习切线长定理打下基础；问题2通过确定圆形工艺品的半径问题引出本节内容，激发学生探究新课的欲望，同时让学生明白“生活处处有数学”．【启发思考】问题3 （1）观察下图的左图，如果这样放置曲尺，能得出圆形工艺品的半径吗？为什么？（2）观察下图的右图，如果这样放置曲尺，可以得出圆形工艺品的半径吗？为什么？（3）以上两种方法，哪些一种方法更简便呢？方法二：引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连结OB，OA，则四边形OBAP是正方形，所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB．切线长概念：右图中的PA、PB是从⊙O外点P引出的两条切线，线段PA、PB的长称之为P点到⊙O的切线长，即从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段长叫做这点到圆的切线长．追问：如果这把曲尺的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB？设计意图：问题3通过解决圆形工艺品的半径问题引出圆的切线长概念，为下一步探究切线长定理作准备．【探究问题】问题4 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．结论：对称轴是直线OP，图中相等的线段是PA和PB．猜想：过圆外一点所画的图的两条切线长相等．已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．求证：PA=PB．证明：连接OA、OB．∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴∠APO=∠BPO=90°.在Rt△POA和Rt△POB中，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△POA≌Rt△POB．∴PA=PB．设计意图：问题4承上启下，引导学生用轴对称性来探索切线长定理，引出本节课所要研究的内容．问题5 如图，四边形ABCD的四条边都与相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴交流．结论：AB+CD=BC+AD，即圆的外切四边形的两组对边的和相等．设计意图：利用切线长研究圆外切四边形边之间的关系．【形成结论】 切线长定理：过圆外一点所画的图的两条切线长相等．圆的外切四边形性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等．【巩固提高】例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，求⊙O 的半径.解：连接OD ，OE ，OF ，则OD =OE =OF ，设OD =r ．在Rt △ABC 中，AC =10，BC =24，∴2222102426AB AC BC =+=+=． ∵⊙O 分别AB ，BC ，AC 相切于点D ，E ，F ，∴四边形OECF 为正方形.∴CE =CF =r ．∴BE =24-r ，AF =10-r ．∴AB =BD +AD =BE +AF =24-r +10-r =34-2r ．而AB =26，∴34-2r =26，∴r =4，即⊙O 的半径4．例2 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切与点D ，E ，F ，且AB =9，BC =14，CA =13，求AF ，BD ，CE 的长．解：设AF =x ，则AE =x ，CD =CE =AC -AE =13-x ，BD =BF =AB -AF =9-x ，由BD +CD =BC 可得(13-x )+(9-x )=14，解得x =4．因此AF =4，BD =5，CE =9． 学生练习 课本95页随堂练习．课堂小结：本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？1、切线长定理：过圆外一点所画的图的两条切线长相等．2、圆的外切四边形性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等．布置作业：1、教科书习题3.9第1题、第2题、第3题．（必做题）2、教科书习题3.9第4题．（选做题）◆教学反思略．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

九年级数学初三下册：7 切线长定理教案

九年级数学初三下册：7 切线长定理教案


一、选择题 1. 如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，根据图形得出四个结论：① PA＝PB；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④AB被OP垂直平分．其中正确结论 的个数为( D) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 一个钢管放在 V 形架内，如图是其截面图，O 为钢管的圆心，如果钢 管的半径为 25 cm，∠MPN＝60°，则 OP 等于( A )
AD＝ 23OA＝ 23，∴PD＝32，∴PC＝3，AB＝ 3，∴菱形 ACBP 的面积＝12 AB·PC＝
解：(1)连接 OA.∵PA 为⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.在 Rt△AOP 中，∠ AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°，∴∠ACP＝12∠AOP＝12×60°＝30 °，∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP，∴△ACP 是等腰三角形
8. (遵义中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°， 连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC. (1)求证：四边形ACBP是菱形； (2)若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
5. 如图，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的 度数是____2_0_°___．
6. 如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H.若AB＝4 cm， AD＝3 cm，BC＝3.6 cm，则CD＝_________2_.6cm.
三、解答题 7. 如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2 cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B. (1)连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形； (2)填空： ①当DP＝___1_cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP＝_____2_－__1____cm时，四边形AOBP是正方形．
初三数学下册(北师大版)《3.7 切线长定理》【教案匹配版】最新中小学课程

初三数学下册(北师大版)《3.7 切线长定理》【教案匹配版】最新中小学课程

初三数学下册.北师大版
3.7切线长定理
学习目标
1.了解切线长的概念； 2.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进 行计算与证明.（重难点）
一、复习引入-画一画 问题1：如图1，如果点P是圆外一点，如何过点P
作该圆的切线呢？
图1
问题2：过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？
A
C
O
P
B
图2
图3
结论：过圆外一点可以作两条切线
1.过圆外一点可以画已知圆的两条切线 2.切线长的定义 3.切线长定理 4.会利用切线长定理进行计算与证明
五、随堂练习
1.如图11，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，
则四边形ABCD的周长为( B )
A．50 B．52
Dd d
cC c
C．54
D．56
a
b
O
A a 图11 b B
A cC c dE
解析：∵PA,PB是☉O的两条切线， 点A,B是切点， ∴PA=PB=7. ∵DE是☉O的切线 ∴DC=DA,EC=EB △PDE的周长=PD+PE+DE
=PD+PE+DC+EC =PD+PE+DA+EB=PA+PB=7+7=14 图8
练一练
如图9，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，
且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
二、新知探究—切线长定义
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的
线段的长叫作切线长．
A
2.切线长与切线的区别在哪里？
O
P
B
3.7切线长定理(教案)2018-2019学年九年级下学期数学教材解读(北师大版)

3.7切线长定理(教案)2018-2019学年九年级下学期数学教材解读(北师大版)

2.提高学生的逻辑推理和论证能力：引导学生通过观察、分析、归纳、推理等思维过程，发现并证明切线长定理，培养严谨的逻辑推理能力和论证技巧。
3.增强学生的数学应用意识：将切线长定理应用于解决实际问题，让学生在实际情境中发现数学的价值，提高数学应用意识和解决实际问题的能力，培养数学建模素养。
三、教学难点与重点
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了切线长定理，这是一个在几何学中至关重要的概念。通过教学，我发现学生们对于切线长定理的理解存在几个关键点需要关注。
首先，学生在理解切线长定理的定义上还存在一些困难。尽管通过直观的图形可以让他们感受到切线长相等的性质，但在抽象出定理的具体表述时，他们往往需要更多的时间和引导。我意识到，可能需要通过更多的实际例子和操作，让学生在动手实践中加深对定理的理解。
2.应用切线长定理解决实际问题：结合教材例题，让学生掌握如何利用切线长定理求解与圆相关的线段长度问题，以及在实际应用中如何构建切线长定理模型，提高学生的几何解题能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够直观理解圆的切线与半径、弦之间的关系，发展空间想象力和几何直观能力。
其次，定理的证明过程对学生来说是一个挑战。在课堂上，我尝试用了几种不同的方法来证明切线长定理，但显然，对于一部分学生来说，这些证明过程仍然难以消化。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助工具，比如动画或实物模型，来帮助学生更直观地理解证明的每一步。
在应用方面，我发现学生们在面对实际问题时，往往不知道如何运用切线长定理。这可能是因为他们还没有建立起几何问题与定理之间的联系。在未来的教学中，我计划设计更多与实际情境相关的题目，让学生在解决问题的过程中，学会如何将切线长定理应用到具体情境中。

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