南师附中2011届高三模拟考试(数学)

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数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

2011．05

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知全集U＝R，集合A＝{x|log2x＞1}，则∁UA＝______________.

2. 已知复数z＝2i1＋i，则该复数的虚部为______________．

3. 已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为x－y＝0，则该双曲线的标准方程为__________．

4. 在如图所示的流程图中，输出的结果是__________．

(第4题)

5. 在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若A＝30°，a＝1，b＝2，则B＝____________.

6. 已知向量a与b的夹角为150°，且|a|＝2，|b|＝3，则(2a＋b)·a＝____________.

7. 已知函数f(x)＝ xx≥0，－x2－4xx＜0，若f(x)≤3，则x的取值范围是____________．

8. 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2图象的一部分，则此函数的表达式为____________．

(第8题)

9. 某人2011年初向银行申请个人住房公积金贷款a(a＞0)元购买住房，年利率为r(r＞0)，按复利计算，每年等额还贷一次，并从贷款后的次年初开始还贷．如果10年还清，那么每年应还贷款__________元．(用a、r表示)

10. 已知函数f(x)＝xx＋a，若函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则实数a＝____________.

11. 已知等差数列{an}的公差不为零且a3、a5、a8依次成等比数列，则S5a9＝______________.

12. 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右准线与x轴交于点A，点B的坐标为(0，a)，若椭圆上的点M满足AB→＝2AM→，则椭圆C的离心率为____________．

13. 在平面直角坐标系xOy中，集合M＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，N＝{(x－y，金太阳新课标资源网

第 2 页 共 11 页 金太阳新课标资源网 x＋y)|(x，y)∈M}，则当(x，y)∈N时，z＝x－2y的最大值为______________．

14. 已知函数f(x)＝4x＋k·2x＋14x＋2x＋1，若对于任意实数x1、x2、x3，均存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是____________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

某学科在市模考后从全年级抽出50名学生的学科成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示．

(1) 估计该次考试该学科的平均成绩；

(2) 为详细了解每题的答题情况，从样本中成绩在70～90之间的试卷中任选2份进行分析，求至少有1份试卷成绩在70～80之间的概率．

16.(本小题满分14分)

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA＝13.

(1) 求2sin2π3＋B＋C2＋sin4π3cosπ2＋A的值；

(2) 若a＝3，求三角形面积的最大值．

17. (本小题满分14分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M、N分别为AC、PD的中点．求证：

(1) MN∥平面ABP；

(2) 平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC.

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第 3 页 共 11 页 金太阳新课标资源网 18. (本小题满分16分)

已知直线l1、l2分别与抛物线x2＝4y相切于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为a、b(a、b∈R)．

(1) 求直线l1、l2的方程；

(2) 若l1、l2与x轴分别交于P、Q，且l1、l2交于点R，经过P、Q、R三点作⊙C.

① 当a＝4，b＝－2时，求⊙C的方程；

② 当a，b变化时，⊙C是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．

19. (本小题满分16分)

已知数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn＝2n＋7－2an.

(1) 求证：{an－2}为等比数列；

(2) 是否存在实数k，使得an≤n3＋kn2＋9n对于任意的n∈N*都成立？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

20. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝12ax2－2x＋2＋lnx，a∈R.

(1) 当a＝0时，求f(x)的单调增区间；

(2) 若f(x)在(1，＋∞)上只有一个极值点，求实数a的取值范围；

(3) 对于任意x1、x2∈(0,1]，都有|x1－x2|≤|f(x1)－f(x2)|，求实数a的取值范围. 金太阳新课标资源网

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数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修41：几何证明选讲

如图，D为△ABC的BC边上的一点，⊙O1经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C、D，交AC于另一点F，⊙O1、⊙O2交于点G.求证：

(1) ∠BAC＋∠EGF＝180°；

(2) ∠EAG＝∠EFG.

B. 选修42：矩阵与变换

已知M＝3－22－2，β＝45，试计算M9β.

C. 选修44：坐标系与参数方程

已知曲线 x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)和曲线 x＝－2t＋2，y＝3t(t为参数)相交于两点A、B，求A、B的坐标．

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第 5 页 共 11 页 金太阳新课标资源网 D. 选修45：不等式选讲

已知x、y均为正数，且x>y，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.

[必做题]第22、23题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为直线CC1上的动点，设C1F→＝λFC→.

(1) 当λ＝1时，求二面角F—DE—C的余弦值；

(2) 当λ为何值时，有BD1⊥EF?

23. 某养鸡场对疑似有传染病的100只鸡进行抽血化验，根据流行病学理论这些鸡的感染率为10%，为了减少抽检次数，首先把这些鸡平均分成若干组，每组n只，并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验一次，若发现有问题，再分别对该组n只鸡逐只化验．

(1) 当n＝4时，记某一组中病鸡的数量为X，求X的概率分布和数学期望；

(2) 当n为多少时，化验次数最少？并说明理由． 金太阳新课标资源网

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数学参考答案及评分标准

1. (－∞，2] 2. 1 3. x23－y23＝1 4. 10 5. 45°或135° 6. 5 7. [－1,9]∪(－∞，－3]

8. y＝2sin2x＋π6 9. ar1＋r101＋r10－1 10. －2 11. 2 12. 22 13. 3 14. －12≤k≤4

15. 解：(1) 用每组中的平均值作为每组中的样本数据，直接算得平均成绩为103.4.(5分)

(2) 样本中成绩在70～80之间有2人，设其编号为①②，样本中成绩在80～90之间有4人，设其编号为③④⑤⑥，从上述6人中任取2人的所有选取可能为：

①②，①③，①④，①⑤，①⑥；②③，②④，②⑤，②⑥；

③④，③⑤，③⑥；④⑤，④⑥；⑤⑥.(9分)

故从样本中成绩在70～90之间任选2人所有可能结果数为15，(12分)

至少有1人成绩在70～80之间可能结果数为9，因此，所求概率为P2＝0.6.(14分)

16. 解：(1) 2sin2π3＋B＋C2＋sin4π3cosπ2＋A

＝1＋cos2π3＋B＋C＋sinπ3sinA(2分)

＝1＋cos5π3－A＋sinπ3sinA

＝1＋cos5π3cosA＋sin5π3sinA＋sinπ3sinA

＝1＋cosπ3cosA－sinπ3sinA＋sinπ3sinA

＝76.(6分)

(2) ∵ b2＋c2－a22bc＝cosA＝13，∴ 23bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.(8分)

又a＝3，∴ bc≤94，

当且仅当b＝c＝32时，bc＝94，故bc的最大值是94.(10分)

∵ cosA＝13，∴ sinA＝223，S＝12bcsinA≤342.(12分)

故三角形面积的最大值是324.(14分)

17. 证明：(1) 连结BD，由已知，M为AC和BD的中点．又N为PD的中点，

∴ MN∥BP.∵ MN⊂面ABP，∴ MN∥面ABP.(6分)

(2) ∵ AB⊥BP，AB⊥BC，∴ AB⊥面BPC，

∴ AB⊥PC.(8分)

充分性：

∵ BP⊥PC，∴ PC⊥面ABP，

平面ABP⊥平面APC.(10分)

必要性：过点B作BE⊥AP于E，

∵ 平面ABP⊥平面APC，

∴ BE⊥面APC，∴ BE⊥PC.