第一讲 有理数的运算
【知识要点】
1．有理数的运算法则
（1）加法法则：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数之和为0.当0=a ，b 为任意数时，b b a =+.
（2）减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示)(b a b a -+=-，把减法运算转化为加法运算，这体现了数学的转化思想.
（3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0.多个有理数相乘时，先确定积的符号.若干个不等于0的有理数相乘，其积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正.再确定积的绝对值.若干个有理数相乘,如果有一个因数为0，其积为0. （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数，用字母表示：)0(1
≠⨯=÷b b
a b a .把除法转化为乘法进行运算.又一次体现了数学的转化思想.
（5）乘方：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方，用字母表示： a
n n
a a a a a 个=⨯⨯⨯⨯，其中，a 为
底数，n 为指数，乘方的结果叫做幂.乘方的符号规律：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
（6）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的.
3．有理数运算的常见简便方法
（1）一般把同号的数加在一起．
（2）遇有分数可把同分母的数结合起来相加． （3）遇有小数应当把相加得整数的小数结合起来． （4）代数和为零的数加在一起．
（5）遇到因数是分数时，可把便于约分的因数结合在一起． （6）遇到因数是小数时，可把相乘得整数的因数结合在一起．
（7）遇到n 个分母不同的分数的代数和乘以一个数时，若通分较繁锁，可用分配律简化计算． （8）遇到n 个积的代数和，而每一个积里恰好有相同的因数，可逆用分配律佝计算简化． （9）在有理数乘法运算中，常把小数化成分数，带分数化成假分数，以简化运算． （10）借助于倒数可以把有理数除法等价地变换为较易计算的有理数乘法． （11）利用负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，化简结果．
4、运算级别
①、通常把六种运算分成三级，加与减是第一级运算；乘除是第二级运算；乘方和开方是第三级运算。 ②、一般先算高级运算，再算低级运算，即先算第三级运算，再算第二级运算，最后算第一级运算。 ③、同一级运算，按从左到右的顺序运算。
④、如果有括号，先算小括号内的，再算中括号，最后算大括号。 ⑤、能应用运算律时，可不按常规顺序运算，而用运算律简化运算。
【典型例题】
例1．计算：()⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+125.04
16311211 例2、 计算32254 2.757433⎛⎫⎛⎫---+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例3．计算：()()59
2
120321256.01143433-⨯⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷
例4、()3
320.2521623⎛⎫⎛⎫⨯--÷-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例5、()36221110.5230.5338⎛
⎫⎡⎤---÷⨯----- ⎪⎣⎦⎝
⎭
例6．计算：())(.143211
为正整数n n n +-++-+- ．
例7．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数.试求：()()20032003
a b a b x a b cd cd +⎛⎫++
+++- ⎪
⎝⎭
的值。
例8.毕节倒天河水库的警戒水位是4.73米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期六）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降。（本题10分）
⑴ 本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？
⑵ 与上周末相比,本周末河流的水位是上升了还是下降了？
⑶ 以警戒水位作为零点，用折线统计图表示本周的水位情况。
日 一 二 三 四 五 六 星期
【课堂练习】
1．有理数混合运算的顺序是：先算________,再算________，最后算________，如果有________，先算__________。
2．()2
77x +-有最小值是__________。 3．()()
2
30332--÷⨯-=___________。
4．若2x =时，代数式3
2ax -的值为3，当2x =-时，这个代数式的值是___________。 5．()22
1.25 3.20.52
33
⎛⎫⨯-÷-÷ ⎪⎝⎭
___________。 6．下列运算结果为正的是（ ）
A ．()27--
B ．4)312(--
C ．()()()341-⨯-⨯-
D ．111234⎛⎫⎛⎫
-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7．已知0.19,0.99x y ==，且
0x
y
<，则x y -的值为（ ） A ．1.18或－1.18 B ．18.18.0-或 C ．0.80.8-或 D ．8.018.1-或 8．如果四个有理数之和的13
是4，其中三个数是－12，－6，9，则第四个数是（ ） A ．－9 B ．15 C ．－18 D ．21
9．若a 、b 互为负倒数，a 、c 互为相反数，且2d =，则代数式3
2
.2a ab c d d ++⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为（ ）
A ．334
B ．144
C ．313444或
D ．21
3433或
10．（1）()()2
011 1.950055-÷-+-⨯--÷ （2）()()()2327120.5 2.242118
⎡⎤÷-⨯--÷--⎣⎦
11．计算：()()
1
－21
211971201n n -⨯+-⨯-（n 为正整数）． 12．255
0.60.0820.92251111
--+
--+
13．计算：()()
()()()111115
22
5-÷-⨯---+- 14．23
121111113382⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---÷-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
