专题01 平方根及立方根
知识框架
重难突破
一. 平方根
1.平方根
（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．
（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2. 算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：
①被开方数a是非负数；
②算术平方根本身是非负数．
即a≥0，a≥0．
备注：
20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ （3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．
例1．（2019·河南偃师�初二期末）9的算术平方根是( )
A ．3
B ．9
C ．±3
D ．±9
练习1．（2019·郑州市第二高级中学初二期中）16的算术平方根是（ ）
A ．4
B ．±4
C ．2
D ．±2
练习2．（2019·河南西华�初一期中）下列各式中，正确的是( )
A ．2(3)3-=-
B ．233-=-
C ．2(3)3±=±
D ．23=3± 例2．（2020·河南建安�初二期中）已知()2x y+3+2y=0--，则x+y= ．
练习1．（2019·郑州�河南省实验中学初二期中）已知a 、b 满足（a ﹣1）2+2b +=0，则a+b=_____． 练习2．（2018·河南新郑�初二期中）已知5a =，27b =，且a b a b +=+，则-a b 的值为（ ） A ．2或12 B ．2或12- C ．2-或12 D ．2-或12-
例3．（2018·安徽初一期中）9的平方根是（ ）
A ．3-
B ．3
C ．3±
D ．81
练习1．（2020·昆明市官渡区第一中学初一期中）81的平方根是（ ）
A ．9
B ．9或－9
C ．3
D ．3或－3
练习2．（2020·河南潢川�初一期中）若是24x =，则x =_ _．
例4．（2020·开封市第五中学初一月考）若x 与2x －6是同一个正数m 的两个不同的平方根，则x ＝ ，
m ＝ .
练习1．（2019·河南偃师�初二期中）某正数的平方根为3a 和293
a -，则这个数为____________． 练习2．（2018·郑州市第二高级中学初二期中）已知2m+2的平方根是±
4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.
二. 立方根
1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．这就是说，如果3
x a =，那么x 叫做a 的立方根．记作：
．
2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3．求一个数a 的立方根的运算叫开立方，其中a 叫做被开方数．
备注：①符号中的根指数“3”不能省略；
②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
例1．（2019·河南夏邑�初一期中）若一个数的平方根是±8，那么这个数的立方根是（ ）
A ．2
B ．±4
C ．4
D ．±2
练习1．（2019·河南桐柏�初二期中）若
，则m 的立方根是（ ） A ． B ． C ． D ．
例2．（2019·河南唐河�初二期中）下列说法中，正确的是（ ）
A ．9＝±3
B ．64的立方根是±4
C ．66
D ．25的算术平方根是5
练习1．（2020·河南鹿邑�初一期中）给出下列说法：①﹣0.064的立方根是±0.4；②﹣9的平方根是±3；3a -3a ；④0.01的立方根是0.00001，其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例3．（2019·河南川汇�初一期中）求下列各式中的x 的值：
（1）()2110x +-=；
（2）
()3291034
x ++=.
练习1．（2019·河南柘城�初一期中）求下列各式中的x 的值：
(1)(x ＋10)3＝－343；
(2)36(x－3)2＝49．
例4．（2020·河南嵩县�初二期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，c的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a-b+c的平方根.
练习1．（2019·河南淅川�初二期中）已知某正数的两个平方根分别是m+4和2m﹣16，n的立方根是﹣2，求﹣n﹣m的算术平方根．
练习2．（2019·河南长葛�初一期中）观察下列计算过程，猜想立方根.
3
1=1 32=8 33=27 34=64 35=125 36=216 37=343 38=512 39=729
