2019高考数学二轮复习 三、大题分层,规范特训(一)基础得分,天天练 规范练3 理

经典教育资源

经典教育资源（一） 规范练(三)

(时间：45分钟 满分：46分)

1．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2A＋cos2C－cos2B＝1＋sinAsinC.

(1)求角B的大小；

(2)若a＝3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD＝15314，求c.

[规范解答及评分标准] (1)由cos2A＋cos2C－cos2B＝1＋sinAsinC得1－sin2A＋1－sin2C－(1－sin2B)＝1＋sinAsinC.

即sin2A＋sin2C－sin2B＝－sinAsinC.(3分)

由正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，

由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12.

因为B∈(0，π)，所以B＝2π3.(6分)

(2)由(1)及a＝3知，b2＝a2＋c2＋ac＝c2＋3c＋9.

因为BD⊥AC，

所以△ABC的面积S＝12acsin∠ABC＝12b·BD.(9分)

所以12×3×c×32＝12×b×15314，解得b＝75c.

所以7c52＝c2＋3c＋9，解得c＝5(负值已舍去)．(12分)

2．(12分)如图，四棱锥P—ABCD中，△PAD为等边三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点．

(1)求证：平面PAB⊥平面CDE；

(2)若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A—DE—C的余弦值．

[规范解答及评分标准] (1)证明：如图，取AP的中点为F，连接EF，DF. 经典教育资源

经典教育资源（一）

∵E为PB的中点，∴EF綊12AB.

又∵CD綊12AB，∴CD綊EF.

∴四边形CDFE为平行四边形．∴DF∥CE.

∵△PAD为等边三角形，∴PA⊥DF，从而PA⊥CE.(3分)

又PA⊥CD，CD∩CE＝C，∴PA⊥平面CDE.

又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE.(6分)

(2)∵AB∥CD，PA⊥CD，∴PA⊥AB.

∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD.

又∵PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.

∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角，即∠CPD＝45°，∴CD＝PD.

∵△PAD为等边三角形，∴PD＝AD，∴CD＝AD.

以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

设AD＝4，则A(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,2,23)，D(0,4,0)，E(4,1，3)，

∴AE→＝(4,1，3)，AD→＝(0,4,0)．(8分)

设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)， 经典教育资源

经典教育资源（一） 则 n·AE→＝0，n·AD→＝0，即 4x＋y＋3z＝0，4y＝0.

令z＝－4，则x＝3，y＝0.∴n＝(3，0，－4)．(9分)

由(1)知，平面CDE的一个法向量为AP→＝(0,2,23)，(10分)

∴cos〈AP→，n〉＝AP→·n|AP→||n|＝－25719.(11分)

由图可知二面角A—DE—C的平面角为钝角，

∴二面角A—DE—C的余弦值为－25719.(12分)

3．(12分)某电商2018年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃的销售，为了了解该地区果园的樱桃销售情况，现从中随机抽取60个樱桃果园，统计各果园2017年的销售量(单位：万斤)，得到下面的频率分布直方图．

(1)从样本中销售量不低于9万斤的果园中随机选取3个，求销售量不低于10万斤的果园的个数X的分布列及其数学期望；

(2)该电商经过6天的试运营，得到销售量(单位：万斤)的情况统计表如下：

运营第n天 1 2 3 4 5 6

第n天电商的销售量yn 1.21 1.31 1.45 1.71 2.02 2.54

根据相关性分析，前n天累计总销量Tn与n之间具有较强的线性相关关系，由最小二乘法得回归直线方程为T^＝1.78n＋a^，用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天可使总销量不低于该地区各果园2017年的平均销量的2倍．

注：1.前n天累计总销售量Tn＝i＝1n yi.

2．在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作为代表．

3．1斤＝0.5千克． 经典教育资源

经典教育资源（一） [规范解答及评分标准] (1)由频率分布直方图可得样本中2017年销售量不低于9万斤的果园有(0.10＋0.05)×60＝9(个)，销售量不低于10万斤的果园有0.05×60＝3(个)．(2分)

随机变量X的可能取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝C36C39＝521，P(X＝1)＝C26×C13C39＝1528，

P(X＝2)＝C16×C23C39＝314，P(X＝3)＝C33C39＝184，

∴随机变量X的分布列为

X 0 1 2

3

P 521 1528 314 184

(4分)

∴E(X)＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184＝1.(6分)

(2)由运营期间销售量的情况统计表可得前n天累计总销售量Tn(单位：万斤)如下表：

运营第n天 1 2 3 4 5

6

前n天累计总

销售量Tn 1.21 2.52 3.97 5.68 7.70 10.24

∴n－＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝3.5，

T－＝1.21＋2.52＋3.97＋5.68＋7.70＋10.246＝5.22(万斤)(8分)

将样本的中心点(3.5,5.22)代入回归直线方程T^＝1.78n＋a^，得a^＝－1.01，∴T^＝1.78n－1.01.(9分)

用频率分布直方图中各区间的中点值作为代表，估计该地区2017年的平均销量为4.5×0.05＋5.5×0.15＋6.5×0.20＋7.5×0.30＋8.5×0.15＋9.5×0.10＋10.5×0.05＝7.35(万斤)．

由题意，得1.78n－1.01≥14.7，解得n≥8.83(11分)

∵n∈N*，∴该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2017年的平均销量的2倍．(12分)

选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．

4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

已知直线l的参数方程为 x＝－1＋tcosα，y＝1＋tsinα(t为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ＋2.

(1)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求出曲线C的普通方程；

(2)若α＝π4，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．

[规范解答及评分标准] (1)直线l经过定点(－1,1)．

由ρ＝ρcosθ＋2得ρ2＝(ρcosθ＋2)2， 经典教育资源

经典教育资源（一） 所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝(x＋2)2，

化简，得y2＝4x＋4.(4分)

(2)若α＝π4，则 x＝－1＋22t，y＝1＋22t，

所以直线l的普通方程为y＝x＋2，

所以直线l的极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ＋2.(6分)

由 ρ＝ρcosθ＋2，ρsinθ＝ρcosθ＋2，得ρ＝ρsinθ.

因为ρ≠0，所以sinθ＝1.取θ＝π2，得ρ＝2.

所以直线l与曲线C的交点的极坐标为2，π2.(10分)

5．[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，记f(x)的最小值为k.

(1)解不等式f(x)≤x＋1；

(2)是否存在正数a，b同时满足2a＋b＝k，1a＋2b＝4？说明理由．

[规范解答及评分标准] (1)不等式f(x)≤x＋1等价于|x－1|＋|x－2|－x－1≤0.

设函数y＝|x－1|＋|x－2|－x－1，则y＝ 2－3x，x<1，－x，1≤x≤2，x－4，x>2.

令y≤0，解得23≤x≤4.

∴原不等式的解集是x 23≤x≤4.(4分)

(2)f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥|x－1－x＋2|＝1，当且仅当(x－1)(x－2)≤0，即1≤x≤2时取等号，所以f(x)的最小值为1，故k＝1.(6分)

假设存在符合条件的正数a，b，则2a＋b＝1，

∴1a＋2b＝1a＋2b(2a＋b)＝4＋ba＋4ab≥4＋2 ba·4ab＝8，当且仅当ba＝4ab时取等号，又∵2a＋b＝1，∴a＝14，b＝12.(8分)

∴1a＋2b的最小值为8，即1a＋2b>4. 经典教育资源

经典教育资源（一） ∴不存在正数a，b，使得2a＋b＝1，1a＋2b＝4同时成立．(10分)