湖南大学第五章 采样.讲义

第五章 采样 基本题 考虑正弦信号 )sin()(0ttx 若)(tx用频率sradTs/2采样，那么离散时间信号)(][nTxnx就等于 )sin(][0nTnx 假定采样频率固定在srads/)8192(2。 1．假设srad/)10000(20并定义T=1/8192。创建向量n=[0:8192]，使得t=n*T包含了区间10t内8192个时间样本。创建向量x，它包含在t的时间样本上)(tx

的样本。 2．用stem对n展示前50个][nx样本，用plot对采样时间展示)(tx的前50个样本。 为了计算带限重建信号)(txr的连续时间傅立叶变换的样本，今用下列函数 function [X,w]=ctffts(x,T) N=length(x); X=fftshift(fft(x,N))*(2*pi/N); w=linspace(-1,1-1/N,N)/(2*T); 这个函数用fft计算重建信号的傅立叶变换。文件ctffts.m应该装在相应的MATLABPATH中。 3．用[X,w]=ctffts(x,T)计算重建信号)(txr的连续时间傅立叶变换。画出X对w的幅值图。X在合理的频率值上是非零吗？假定当X接近于零时，相位等于零，X的相位正确吗？ 中等题 4．对正弦频率srad/)15000(20和srad/)20000(2重作1～3。X的幅值对于所预计的频率还是非零吗？X的相位正确吗？ t=linspace(0,1,8192); w=2*pi*2000; y=[]; T=1/8192; x=sin(w*t); for n=1:50 y(n)=x(n); end [X,w]=ctffts(x,T); subplot(211) plot(w,X); axis([-2500 2500 0 1.5]); subplot(212) xn=angle(X); plot(xn); 5．用sound(x,1/T)将4中创建的每个采样信号放出来。你听到的音调随0频率的提高而提高吗？注意，和plot一样，sound函数也有内插的作用。 有提高

6．现在对正弦频率srad/)35000(20，srad/)40000(2，srad/)45000(2，srad/)50000(2和srad/)55000(2重作1和3。也用sound将每个采样信号放出来。你所听到的音调高度随每次频率0的增加而提高吗？如果不是，你能解释这个现象吗？ 深入题 现在考虑信号

)21sin()(20tttx 由于这个信号当通过一个扬声器放出来时，其声音听起来像鸟叫的声音，所以常称它为鸟声信号，这是由于这个信号的瞬时频率随时间而增加的缘故。一个正弦信号的瞬时频率是它的相位的导数，即sin(.)的宗量的导数。对于这个鸟声信号，其瞬时频率是

tdtttdtinst020)21()( 在下面习题中，假设srads/)8192(2。 7．设srad/)30000(20和2/2000srad，将该鸟声信号在区间10t内的样本存入时间向量x中。 w=2*pi*30000; r=2000; T=1/8192; n=[0:8192]; t=T*n; x=sin(w*t+1/2*r*t.^2) sound(x,1/T); plot(t,x);

当t等于0.548的时候，即瞬时频率等于抽样频率的一半时，鸟声的强度最大。 8．用sound放出在x中的鸟声信号。你能解释刚才听到的吗？ 9．确定鸟声信号有最大强度的近似时间样本。已知瞬时频率的线性方程和你对混叠的理解，请解释怎样本就能预计到这个时间样本。

§5.2 由样本重建信号 目的 这个练习讨论由样本重建原连续时间信号。 相关知识 这个练习包含信号)(tx从它的样本)(nTx的重建，这里T是采样周期，n是任意整数。正如在练习5.1中所讨论的。如果)(tx的带宽小于Ts2，那么)(tx就能用低通过滤)(tx的冲激串采样)(txp完全恢复

npnTtnTxtx)()()(

由)(txp重建)(tx所用的低通滤波器是







其余 02 )(sT

jH 它是一个截止频率为2s的理想低通滤波器。这个滤波器的单位冲激响应 2)2sin()(1ttthssb

然后带限重建由下式给出 nbbnTthnTxtx)()()(11

这个信号是否是)(tx的一个“好”的重建取决于)(tx的带宽。正如在练习5.1所指出的，如果)(tx的带宽是大于2s，那么这个重建信号)(1txb一般不等于)(tx。 如果)(tx的带宽超过2s，仍然有可能从它的样本)(nTx恢复)(tx，如果还有关于)(tx的样本的另外一些信息的话。譬如，若已知)(tx是分段线性的，那么就可以用一个线性内插器重建)(tx。样本)(nTx的线性内插器由)(txp与下面单位冲激响应卷积给出：





tTtTtthlin其余 0 1

)(

连续时间重建信号)()()(thtxtxlinlin等效于用直线将这些样本连起来。然而，就如同在采样率低于奈奎斯特率时，带限内插在不能很好的恢复一个信号一样，如果原信号不是分段线性的，线性内插器不能产生一个很好的重建。下面的练习将说明，任何内插滤波器的性能都取决于原信号)(tx的特征。 在下面的练习中，既用带限内插，又用线性内插从采样时刻21,TnTt得到的样本来重建下列信号： )58cos()(1ttx





ttttx其余 02 21

)(2

基本题 1．用解析法证明，在采样时刻)(1txb和)(txlin都等于样本值)(nTx。这样的内插器称为严格内插器，因为它们保留了原始信号在采样时刻的真正值。这个带限内插和线性内插滤波器时因果的吗？ 2．)(1tx和)(2tx带限吗？若是，带宽是多少？ syms t; x1t=sym('cos(8*pi*t/5)'); ht=sym('heaviside(t+2)-heaviside(t-2)') x2=sym('1-abs(t)/2'); x2t=ht.*x2; subplot(1,4,1); ezplot(x1t); grid on;

subplot(1,4,2); ezplot(x2t); grid on;

F1=fourier(x1t); subplot(1,4,3); ezplot(F1,[-100,100]); grid on;

F2=fourier(x2t); subplot(1,4,4); ezplot(F2,[-10,10]); grid on;

根据频谱图形可以看出x1t是带限的，其大小是8*pi/5*2,x2t不是带限的

3．创建一个向量ts，它包含在4t内的采样间隔nTt。将对应于ts的)(1tx和)(2tx

的样本存入向量xs1和xs2，用stem画出xs1和xs2对ts的图。 T=1/2; n=[-4:4]; ts=n*T; x1t=cos(8*pi*ts/5); x2t=(1-abs(ts)/2).*(heaviside(ts+2)-heaviside(ts-2)); xs1=x1t; xs2=x2t; figure; subplot(1,2,1); stem(ts,xs1); grid on; title('xs1µÄͼÐÎ'); Xlabel('x1[n]'); subplot(1,2,2); stem(ts,xs2); grid on; title('xs2µÄͼÐÎ'); Xlabel('x2[n]');

为了从这个样本重建)(1tx和)(2tx，要注意到这些重建信号在MATLAB中仅仅能够一个有限的样本数上被计算出。因此，要计算这些内插信号仅在区间2t上，将含在xs1和xs2中的每个样本之间计算3个样本。因此这个内插信号的采样间隔就是81sT。另一个问题是)(1thb的无限长持续时间问题。下面将用有限长内插器来代替)(1thb； 



ttththbfb其余 02 )(

)(1

1

用这个内插滤波器)(1thfb内插)(1tx和)(2tx的样本所得出的信号称作)(11tyb和)(12tyb。相类似地，用线性内插器)(thlin内插)(1tx和)(2tx的样本所得出的信号称作)(1tylin

和)(2tylin。

4．假设Ti=1/8并创建一个内插时刻ti=[-2:Ti:2]向量。将在内插时刻)(1thfb和)(th

lin

的值存入向量hb1和hlin中。用plot画出这两个单位冲激响应对ti的图。在采样时刻ts上这两个单位冲激响应的值是什么？每个单位冲激响应的峰值都应该在0t处。 Ts=1/8; ws=4*pi; n1=[-16:16]; t1=n1*Ts; hb1f=sinc(2.*t1).*(heaviside(t1+2)-heaviside(t1-2)); x1t1=cos(8*pi*t1/5); x2t1=(1-abs(t1)/2).*(heaviside(t1+2)-heaviside(t1-2)); y1b1=conv(hb1f,x1t1); y2b1=conv(hb1f,x2t1); hlin=(1-abs(t1)/T).*(heaviside(t1+T)-heaviside(t1-T)); y1lin=conv(hlin,x1t1); y2lin=conv(hlin,x2t1);