第一章 复变函数习题及解答
写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数)
（1）1-； （2）
ππ2(cos
isin )33-； （3）1cos isin αα-+；
（4）1i
e +； （5）i sin R e θ
； （6）i +
答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L
；主辐角为4π
3；
原题即为代数形式；三角形式为
4π4π2(cos
isin )33+；指数形式为4π
i 32e ．
（2）略为
5π
i 35π5π
2[cos
sin ], 233i e +
（3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα
（4）略为 i
;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+
（6）该复数取两个值
略为i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ
θθθθθθ+=+=+
计算下列复数 1）()
10
3
i 1+-；2）()3
1i 1+-；
答案 1）3512i 512+-；2）
()13π/42k π
i
6
3
2e 0,1,2k +=；
计算下列复数
（1 （2
答案 （1
（2）(/62/3)
i n e
ππ+
已知x
【解】 令
i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到
22
12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以
22
1,(p q pq p x q x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩=±==±+
即实部为 ,x ±
虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值．
如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有|
|1
az b
bz a +=+
【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以
1()
()1|||||
|||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++
如果复数b a i +是实系数方程
()011
10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根．
证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()()
k
k
z z =，
故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()(
)
00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．
注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．
证明：
2222
121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.
【解】 因为
22
2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin )
(1)2(cos sin )2(cos sin )n n
n
n
n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π=所以 4
,4,(0,1,2,)n k n k k π
π===±±L
将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ
答案 53244235
(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ
θθθθθ-+-+
证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有
2110n -++++=L w w w
对于复数,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：
2
2
2
2
1
1
1
1
||(||||)||
||n n n
n
k k k k k k
k k k k αβαβαβ
====≤≤∑∑∑∑ 成立。
【证明】 对任意n 个复数，由三角不等式知
1
1
||||||
n n
k k k k k k αβαβ==≤∑∑
再由关于实数的柯西不等式得
2
2
2
2
1
1
1
1
||(||||)||
||n n n
n
k k k k k k
k k k k αβαβαβ
====≤≤∑∑∑∑,证毕。
证明 1sin()sin
22cos cos 2cos3cos ;2sin
2n n θθθθθθθ+-++++=
L
1cos
cos()22sin sin 2sin 3sin 2sin
2n n θ
θθθθθθ
-+++++=
L 成立．
下列不等式在复数平面上表示怎样的点集？ 1）()1Re 0<320<-5）
2
1
1
<+-z z
（答 1）平面上由0=x 与1=x 所构成的宽度为1的铅直带形域；2）以0z 为心，内半径为
2，外半径为3的圆环域；3）顶点在原点，开度为()01ϕϕ-的角形区域；4）宽度为π
的说平带形域，边界为0=y ，π=y ；5）以035z =-
为心，
34
=
R 为半径的圆之外部区域）
指出下列关系表示的点之轨迹或范围；并说明是何种点集？
