文氏图在概率论学习中的妙用

第１３卷第２期（２ｏｏ８）　甘青高．斥　拒　Ｖｏ１．１３　Ｎｏ．２（２００８）　

文氏图在概率论学习中的妙用　

翟新平　

（定西师范高等专科学校，甘肃定西７４３０００）　

摘要：目前，在各类大专院校中，概率统计这门课已成为越来越多的专业的必修课，由于概率论的方法有　其独特之处，初学者往往感到它的基本概念和公式定理难懂，习题难做．但如果借助图形，便能化抽象为直观，　化难为易．　关键词：文氏图；事件关系；概率论学习　中图分类号：Ｏ２１１．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—９０２０｛２００８）０２—０２６－－０２　

概率统计是研究自然界随机现象内在特征的一　门数学学科，随着科学技术的迅速发展，这门学科也　

得到了蓬勃发展，它不仅形成了结构宏大的理论，而　

且在很多科学研究、工程技术和经济管理的领域里　有越来越多的应用．目前，在各类大专院校中，此门　

课程已成为越来越多的专业的必修课．由于概率论　的方法有其独特之处，初学者往往感到它的基本概　

念和公式定理难懂，习题难做．在学习该门课程时，　

理清事件之间的关系和把握运算规律是关键，也是　难点．由于事件运算和集合运算之间有很多相似之　

处，且有相仿的运算规律，因而在概率论学习过程　中，可将事件看作集合，在形式上，只须将对立事件　

理解为　，将必然事件理解为　，将不可能事件理解　

为　．集合间的关系可用文氏图直观表示，因而在概　

率问题中也可借助文氏图，化抽象为直观，化难为　

易．　以打靶为例，设事件　＝“命中小圆”，　＝“命中　

大圆”，则事件Ａ与Ｂ之间的关系可用下图表示：　

Ｏ　

图１　

⑩④　图４　

图５　一、公式、定理的证明　１．广义加法公式：　

对任意两个事件Ａ，Ｂ，有　

Ｐ（Ａ　ｕ　＝Ｐ（Ａ）＋ＪＰ（　）一Ｐ（ＡＢ）　分析：此公式的证明须借助概率的狭义加法公　

式，即当Ａ与　互不相容时，Ｐ（Ａ　ＵＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）　将事件　与Ｂ看作两个集合，　

做图如图６：　

由图６，可得，Ａ　ＵＢ＝ＡＢｕＡ　，　

Ｎ　ＡＢ与Ａ　互不相容，Ｂ＝ＡＢＵ￣，　图６　

且ＡＢ与ＢＡ互不相容．　

再由概率的狭义加法公式可得如下证明　

证明：因Ａ　ＵＢ＝Ａ　ＵＢＡ，　ＵＢＡ，且Ａ与ＢＡ、　

ＡＢ与ＢＡ互不相容，故　

Ｐ（Ａ　ＵＢ）＝Ｐ（Ａ　ＵＢＡ）＝Ｐ（Ａ）＋ＪＰ（ＢＡ）（１）　

Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（ＡＢＵＢＡ）＝Ｐ（Ａ　）十尸（ＢＡ）（２）　

两式相减，得　

尸（Ａ　ｕｓ）一Ｐ（　）＝Ｐ（Ａ）一Ｐ（ＡＢ）　（１）　即　Ａ　ＵＢ）Ｐ（Ａ）＋　）一Ｐ（ＡＢ）　

２．定理：若事件Ａ与　相互独立，则Ａ与Ｂ，Ａ　

与Ｂ，Ａ与Ｂ相互独立．　

分析：　与　相互独立，即Ｐ　（Ａ　）＝Ｐ（　）Ｐ（Ｂ），将事件　与　

看作两个集合，如图７：　图７　

由图７，可得Ａ　ＢＵＡＢ，且ＡＢ与ＡＢ互不相　

收稿日期：２００７—１２—２０　作者简介：翟新平（１９７１一），女，甘肃临洮人，定西师范高等专科学校数学系讲师，主要从事《概率论与数理统计》教学及研究工作．　

２６　第１３卷第２期（２００８）　翟新平：文氏图在概率论学习中的妙用　Ｖｏ１．１３　Ｎｏ．２（２００８）　

容，利用概率的狭义加法公式可作如下证明　…，　）互不相容，于是　

证明：因Ａ＝ＡＢＵＡＢ，且４　与ＡＢ互不相容，故　

尸（Ａ）＝尸（ＡＢＵＡＢ）＝Ｐ（ＡＢ）＋Ｐ（ＡＳ）　（３）　

因事件Ａ与　相互独立，即　＝尸（Ａ）Ｐ（　）　

于是由（３）式，得　ＡＢ）＝尸（　）一Ｐ（Ａ　）　

＝Ｐ（Ａ）一尸（Ａ）　曰）　

）（Ｊ—Ｐ（Ｂ））　

＝Ｐ（Ａ）Ｐ（　）　

即Ａ与Ｂ相互独立．　

同理可证，Ａ与　，　与　相互独立．　

３．全概公式：　如果事件组Ａ　Ｊ，　一，Ａ　满足：　

（１　。，Ａ　，…，　互不相容且Ｐ（Ａ　）＞－０，（　＝１，２，　

…，ｎ）　

ｆ：！　ＩＵＡ　２Ｕ…ＵＡ，Ｉ＝　则对任一事件　皆有　

Ｐ（　＝∑Ｐ（Ａ　）Ｐ（ＳＬ４　）　ｉ＝１　分析：仍以打靶为例，设每次射击均能射在矩形　

内，事件　＝“射在圆内”，Ａ产“射在曲边三角形　ＯＡＡｍ内”（　＝１，２，…，ｎ）Ａ。；Ａ　Ｂｉ＝“射在曲边三角形　

Ｄ　内”（　１，２，…，／７，），Ｃ　＝Ｇ则可得如图８的关　

系图：　

其中矩形代表必然事件　（全集），圆代表事件　

，Ｕ可分为ｎ个互不相交的集　（即ｎ个互不相　

＾　容事件），且ＵＡｉ＝Ｕ，Ｂ也可分为　个互不相交的集　ｌ　ｎ　合Ａ　（即　个互不相容事件），且Ｕ　＝＆　Ｉ＝ｌ　利用概率的狭义加法公式，可得如下证明．　

证明：Ｂ：Ａ　ｕＡ　ｕ…ｕ　，且Ａ　（　＝１，２，　尸（　）＝　ｕＡ　ｕ…ｕＡ　）　

＝尸（　。Ｂ）　Ａ　）＋…　Ａ　）　

＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（ＢＩＡ　１）＋Ｐ（　２）ＪＰ（ＢＩＡ２）＋…　

Ａ　）Ｐ（ＳＵ　）＝∑Ｐ（Ａ　）Ｐ（Ｓｔａ　）　ｉ＝ｌ　二、习题的解答　例１设Ａ与　为两个随机事件，且Ｐ（Ａ）＝　

１，Ｐ（　＝丁１，在下列三种条件下，求Ｐ（Ａ—日）．　

（１）Ａ与曰互斥；（２）Ｐ（　）＝　；（３）Ａ　ＣＢ．　Ｏ　解：（１）因Ａ与　互斥，故可作图９如下：　

由图９可知，Ａ—Ｂ＝Ａ，故Ｐ（Ａ－８）＝Ｐ（Ａ）＝　１；　

图９　ｏ　

⑩　

图ｌ０　图１１　

图１２　

（２）据题意，可知事件　与　间的关系如图　

１０，又事件　－Ｂ＝ＡＢ，其图如图１１．由图１Ｏ、图１１知，　

Ａ＝ＡＢ＋ＡＢ，且ＡＢ与ＡＥ于是　

Ｐ（Ａ　Ａ　＋Ａ　）＝Ｐ（ＡＳ）＋Ｐ（ＡＢ）　

即Ｐ（Ａ－Ｂ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＳ）　１一　１＝　８；　

（３）由Ａ　ＣＢ，可作得Ａ与Ｂ间的关系图如图　

１２．由图１２知，　＝　，故Ｐ（Ａ胡声　０　例２　Ａ与　为任意两个事件，则（）成立　

Ａ．（Ａ＋Ｂ）　

Ｂ．（Ａ＋　）—ＢｃＡ　

Ｃ．（Ａ—　）柏＝Ａ　

Ｄ．（Ａ—　）柏ｃ　解：因Ａ与Ｂ为任意两个事件，（下转第４８页）　

２７　第１３卷第２期（２００８）　刘俊文等：电控燃油泵控制电路原理及检修方法探讨　Ｖｏ１．１３　Ｎｏ．２（２００８）　

综上分析，尽管不同的燃油泵控制电路原理存在差异，但检　修的基础是掌握其基本工作原理，从控制电路的功能原理出发　检查其工作能力，然后利用各车系提供的检查诊断座进行进一　步检查，最后进行元器件功能检查．本文提出的四种典型的燃油　泵控制电路的检修方法具有一定的通用性，适合于各种同类汽　车检修．　

参考文献　［１】邯郸北方学校．怎样维修电控发动机呻】．机械工业出　版社．２００４．　［２］吴际璋．当代汽车电控系统结构原理与维修【Ｍ］．人民　交通出版社．２００２．　［３】Ｄ．诺莱斯．汽车计算机控制系统【　．机械工业出版社，　２ｏ０２．　【４］邹长庚，赵琳主编．现代汽车电子控制系统构造原理与　故障诊断　】．２００１．　

Ｔｈｅ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｃｉｒｃｕｉｔ　Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ａｎｄ　Ｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅ　Ｗａｙ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｆｕｅｌ　Ｐｕｍｐ　

ＬＩ　Ｊｕｎ—ｗｅｎ　ＪＩＡ　Ｑ　一ｃａｎｇ　ＭＥＮＧ　Ｇａｎｇ　

（Ｌａｎｚｈｏｕ　ｃｉｔｙ　ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ，Ｇａｎｓｕ　７３００７０）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｆ　ｔｈｅ　ｆｕｅｌ　ｐｕｍｐ　ｏｒ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｃｉｒｃｕｉｔｓ　ｈａｖｅ　ｂｒｅａｋｄｏｗｎ，ｔｈｅ　ｆｕｅｌ　ｉｎｊｅｃｔｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｌｅｓｓ　ｆｕｅｌ　ｐｒｅｓｓｕｒｅ，ｅｖｅｎ　ｉｆ　ｔｈｅ　ｆｕｅｌ　ｉｎ—　ｊｅｃｔｏｒ　ｉｓ　ｎｏｒｍａｌ，ｔｈｅ　ｆｕｅｌ　ａｌｓｏ　ｃａｎ’ｔ　ｂｅ　ｉｎｊｅｃｔｅｄ．Ｂｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｔｈｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ｆｏｕｒ　ｆｕｅｌ　ｐｕｍｐ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｃｉｒｃｕｉｔ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｆｕｅｌ　ｐｕｍｐ　ｓｗｉｔｃｈ　ｃｏｎｔｒｏｌ，ＥＣＵ　ｃｏｎｔｒｏｌ，ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ　ｓｐｅｅｄ　ｃｏｎｔｒｏｌ，ｉｔ　ｓｉｖｅｓ　ｔｈｅ　ｃｏｍｍｏｎ　ｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅ　ｗａｙ　ｏｆ　ｆｕｅｌ　ｐｕｍｐ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｃｉｒｃｕｉｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　ｆｕｅｌ　ｉｎｊｅｃｔｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ；ｆｕｅｌ　Ｐｕｍｐ；ｃｏｎｔｒｏｌ　ｃｉｒｃｕｉｔ；ｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅ　

责任编辑：郭有婧　

（上接第２７页）　

图ｌ５　故它们的关系如图ｌ３，事件（　＋　）一　如图１４，事件　（Ａ—Ｂ）＋Ｂ如图１５，故答案Ｂ正确．　

参考文献：　［】］陈家鼎，刘婉如，汪仁官．概率统计讲５Ｃ［Ｍ］．高等教育　出版社．２００４．　［２例婉如，高尚华，徐信之．概率与统计［１ＩＩ】．高等教育出　版社．１９９５．　［３降林曙，施光燕．概率论与数理统计【Ｍ】．中央广播电视　大学出版社．２ｏｏ３．　

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｗｅｎ・－－Ｓｈｉ　Ｄｉａｇｒａｍｓ　ｔｏ　Ｐｒｏｂａｂｌｉｔｙ　Ｔｈｅｏｒｙ　

ＺＨＡＩ－Ｘｉｎｐｉｎｇ　

（Ｄｉｎｇｘｉ　ｔｅａｃｈｅｒ’ｓ　ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｄｉｎｇｘｉ，Ｇａｎｓｕ　７４３０００）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｔ　ｐｒｅｓｅｎｔ，ｉｎ　ｅａｃｈ　ｃｏｌｌｅｇｅ，ｔｈｅ　ｃｏｕｒｓｃ　ｏｆ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｂｅｃｏｍｅ　ｃｏｍｐｕｌｓｏｒｙ　ｅｏｕｉ＇ｓ￣ａｍｏｎｇ　ｍ０ｒｅ　ａｎｄ　ｍｏｒｅ　ｍａｊｏｒｓ・Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ．Ａｓ　ａ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，ｔｈｅ　ｂｅｇｉｎｎｅｒｓ　ａｌｗａｙｓ　ｆｉｎｄ　ｉｔ　ｈａｒｄ　ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｉｔｓ　ｂａｓｉｃ　ｃｏｎｃｅｐｔｉｏｎ，ｆｏｒ　ｍｕｌａｅ　ａｓ　ｗｅｌｌ　ａｓ　ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ　ａｒｅ　ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ　ｆｏｒ　ｔｏ　ｔｈｅｍ　ｔｏ　ｄｅａｌ　ｗｉｔｈ．Ｂｕｔ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｈｅｌｐ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｉａｇｒａｍｓ，ｔｈｅ　ａｂｓｔｒａｃｔ　ｃａｌｌ　ｂｅ　ｔｕｒｎｅｄ　ｉｎｔｏ　ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｗｅｎ－Ｓｈｉ　ｄｉａｇｒａｍｓ；ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｃｃｉｄｅｎｔ；ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ　

４８　

责任编辑：何启明