导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题
含参数导数问题的分类讨论问题
1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2
131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间
)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f
★★例1 已知函数x a x
a
x x f ln )2(2)(+--
=（a>0）求函数的单调区间 2
2
2)
)(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22
21
1
ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
（Ⅱ）由于0a ≠，所以()()
1
2)1(222+-+='x x a x f ,由
()'0f x =，得121
,x x a a
=-=。这两个实根都在定
()()()()()()
2
2
'
2222
122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛
⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ⎛
⎫
-∞-
⎪⎝⎭
，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ⎛⎫-
⎪⎝⎭为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
；
函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
（1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1
(+∞-a
内为增函数，在区间
)1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
；函数
()f x 在
2x a =处取得极大值()1f a =。
以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点
的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。
★★★(区间确定零点不确定的典例)
例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）
的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12-x ）2
万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.
解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2
,x ∈［9,11］.
(2)L ′(x)=(12-x)2
-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).
令L ′=0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+3
2a ≤
3
28. 在x=6+3
2
a 两侧L ′的值由正变负.
所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜2
9
时，
L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2
=9(6-a). ②当9≤6+3
2a ≤
328即2
9
≤a ≤5时， L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以Q(a)=⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
≤≤-<
≤-.52
9
,
)313(4,2
93),6(93a a a a
答 若3≤a ＜2
9
，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若2
9
≤a ≤5，则当每件售价为(6+3
2a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=4（3-3
1a ）3
(万元).
★★★★（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）
例2、已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f (Ⅰ).求函数()x f 的单调区间;
(Ⅱ).求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;
(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'
+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.
解：(Ⅰ)(),10,0,1ln )('
'e
x x f
x x f <<<+=解得令 ();1,0⎪⎭
⎫
⎝
⎛∴e x f 的单调递减区间是
(),1
,0'e x x f >>解得令），
，的单调递增是（∞+e x f )(
(Ⅱ)(ⅰ)0e 1，t 无解； (ⅱ)01
时，e e f x f 1)1()(min -==；
)
(x L 0
y
x
12
9
)
(x L '
X=12 3218a x +=
