数学八年级下册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法第4课时作业设计新版浙教版

浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程》是浙教版数学八年级下册第2章第1节的内容。

本节课的主要内容是一元二次方程的定义、解法以及应用。

一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

它不仅在数学领域有广泛的应用，而且在物理、化学等自然科学领域也有重要作用。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

但是，对于一元二次方程的理解和应用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，通过实例引入一元二次方程，引导学生掌握一元二次方程的解法，并能够应用一元二次方程解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。

2.教学难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题引入一元二次方程，激发学生的兴趣。

2.自主学习：学生自主探究一元二次方程的定义和解法，教师给予引导和帮助。

3.课堂讲解：教师讲解一元二次方程的定义和解法，通过实例解释一元二次方程的应用。

4.课堂练习：学生进行课堂练习，巩固一元二次方程的解法。

5.小组讨论：学生分组讨论一元二次方程的应用问题，分享解题思路和方法。

6.总结提升：教师引导学生总结一元二次方程的解法和应用，强调重点和难点。

7.课后作业：学生完成课后作业，巩固所学内容。

第1讲 一元二次方程及解法命题点一：利用一元二次方程的概念求值例1已知关于x 的方程(m ＋2)x |m |＋3x ＝mx ＋1是一元二次方程，则m 的值为 2 ． 例2方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －3)x －1＝0，(1)当m 取何值时，是一元二次方程？并求出此方程的解． (2)当m 取何值时，是一元一次方程？解：(1)若方程是一元二次方程，则m 2＋1＝2，∴m ＝±1. 显然m ＝－1时，m ＋1＝0，不符合题意．故m ＝1符合题意． 当m ＝1时，原方程可化简为2x 2－2x －1＝0， ∴x 1＝1＋32，x 2＝1－32.因此m ＝1，方程的两根为x 1＝1＋32，x 2＝1－32. (2)当m ＋1＝0时，解得m ＝－1，此时方程为－4x －1＝0； 当m 2＋1＝1时，解得m ＝0，此时方程为－2x －1＝0. ∴当m ＝－1或m ＝0时，方程为一元一次方程． 命题点二：用适当的方法解下列方程 例3解下列方程：(1)3(1－x )2＝27. (2)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2. (3)x 2－12x ＝9 964. (4)x 2－33x ＋6＝0.解：(1)由原方程，得(1－x )2＝3，∴1－x ＝3或1－x ＝－3， 解得x 1＝1－3，x 2＝1＋ 3.(2)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，将方程的左边因式分解，得[2(3x ＋1)－5(x －2)][2(3x ＋1)＋5(x －2)]＝0， 即(x ＋12)(11x －8)＝0.∴x ＋12＝0或11x －8＝0，解得x 1＝－12，x 2＝811. (3)方程两边都加上36，得x 2－12x ＋36＝9 964＋36，即(x －6)2＝10 000.∴x －6＝100或x －6＝－100，解得x 1＝106，x 2＝－94. (4)对于方程x 2－33x ＋6＝0，a ＝1，b ＝－33，c ＝6，b 2－4ac ＝(－33)2－4×1×6＝3， ∴x ＝－(－33)±32×1.∴x 1＝23，x 2＝ 3.【思路点拨】方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的常见变形： ①ax 2＋bx ＝－c ； ②ax 2＝－bx －c ； ③ax ＋c x＝－b (x ≠0). 例4解下列方程：(1)x 2－3x ＝3x ＋1. (2)x 2＋3＝32x . (3)2x 2＋(3m －n )x －2m 2＋3mn －n 2＝0. 解：(1)由原方程移项，得x 2－6x －1＝0，a ＝1，b ＝－6，c ＝－1，b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－1)＝40. ∴x ＝6±2102×1.∴x 1＝3＋10，x 2＝3－10.(2)由原方程移项，得x 2－32x ＋3＝0，a ＝1，b ＝－32，c ＝3，b 2－4ac ＝(－32)2－4×1×3＝6.∴x ＝32±62×1.x 1＝32＋62，x 2＝32－62.(3)由原方程移项，得2x 2＋(3m －n )x －(2m －n )(m －n )＝0. 因式分解，得(x ＋2m －n )(2x ＋n －m )＝0， ∴x 1＝n －2m ，x 2＝m －n 2.命题点三：利用一元二次方程求代数式的值 例5若a 2－3a ＋1＝0，则a 2＋1a2的值为 7 ．例6若y 2＋4y ＋2＝0，则y 2y 4－2y 2＋4＝ 110．命题点四：利用公共根求值例7一元二次方程x2－2x－54＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋94＝0的根，求k的值．解：x2－2x－54＝0，移项，得x2－2x＝54.配方，得x2－2x＋1＝94，即(x－1)2＝94.开方，得x－1＝±32，解得x1＝52，x2＝－12.Δ＝(k＋2)2－9≥0，即k≥1或k≤－5.①根据题意，把x＝52代入x2－(k＋2)x＋94＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫522－52(k＋2)＋9 4＝0，解得k＝75；②把x＝－12代入x2－(k＋2)x＋94＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫－122＋12(k＋2)＋94＝0，解得k＝－7.∵75＞1，－7＜－5，∴两个k均符合题意．综上所述，k的值为－7或7 5 .例8已知a是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0及3x2－(6k－1)x＋8＝0的公共解，则a＝ 1 ，k＝ 2 ．命题点五：利用判别式解决问题例9已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根．(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？解：(1)∵该方程是关于x的一元二次方程，∴m≠0，Δ＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.∵不论m为何值时，(m－2)2≥0，∴Δ≥0.∴方程总有实数根．(2)解方程，得x＝m＋2±(m－2)2m，x1＝2m，x2＝1.∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2. 当m＝2时，x1＝x2＝1不合题意，∴m ＝1.例10已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根．(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m )(3－m )＋7m －5的值(先化简，再求值)．解：(1)∵该方程是关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0， ∴Δ＝(2m ＋1)2－4m (m ＋1)＝1>0. ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)∵x ＝0是此方程的一个根，∴把x ＝0代入方程中，得到m (m ＋1)＝0. ∴(2m －1)2＋(3＋m )(3－m )＋7m －5 ＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5 ＝3m 2＋3m ＋5 ＝3m (m ＋1)＋5 ＝5.命题点六：解特殊方程例11(1)方程x 2－||x －3－3＝0，则此方程的根是 x ＝－3或2 ．(2)解方程：(x 2－2x )2＋(x 2－2x )－2＝0. 解：因式分解，得(x 2－2x －1)(x 2－2x ＋2)＝0. ∵x 2－2x ＋2始终大于0， ∴x 2－2x －1＝0.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(3)解方程：x 2－2x ＋2xx 2－2＝3.解：设a ＝x 2－2x ，则原式为a ＋2a ＝3.解a ＋2a＝3，得a 1＝1，a 2＝2.当a ＝1时，x 1＝2，x 2＝－1； 当a ＝2时，x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.(4)如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为( C ) A ．2或－1 B ．0或1 C ．2 D.－1 (5)解方程：2x 2－15x －2x 2－15x ＋1 998＝－18. 解：令t ＝2x 2－15x ＋1 998，则t 2－t －1 980＝0.因式分解，得(t －45)(t ＋44)＝0，解得t 1＝45，t 2＝－44(舍去)． ∴2x 2－15x －27＝0.因式分解，得(2x ＋3)(x －9)＝0， 解得x 1＝－32，x 2＝9.例12(1)解方程：(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0.解：原式＝(x 2－2)(x 2－5)＝0，x 2＝2或x 2＝5，∴x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5. (2)解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2－4x －2x ＝3.解：设a ＝2x －1x，则原式＝a 2－2a ＝3，解得a 1＝3，a 2＝－1. 当a ＝3时，x ＝－1； 当a ＝－1时，x ＝13.∴x 1＝－1，x 2＝13.(3)方程x 2－2 012||x ＋2 013＝0的所有实数解的和为( B ) A ．－2 012 B ．0 C ．2 012 D ．2 013 (4)方程(x 2＋x －1)x ＋3＝1的所有整数解的个数是( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．51 (5)解方程：3x －5＋36－3x ＝1. 解：令t ＝3x －5，得1－t ＝31－t 2. 由原式，得t (t －1)(t －3)＝0，解得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝3. ∴x 1＝53，x 2＝2，x 3＝143.课后练习1．我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3，现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0，它的解是( D )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝－3 2．(2018·包头)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为( B )A ．6B ．5C ．4 D.33．设方程(x －a )(x －b )－x ＝0的两个根为c ，d ，则方程(x －c )(x －d )＋x ＝0的根为( A )A ．a ，bB ．－a ，－bC ．c ，dD ．－c ，－d4．已知三个关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，bx 2＋cx ＋a ＝0，cx 2＋ax ＋b ＝0恰有一个公共实数根，则a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab的值为( D )A ．0B ．1C ．2D ．35．若x ＝0是一元二次方程(m －2)x 2＋3x ＋m 2＋2m －8＝0的解，则m 的值为 －4 ． 6．若方程x 2－8x ＋12＝0的两个根是等腰三角形两条边的长，则该三角形的底边长为 2 ． 7．若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别为m ＋1与2m －4，则ba＝ 4 ．8．已知a ，b 是方程x 2－x －3＝0的两个根，则代数式2a 3＋b 2＋3a 2－11a －b ＋5的值为 23 ． 9．设a ，b 是整数，方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是4－23，则a ＋b ＝ 0 ． 10．已知关于x 的方程x 2－(m ＋2)x ＋2m －1＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以这两个根为边长的直角三角形的周长．解：(1)∵Δ＝(m ＋2)2－4(2m －1)＝(m －2)2＋4，∴在实数范围内，m 无论取何值，(m －2)2＋4≥4，即Δ≥4. ∴关于x 的方程x 2－(m ＋2)x ＋2m －1＝0恒有两个不相等的实数根． (2)根据题意，得12－1×(m ＋2)＋2m －1＝0，解得m＝2，则方程的另一个根为3.①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10，则该直角三角形的周长为1＋3＋10＝4＋10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1和3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22，则该直角三角形的周长为1＋3＋22＝4＋2 2.11．已知实数m满足m2－3m＋1＝0，求代数式m2＋19m2＋2的值．解：∵m2－3m＋1＝0，∴m2＝3m－1.∴m2＋19m2＋2＝3m－1＋193m－1＋2＝3m－1＋193m＋1＝9m2－1＋193m＋1＝9m2＋183m＋1＝9(3m－1)＋183m＋1＝9(3m＋1) 3m＋1＝9.12．已知关于x的方程x2－x＋3m＝0，x2＋x＋m＝0(m≠0)，若前一个方程中有一个根是后一个方程的某个根的3倍，求实数m的值．解：设α是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则3α是方程x2－x＋3m＝0的一个根．∴α2＋α＋m＝0，①9α2－3α＋3m＝0，即3α2－α＋m＝0.②②－①，得2α2－2α＝0，解得α＝0或1.当α＝0时，02＋0＋m＝0，m＝0(舍去)；当α＝1时，12＋1＋m＝0，m＝－2.故实数m的值为－2.13．(自主招生模拟题)满足(2－m)m2－m－2＝1的所有实数m的和为( A ) A．3 B．4 C．5 D．614．(自主招生真题)解方程：方程2x2＋5x－2－2x2＋5x－9＝1的解为x1＝2，x2＝－92．15．(自主招生真题)设k ≥0，解方程x 3＋2kx 2＋k 2x ＋9k ＋27＝0.解：原方程化为xk 2＋(2x 2＋9)k ＋x 3＋27＝0.解得k ＝－x －3或k ＝－x 2－3x ＋9x .∴x 1＝－k －3，x 2＝3－k ＋(k －9)(k ＋3)2，x 3＝3－k －(k －9)(k ＋3)2.。

章节测试题1.【答题】一元二次方程x2+2＝0的根的情况为（）A. 没有实根B. 有两个相等的实根C. 有两个不等的实根D. 有两个实根【答案】A【分析】先求出△的值，再进行判断即可得出答案．【解答】解：一元二次方程x2+2＝0中，△＝0-4×1×2＜0，故原方程没有实数根．选A．2.【答题】关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+3m＝0的根的情况一定是（）A. 有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不等的实数根D. 无实数根【答案】A【分析】计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m-3）2≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵△＝（m+3）2-4×3m＝m2+6m+9-12m＝m2-6m+9＝（m-3）2≥0，∴方程有两个实数根．选A．3.【答题】已知关于x的方程x2+mx+1＝0根的判别式的值为5，则m＝（）A. ±3B. 3C. 1D. ±1【答案】A【分析】根据根的判别式得出方程m2-4×1×1＝5，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+mx+1＝0根的判别式的值为5，∴m2-4×1×1＝5，解得：m＝±3，选A．4.【答题】m，b，n为常数，且（m-n）2＞m2+n2，关于x的方程mx2+bx+n＝0根的情况是（）A. 有两个相等的实数根B. 有一根为0C. 无实数根D. 有两个不相等的实数根【答案】D【分析】利用（m-n）2＞m2+n2得到m≠0，mn＜0，则可判断△＝b2-4mn＞0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵（m-n）2＞m2+n2，∴-2mn＞0，即mn＜0，∴m≠0，∴△＝b2-4mn＞0，∴方程有两个不相等的实数根，．选D．5.【答题】下列方程中，没有实数根的是（）A. x2-6x+9＝0B. x2-2x+3＝0C. x2-x＝0D. （x+2）（x-1）＝0【答案】B【分析】分别进行判别式的值，再利用判别式的意义对A、B、C进行判断；利用因式分解法解方程可对D进行判断．【解答】解：A、△＝（-6）2-4×9＝0，∴方程有两个相等的实数解，∴A选项错误；B、△＝（-2）2-4×3＜0，∴方程没有实数解，∴B选项正确；C、△＝（-1）2-4×0＞0，∴方程有两个不相等的实数解，∴C选项错误；D、方程两个的实数解为x1＝-2，x2＝1，∴D选项错误．选B．6.【答题】关于x的一元二次方程x2+x+3＝0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个实数根D. 有两个相等的实数根【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝-11＜0，进而可得出该方程没有实数根．【解答】解：a＝1，b＝1，c＝3，∵△＝b2-4ac＝12-4×1×3＝-11＜0，∴关于x的一元二次方程x2+x+3＝0没有实数根．选B．7.【答题】一元二次方程x2+3=2x的根的情况为（）A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有一个实数根D. 有两个不相等的实数根【答案】A【分析】二次方程根的判别．【解答】∵方程化为一般式得x2-2x+3=0，∴△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，∴方程没有实数根．故答案为：A．8.【答题】下列关于x的方程有实数根的是（）A. x2-x+1＝0B. x2+x+1＝0C. x2-x-1＝0D. （x-1）2+1＝0【答案】C【分析】由于一元二次方程的判别式△＝b2-4ac，首先逐一求出△的值，然后根据其正负情况即可判定选择项．【解答】解：A、△＝b2-4ac＝1-4＝-3＜0，此方程没有实数根；B、△＝b2-4ac＝1-4＝-3＜0，此方程没有实数根；C、△＝b2-4ac＝1+4＝5＞0，此方程有两个不相等的实数根；D、△＝b2-4ac＝4-8＝-4＜0，此方程没有实数根．选C．9.【答题】定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为"和谐"方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a-b+c＝0那么我们称这个方程为"美好"方程，如果一个一元二次方程既是"和谐"方程又是"美好"方程，则下列结论正确的是（）A. 方有两个相等的实数根B. 方程有一根等于0C. 方程两根之和等于0D. 方程两根之积等于0【答案】C【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x＝1和x＝-1，再判断即可．【解答】解：∵把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出：a+b+c＝0，把x＝-1代入方程ax2+bx+c＝0得出a-b+c＝0，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x＝1和x＝-1，∴1+（-1）＝0，即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；选C．10.【答题】下列方程中，无实数根的是（）A. 3x2-2x+1=0B. x2-x-2=0C. （x-2）2=0D. （x-2）2=10【答案】A【分析】利用根的判别式进行判断，△＜0无实根．【解答】解：A.∵△=（-2）2-4×3×1=-8＜0，∴方程3x2-2x+1=0无解，故A符合题意；B. ∵△=（-1）2-4×1×（-2）=9＞0，∴方程x2-x-2=0有两个不相等的实数根，故B不符合题意；C. ∵（x-2）2=0，∴x1=x2=2，故C不符合题意；D. ∵（x-2）2=10，∴x-2=±，∴x1=2+，x2=2-，故D不符合题意．故答案为：A．11.【答题】下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A. x2+6x+9＝0B. x2＝xC. x2+3＝2xD. （x-1）2+1＝0【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【解答】解：A、x2+6x+9＝0△＝62-4×9＝36-36＝0，方程有两个相等实数根；B、x2＝xx2-x＝0△＝（-1）2-4×1×0＝1＞0两个不相等实数根；C、x2+3＝2xx2-2x+3＝0△＝（-2）2-4×1×3＝-8＜0，方程无实根；D、（x-1）2+1＝0（x-1）2＝-1，则方程无实根；选B．12.【答题】方程3x2-7x-2＝0的根的情况是（）A. 方程没有实数根B. 方程有两个不相等的实数根C. 方程有两个相等的实数很D. 不确定【答案】B【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：由根的判别式△＝b2-4ac＝（-7）2-4×3×（-2）＝49+24＝73＞0，∴方程有两个不相等的实数根．选B．13.【答题】关于一元二次方程x2-2x-1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根【答案】C【分析】根据根的判别式，可得答案．【解答】解：a＝1，b＝-2，c＝-1，△＝b2-4ac＝（-2）2-4×1×（-1）＝8＞0，一元二次方程x2-2x-1＝0有两个不相等的实数根，选C．14.【答题】一元二次方程（x+1）（x-3）＝2x-5根的情况是（）A. 无实数根B. 有一个正根，一个负根C. 有两个正根，且都小于3D. 有两个正根，且有一根大于3【答案】D【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．【解答】解：（x+1）（x-3）＝2x-5整理得：x2-2x-3＝2x-5，则x2-4x+2＝0，（x-2）2＝2，解得：x1＝2+＞3，x2＝2-，故有两个正根，且有一根大于3．选D．15.【答题】已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）＝0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 可能有且只有一个实数根D. 没有实数根【答案】D【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△＝（2c）2-4（a+b）（a+b）＝4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．【解答】解：△＝（2c）2-4（a+b）（a+b）＝4c2-4（a+b）2＝4（c+a+b）（c-a-b）．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，∴△＜0，∴方程没有实数根．选D．16.【答题】下列方程中，没有实数根的是（）A. x2-2x＝0B. x2-2x-1＝0C. x2-2x+1＝0D. x2-2x+2＝0【答案】D【分析】分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．【解答】解：A、△＝（-2）2-4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，∴A选项错误；B、△＝（-2）2-4×1×（-1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，∴B选项错误；C、△＝（-2）2-4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，∴C选项错误；D、△＝（-2）2-4×1×2＝-4＜0，方程没有实数根，∴D选项正确．选D．17.【答题】方程x2-4x-m2＝0根的情况是（）A. 一定有两不等实数根B. 一定有两实数根C. 一定有两相等实数根D. 一定无实数根【答案】A【分析】先计算判别式得到△＝4m2+16，再根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据题意得△＝（-4）2-4×1×（-m2）＝4m2+16，∵4m2+16≥0，∴4m2+16＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．18.【答题】下列一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是（）A. （x-1）2＝0B. x2+2x-19＝0C. x2+4＝0D. x2+x+1＝0【答案】A【分析】通过解方程或根据方程的系数结合根的判别式，找出四个选项中△的值，再结合"当△＝0时，方程有两个相等的实数根"即可得出结论．【解答】解：A、解该方程得到x1＝x2＝1，即该方程有两个相等的实数根，A符合题意；B、∵△＝22-4×1×（-19）＝80＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，B不符合题意；C、∵△＝02-4×1×4＝-16＜0，∴该方程无实数根，C不符合题意；D、∵△＝12-4×1×1＝-3＜0，∴该方程无实数根，D不符合题意．19.【答题】关于x的一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A. 两个不等的实数根B. 两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】C【分析】计算方程根的判别式即可求得答案．【解答】解：∵x2+x+1＝0，∴△＝12-4×1×1＝-3＜0，∴该方程无实数根，选C．20.【答题】若关于x的一元二次方程x2-2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值是（）A. m＜1B. m＞-1C. m＞1D. m＜-1【答案】C【分析】方程没有实数根，则△＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：由题意知，△＝4-4m＜0，∴m＞1选C．。

沪科版八年级数学下册教学设计《第17章一元二次方程数17.2一元二次方程的解法（第4课时）》一. 教材分析《沪科版八年级数学下册》第17章介绍了一元二次方程的解法。

本节课主要让学生掌握一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法等，能运用这些方法解决实际问题。

通过本节课的学习，学生能够更深入地理解一元二次方程，提高解决数学问题的能力。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了一元二次方程的基本概念，具备了一定的代数基础。

但解一元二次方程的方法还不熟练，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。

此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高，需要教师在教学中进行引导和培养。

三. 教学目标1.知识与技能目标：掌握一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法，能运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生的解决问题能力和团队合作精神。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。

2.难点：实际问题中的一元二次方程求解。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，使学生感受到数学与生活的紧密联系。

2.启发式教学法：引导学生思考、探索一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力。

3.小组合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程实例，用于导入和巩固环节。

2.准备PPT，展示一元二次方程的解法步骤和实例。

3.准备练习题，用于课后巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解一个实际问题：“某商品打8折后，售价为120元，求原价。

”引导学生列出方程，并思考如何解决问题。

2.呈现（10分钟）教师讲解一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法。

通过PPT展示解法步骤和实例，让学生清晰地了解解题过程。

浙教版八年级下册数学教案全集一、教学内容1. 第1章：实数1.1 实数的概念与性质1.2 平方根与立方根1.3 实数的运算2. 第2章：一元二次方程2.1 一元二次方程的概念与解法2.2 一元二次方程的解法：配方法与公式法2.3 一元二次方程的解法：因式分解法与图像法3. 第3章：数据分析3.1 平均数、中位数与众数3.2 方差与标准差3.3 数据的分布二、教学目标1. 理解实数的概念与性质，掌握实数的运算方法。

2. 学会一元二次方程的解法，并能解决实际问题。

3. 掌握数据分析的基本方法，能对数据进行合理的描述与推断。

三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的运算、一元二次方程的解法、数据分析方法。

2. 教学重点：实数的性质、一元二次方程的解法、数据分析在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、练习本、计算器。

五、教学过程1. 实数部分（1）引入：通过实际情景，让学生理解实数的概念。

（2）例题讲解：讲解实数的性质与运算方法。

（3）随堂练习：让学生练习实数的运算。

2. 一元二次方程部分（1）引入：通过实际问题，让学生了解一元二次方程。

（2）例题讲解：讲解一元二次方程的解法。

（3）随堂练习：让学生解决一元二次方程的问题。

3. 数据分析部分（1）引入：通过实际数据，让学生了解数据分析的重要性。

（2）例题讲解：讲解数据分析的基本方法。

（3）随堂练习：让学生对数据进行描述与推断。

六、板书设计1. 实数的概念与性质2. 一元二次方程的解法3. 数据分析方法七、作业设计1. 实数运算题：（1）计算题：(3)²、√9、2√3+3√2（2）简答题：比较实数的大小：2、0、3/22. 一元二次方程题：（1）求解方程：x²5x+6=0（2）实际问题：一个长方形的长比宽多2，面积为20，求长和宽。

3. 数据分析题：（1）计算一组数据的平均数、中位数、众数（2）根据方差、标准差分析数据分布情况八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学内容是否讲解清楚，学生是否掌握。

一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法第1篇第2篇第3篇第4篇第5篇更多顶部第一篇：配方法解一元二次方程的教案第二篇：一元二次方程复习教案(正式)第三篇：4.2.3一元二次方程的解法(教案)第四篇：教案一元二次方程的应用第五篇：一元二次方程根的分布教案更多相关范文第一篇：配方法解一元二次方程的教案配方法解一元二次方程的教案教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。

一、教学目标（一）知识目标1、理解求解一元二次方程的实质。

2、掌握解一元二次方程的配方法。

（二）能力目标1、体会数学的转化思想。

2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。

（三）情感态度及价值观通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。

二、教学重点配方法解一元二次方程的一般步骤三、教学难点具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。

四、知识考点运用配方法解一元二次方程。

五、教学过程（一）复习引入1、复习：解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

2、引入：二次根式的意义：若x2=a(a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a。

实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。

（二）新课探究通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。

通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。

问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。

这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，具体解题步骤：2解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6xdm2列出方程：60x2=1500x2=25x=±5因为x为棱长不能为负值，所以x=5即：正方体的棱长为5dm。

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组（解析版）2.1二元一次方程【知识重点】一、二元一次方程的概念像3x +4y =5这样，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.二、二元一次方程三个条件(1)含有两个未知数；(2)未知数的项的次数是一次；(3)都是整式．三、二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解.四、二元一次方程变形二元一次方程变形一般是用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式(1)用含x 的代数式表示y ，则应变形为“y ＝…”的形式；(2)用含y 的代数式表示x ，则应变形为“x ＝…”的形式．【经典例题】【例1】下列方程中，①x+y=6；②x(y+1)=6；③3x+y=z+1；④mn+m=7，是二元一次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】是二元一次方程的有x+y=6，只有1个.故答案为：A【分析】含有两个未知数，且未知数的系数都为1的整式方程是二元一次方程，据此可得到是二元一次方程的个数.【例2】若x |m−2|+（m-1）y=6是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值是（ ）A ．3B ．1C ．任意数D ．1或3【答案】A【解析】∵x |m−2|+（m-1）y=6是关于x ，y 的二元一次方程，∴|m −2|=1且m −1≠0，解得：m =3．故答案为：A【分析】只含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程，据此解答即可.【例3】已知{x =3y =1是方程mx-y=2的解，则m 的值是 ． 【答案】1【解析】∵{x =3y =1是方程mx-y=2的解， ∴3m-1=2，∴m=1，故答案为：1．【分析】将{x =3y =1代入方程mx-y=2中即可求出m 值.【基础训练】1．下列方程中，属于二元一次方程的是（） A ．x ＋3y ＝1 B ．x －2y ＝3z C ．1x +1y =1 D ．x 2−1=0【答案】A【解析】A.x ＋3y ＝1是二元一次方程，故该选项符合题意；B.x －2y ＝3z 是三元一次方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；C.1x +1y =1是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；D.x 2−1=0是一元二次方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；故答案为：A ．2．下列各方程中是二元一次方程的是（ ） A ．x 2+y 4=﹣1 B ．xy+z=5 C ．2x 2+3y ﹣5=0 D ．2x+1y =2【答案】A【解析】A 、本方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确；B 、本方程是二元二次方程，故本选项错误；C 、本方程是二元二次方程，故本选项错误；D 、本方程不是整式方程，是分式方程，故本选项错误.故答案为：A.3．在方程12x =x +1，2x +3y =5，2y −1=x ，x −y +z =0中二元一次方程的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】在方程12x =x +1，2x +3y =5，2y −1=x ，x −y +z =0中， 2x +3y =5，2y −1=x 是二元一次方程．故答案为：B ．4．若(a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值为( )A ．0B ．2C ．0或2D ．1或2【答案】A【解析】∵x (a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程，∴a-2≠0且|a-1|=1，∴a=0.故答案为：A.5．已知{x =1y =2是方程ax-2y=6的一个解，那么a 的值是（ ） A ．-10 B ．-9 C ．9 D ．10【答案】D【解析】∵{x =1y =2是方程ax-2y=6的一个解， ∴a-4=6解之：a=10.故答案为：D 6．若{x =m y =2m 是方程3x+y=-5的一个解，则m 的值是（ ）A ．-1B ．-5C ．1D ．5【答案】A【解析】由题意，得 将{x =m y =2m 代入方程，得3m+2m=-5，解得m=-1．故答案为：A ．7．把x =1代入方程x −2y =4…①，那么方程①变成关于 的一元一次方程．【答案】y【解析】把x=1代入方程x-2y=4得：1-2y=4，∴得到一个关于y 的一元一次方程．故答案为：y ．8．已知{x =2t y =3t 是二元一次方程2x +5y −19=0的解，求t 的值．【答案】解：∵{x =2t y =3t 是二元一次方程2x+5y-19=0的解， ∴4t+15t-19=0，∴19t=19，∴t=1.9．方程2x m+1+3y 2n =5是二元一次方程，求m ，n ．【答案】解：根据二元一次方程的定义，m+1=0，2n=1，解得m=0，n= 12 10．求方程11x+5y=12的正整数解．【答案】解：如果方程有正整数解，则x≥1，y≥1．因此11x+5y≥11+5=16．方程的右端为12，所以这个方程无正整数解．【培优训练】 11．下列方程：①x+y ＝1；②2x −y 2=1；③x 2+y 2＝1；④5（x+y ）＝7（x ﹣y ）；⑤x 2＝1；⑥x+12＝4，其中二元一次方程的是（ ）A ．①B ．①③C ．①②④D ．①②④⑥【答案】C 【解析】①x+y ＝1；②2x −y 2=1；④5（x+y ）＝7（x ﹣y ）是二元一次方程，故符合题意； ③x 2+y 2＝5属于二元二次方程，故不符合题意；⑤x 2＝1属于一元二次方程，故不符合题意；⑥x+12＝4属于一元一次方程． 故答案为：C ．12．已知二元一次方程3x ﹣4y ＝1，则用含x 的代数式表示y 是（ ）A ．y =1−3x 4B ．y =3x−14C ．x =4y+13D ．x =1−4y 3 【答案】B【解析】∵3x-4y=1，∴4y=3x-1，∴y=3x−14. 故答案为：B.13．若方程 x 2a−b −3y a+b =2 是关于x 、y 的二元一次方程，则 ab = ． 【答案】29 【解析】∵x 2a−b −3y a+b =2 是关于x 、y 的二元一次方程，∴2a −b =1 ， a +b =1 ，解得： a =23 ， b =13 ， ∴ab =29． 故答案为： 29 . 14．若x m−1+5y n+1=3是关于x 、y 的二元一次方程，则m = ，n = ．【答案】2；0【解析】根据题意得：m−1＝1，n ＋1＝1，∴m ＝2，n ＝0．故答案为：2，0.15．若(2m −4)x |m|−1+(n +2)y n 2−3=0是关于x 、y 的二元一次方程，则m ＝ ，n＝ .【答案】-2；2【解析】解∶∵方程(2m −4)x |m|−1+(n +2)y n 2−3=0是关于x ，y 的二元一次方程，∴{2m −4≠0|m|−1=1(n +2)≠0n 2−3=1，∴m=-2，n=2，故答案为：-2；2.16．二元一次方程2x +3y =8的正整数解为 . 【答案】{x =1y =2【解析】2x+3y=8，解之：x =8−3y 2， ∵方程的解为正整数，∴8−3y 2＞0解之：0＜y ＜83， ∴y=1，2，当y=1时x =52不符合题意； 当y=2时x=1，∴原方程的正整数解为{x =1y =2.故答案为：{x =1y =2.17．已知{x =1y =2是方程ax +by =3的解，则代数式2a +4b −2023的值为． 【答案】-2017【解析】∵{x =1y =2是方程 ax +by =3 的解， ∴a +2b =3 ，∴2a +4b −2023=2(a +2b)−2023=6−2023=−2017 ，故答案为：-2017.18．如果关于x ，y 的方程2x-y+2m-1=0有一个解是 {x =2y =−1 ，请你再写出该方程的一个整数解使得这个解中的x ，y 异号.【答案】解：由题意，将 {x =2y =−1 代入2x-y+2m-1=0，得 4+1+2m-1=0，解得m=-2，将m=-2代入2x-y+2m-1=0，可得原方程为2x-y=5，则符合要求的另一个整数解可以是 {x =1y =−3 （答案不唯一）【解析】根据题意把{x =2y =−1 代入2x-y+2m-1=0中求出m 的值，则可写出原方程，根据要求写出该方程的一个整数解即可.19．已知{x =12y =4是二元一次方程2x +y =a 的一个解． （1）则a =（2）试直接写出二元一次方程2x +y =a 的所有正整数解．【答案】（1）5（2）解：所有正整数解为：{x =1y =3，{x =2y =1．【解析】（1）将{x =12y =4代入二元一次方程2x+y=a 中可得：2×12+4=a ，a=5；故答案为：5 （2）把a=5代入方程2x+y=a 中可得：2x+y=5，所以可列出所有正整数解为：{x =1y =3，{x =2y =1．20．已知二元一次方程5x +3y =18（1）把方程写成用含x 的代数式表示y 的形式，即y = ；【答案】（1）−53x +6 （2）解：将x 的值0，1，2，3，4分别代入y=−53x +6中得到y 的值分别为：6， 133，83，1， −23； 故答案分别填：6， 133，83，1， −3； （3）解：由上表可知：方程的非负整数解为：{x =0y =6或{x =3y =1；【解析】（1）5x+3y=18，得3y=18-5x ，所以 y=−53x +6， 故答案为：−53x +6； 【直击中考】21．（2022·雅安）已知{x =1y =2是方程ax+by ＝3的解，则代数式2a+4b ﹣5的值为 . 【答案】1【解析】把{x =1y =2代入ax+by ＝3可得： a +2b =3，∴ 2a+4b ﹣5=2(a +2b)−5=2×3−5=1.故答案为：1.22．（2021·金华）已知 {x =2y =m 是方程 3x +2y =10 的一个解，则m 的值是. 【答案】2 【解析】∵{x =2y =m 是方程 3x +2y =10 的一个解，∴6+2m=10，解得m=2，故答案为：2.23．（2021·嘉兴）已知二元一次方程x +3y ＝14，请写出该方程的一组整数解 ．【答案】{x =2y =4 （答案不唯一）【解析】令x=2，则 2+3y ＝14，∴y=14−23=4， ∴{x =2y =4 是方程的解，故答案为： {x =2y =4（答案不唯一） .。