完全平方数大全

完全平方数

目录

一、定义

二、基础性质及推论

三、重要结论

四、区别

五、特殊的完全平方数

六、范例

1. 例1

2. 例2

3. 例3

4. 例4

5. 例5

6. 例6

7. 例7

8. 例8

七、讨论题

一、定义及表达式

1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫平方数。

1.1例如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,

400,441,484,529，…

2、标准分解式：大于1的平方数n的标准分解式如下：

1222212klllknppp （1）

其中12121,,,,kkkpppppp是质数，12,,,klll是自然数。

2.1例如：

2222422223623,10025,14423,900235,

二、基础性质及推论

观察

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,

400,441,484,529，…

完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：

1、性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9.

（此为完全平方数的必要不充分条件）

证明：设2()nnN为完全平方数，0n是n的个位数，则2n的个位数与20n的个位数相同。利用整数同余的知识有

如果0(mod10)nn，那么220(mod10)nn

又0n的全体是集合0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，20n的全体是0,1,4,9,16,25,36,49,64,81，

20n的个位数全体是0,1,4,5,6,9。所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.

2、性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。

证明 奇数必为下列五种形式之一：

101,103,105,107,109aaaaa

分别平方后，得

综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

3、性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立

证明 已知，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则

或

即

或

∴ k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

4、性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

证明：

这是因为

5、性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到

是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。

6、性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得

同理可以得到：

7、性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为51k型，是5的因数或倍数的数为5k型。

证明：自然数被5除按余数的不同可以分为五类：5,51,52,mmmm为自然数。

22(5)5(5)5mmk，

22(51)5(52)151mmmk，

22(52)5(541)151mmmk.

8、性质8：形式具有下列形式之一：16k,16k+1,16k+4,16k+9.

证明：自然数被8除按余数的不同可以分为八类：8,81,82,83,84,mmmmm，m为自然数。

22(8)16(4)16,mmk

22(81)16()1161,mmmk

22(82)16(2)4164,mmmk

22(83)16(3)9169,mmmk

22(84)16(41)16.mmmk

除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数。

下面证明这个命题。

证明：设自然数1110101010,mmmmnaaaa 110,,,,mmaaaa是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9之一，那么

1101121121111()(101)(101)9999(11111111)mmmmmmmmmmnaaaaaaaaaaaa个个 是9的倍数。即

110()(mod9)mmnaaaa

关于完全平方数的数字和有下面的性质：

9、性质9：数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而

除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

10、性质10：2abc（c是自然数）为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。

证明 充分性：设b为完全平方数，则有21,bb 1b是那么 222211()abcbcbc是完全平方数。

必要性：若a为完全平方数，则有21aa，则有21a是2c的倍数，从而1a是c的倍数，设1akc，则有222221()aakckcbc，推出2bk是完全平方数。

11、性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。

证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。

性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。

即若

则k一定不是整数。

13、性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个正因数（包括1和n本身）。

证明一：设完全平方数1222212klllknppp，由初等数论知识得，n的正因数的个数12()(21)(21)(21)knlll是奇数。 反之，自然数1212ktttknppp的正因数的个数12()(1)(1)(1)knttt是奇数，则12,,,kttt均为偶数。从而12122221212kktlttllkknpppppp是完全平方数。

证明二：设完全平方数2na，那么每个小于a的正因数1a，都有一个大于a的正因数1na与之对应，这样的正因数就有偶数个，最后还有1个正因数a，从而n有奇数个正因数。

三、重要结论

1. 个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数。

由性质1得到。

2. 个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。

由性质2得到。

3. 个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。

由性质3得到

4. 形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

5. 形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

6. 形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

7. 形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；

8. 数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

9. 四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和

10.完全平方数的因数个数一定是奇数。

11、如果,mn自然数，且mn是10的倍数，那么2m的个位数与的2n个位数相同。

或者更一般的有：如果,mn自然数，且mn是10k的倍数，那么2m的末尾k位数与的2n的末尾k位数相同。或者如下书写：

如果0(mod10),kmn那么22(mod10)kmn

证明1（由整数同余式的性质立即可以得到）

证明2：已知10kmn，那么2222(10)10(102)kkkmnnnn是10k的倍数，从而2m的末尾k位数与的2n的末尾k位数相同。

四、平方式和完全平方数的区别

完全平方式分两种：

1、完全平方和公式

222()2abaabb，222()2abaabb 2、完全平方差公式

22()()ababab

区别：完全平方式是代数式，完全平方数是自然数。

五、特殊的完全平方数

1、雷劈数，或名卡布列克数

定义为：若正整数X（在n进位下）的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于X，那么X就是（n进位下的）卡布列克数。例如55^2=3025，而30+25=55。

印度数学家卡普列加（Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986）在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半：一半上写着30，另一半写着25。这时，卡布列克忽然发现30+25=55，55^2=3025，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。从此他就专门搜集这类数字。

按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”，也叫“分和累乘再现数”。

卡氏数可以指平方后的数，亦可指平方前的数，常常不加区分。

求法

人们容易找到其他的数也具有这样的性质。例如，易知2025具有该性质：20+25=45，45^2=2025。

求雷劈数的方法很多，从初等数学到高等数学，应有尽有。以下是两种最简单的办法（以两位数+两位数为例）：

方法一

设该数的前两位为x，后两位为y，根据定义，有

(x + y)^2 = 100x + y

即 x^2 + 2(y - 50)x + y^2 - y = 0。

该方程的判别式D=4(2500 - 99y)必须是完全平方数，而y本身也必须是平方数的尾数，故可求得y等于1或25，从而求得四个结果2025，3025，9801和0001（舍去）。

方法二

同样设该数的前两位为x，后两位为y。于是有

(x + y)^2 = 100x + y = x + y + 99x

(x + y)(x + y - 1) = 99x

从而看出x + y与x + y - 1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），从而找出候补者44，55和99。下略。