高考数学一轮复习单元测试卷(15)-探索性问题 大纲人教版

高考数学第一轮单元复习训练题(附参考答案)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆141622=+y x上的点到直线12x t y =⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数）的最大距离是( ) A ．3 B ．11C ．22D ．10【答案】D2．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ,如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021. 已知πβα=+,2πβα=-,则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin ( ) A ．00⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A3．已知x,y ∈R 且122=+y x ，a,b ∈R 为常数，22222222y a x b y b x a t+++=则( )A ．t 有最大值也有最小值B ．t 有最大值无最小值C ．t 有最小值无最大值D ．t 既无最大值也无最小值【答案】A4．如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则△ABC 的边长是( )A ．32B ．364 C ．473 D ．3212 【答案】D 5．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为( )A．B ．1404CD【答案】C 6．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是( )A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πB ．⎪⎭⎫⎝⎛4,1π C ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π 【答案】B7．直线12x ty =-⎧⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数)的倾斜角为( )A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 【答案】A8．如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于( )A ． 70°B ． 35°C ． 20°D ． 10°【答案】C 9．参数方程14cos 3sin x y αα⎧⎨⎩=-+=（α为参数）表示的平面曲线是( ) A ．直线 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B10．已知O 为原点，P为椭圆4x cos y =α⎧⎪⎨=α⎪⎩(a 为参数)上第一象限内一点，OP 的倾斜角为3π，则点P 坐标为( )A ．(2,3)B ．(4,3)C ．(2)D ．() 【答案】D11．极坐标方程ρ=cos 4πθ⎛⎫-⎪⎭⎝表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆【答案】D12．设实数a 使得不等式|2x −a|+|3x −2a|≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是( )A ． ]31,31[- B ． ]21,21[-C ． ]31,41[-D ． [−3，3]【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．用0.618法选取试点的过程中，如果实验区间为[2，4]，前两个试点依次为x 1，x 2，若x 1处的实验结果好，则第三试点的值为 ．【答案】3.528或2.472（填一个即可）14．如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D，3CD AB BC ===，则AC 的长为 ．【答案】15．圆C ：x =1+cos θy =sin θ⎧⎨⎩(θ为参数)的圆心到直线l ：x =3ty =13t⎧-⎪⎨-⎪⎩(t 为参数)的距离为 .【答案】216．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α ＝____________.【答案】π6或56π 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．设,,a b c 是互不相等的正数，求证：（Ⅰ）444()a b c abc a b c ++>++ ()a b c >++【答案】（I ）∵ 22442b a b a >+，22442c b c b >+，22442a c a c >+∴ 222222444a c cb b ac b a ++>++∵c ab c b b a c b b a 22222222222=⋅>+同理：a bc a c c b 222222>+，b ca b a a c 222222>+，∴)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ (II ）222222222()2()a b ab a b a ab b a b +>∴+>++>+即222()2a b a b ++>)b a b >+=+同理可得)2b c >+()2c a >+三式相加，得)a b c >++18．设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

课时规范练58翻折问题与探究性问题1.(2024·河北邯郸模拟)如图1,四边形ABCD是等腰梯形,E,F分别是AD,BC的中点,AD=2BC=2EF=4.将四边形ABFE沿着EF折起到四边形A1B1FE处,连接A1C,A1D,B1C,使得A1C=3,如图2,G在A1E上,且=3.图1图2(1)证明:A1C∥平面DFG;(2)求平面DFG与平面A1CD夹角的余弦值.2.(2024·山东烟台模拟)如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形,下底面圆的一条弦EF交CD于点G,其中DG=2,DE=DF.(1)证明:平面AEF⊥平面ABCD.(2)推断上底面圆周上是否存在点P,使得二面角P-EF-A的余弦值为?若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由.3.(2024·山东青岛模拟)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为CD的中点,现将△ADE,△BCE分别沿AE,BE向上翻折,使点D,C分别到达点M,N的位置,且平面AME,平面BNE均与平面ABE垂直(如图2).图1图2(1)证明:M,N,A,B四点共面;(2)求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值.4.(2024·福建泉州模拟)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB=BC=2B1C1=2,D是AC的中点,E是棱BC上的动点.(1)试确定点E的位置,使AB1∥平面DEC1;(2)已知AB⊥BC1,CC1⊥平面ABC,设直线BC1与平面DEC1所成的角为θ,试在(1)的条件下,求cos θ的最小值.课时规范练58翻折问题与探究性问题1.(1)证明连接CE,交DF于点H,连接GH.易证△CHF∽△EHD,所以因为=3,所以,所以,则GH∥A1C.因为GH⊂平面DFG,A1C⊄平面DFG,所以A1C∥平面DFG.(2)解由题图1可知A1E⊥EF,DE⊥EF.因为AD=2BC=2EF=4,E,F分别是AD,BC的中点,所以CF=1,EF=A1E=2,则CE=因为A1C=3,所以CE2+A1E2=A1C2,所以A1E⊥CE.因为EF,CE⊂平面CDEF,且EF∩CE=E,所以A1E⊥平面CDEF,所以A1E⊥ED,又ED⊥EF,故以E为坐标原点,分别以直线EF,ED,EA1为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为AD=4,所以A1(0,0,2),C(2,1,0),D(0,2,0),F(2,0,0),G(0,0,),则=(2,1,-2),=(-2,1,0),=(2,-2,0),=(0,-2,).设平面DFG的法向量为n=(x1,y1,z1),则令x1=2,则y1=2,z1=3,则n=(2,2,3).设平面A1CD的法向量为m=(x2,y2,z2),则令x2=1,则y2=2,z2=2,则m=(1,2,2).设平面DFG与平面A1CD的夹角为θ,则cosθ=|cos<n,m>|=2.(1)证明由题意可知在下底面圆中,CD为直径.因为DE=DF,所以G为弦EF的中点,且EF⊥CD.因为EF⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.因为EF⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABCD.(2)解设平面PEF交圆柱上底面于PQ,因为圆柱的上、下底面平行,所以平面PEF与上、下底面的交线平行,即EF∥PQ.设PQ交AB于点H.则二面角P-EF-A的大小就是二面角H-EF-A的大小.分别以下底面垂直于DC的直线,直线DC,直线DA为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.因为DG=2,底面圆的半径为3,所以EG=FG=2则A(0,0,6),E(2,2,0),F(-2,2,0).设H(0,m,6)(0<m≤6),所以=(2,2,-6),=(-2,2,-6),=(-2,m-2,6),=(-4,0,0),=(2,m-2,6).设平面AEF的一个法向量为m=(x1,y1,z1),由得即令z1=1,则m=(0,3,1).设平面HEF的一个法向量为n=(x2,y2,z2),由得即令y2=-6,则n=(0,-6,m-2).所以|cos<m,n>|=,化简得3m2+8m-80=0,解得m=4或m=-(舍).即AH=4.因为EF⊥CD,所以PQ⊥AB,易知OH=1,所以PH=2,AP==2所以存在点P,使得二面角P-EF-A的余弦值为,AP的长为23.(1)证明分别取AE,BE的中点F,G,连接MF,NG,FG.因为MA=ME,所以MF⊥AE.因为平面AME⊥平面ABE,平面AME∩平面ABE=AE,MF⊂平面AME,所以MF⊥平面ABE.同理可得NG⊥平面ABE,所以MF∥NG.在Rt△MAE中,MA=ME=2,所以MF=AE=2,同理NG=,所以四边形MFGN是平行四边形,所以MN∥FG.因为F,G分别是AE,BE的中点,所以FG∥AB,所以MN∥AB,所以M,N,A,B四点共面.(2)解在题图1中,∠AED=∠BEC=45°,所以∠AEB=90°,所以AE⊥EB.取AB的中点H,连接FH,则FH∥BE,所以FA⊥FH.由(1)知直线FA,FH,FM两两垂直,以F为坐标原点,分别以直线FA,FH,FM为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则F(0,0,0),M(0,0,),E(-,0,0),B(-,2,0),A(,0,0).设平面ABNM的法向量为n=(x,y,z),因为=(-,0,),=(-2,2,0),则令x=1,则y=1,z=1,可得n=(1,1,1).又因为=(-2,0,0),设直线AE与平面ABNM所成的角为θ,所以sinθ=所以直线AE与平面ABNM所成角的正弦值为4.解 (1)连接DC1,DE.因为AB=BC=2B1C1=2,D是AC的中点,所以A1C1∥AD,A1C1=AD,所以四边形ADC1A1为平行四边形,故AA1∥DC1.因为AA1⊄平面DEC1,DC1⊂平面DEC1,所以AA1∥平面DEC1.又AB1∥平面DEC1,且AB1,AA1⊂平面ABB1A1,AB1∩AA1=A,所以平面ABB1A1∥平面DEC1,又平面ABB1A1∩平面ABC=AB,平面ABC∩平面DEC1=DE,故DE∥AB,因为D是AC的中点,所以E是BC的中点,故点E在边BC的中点处,AB1∥平面DEC1.(2)因为CC1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以CC1⊥AB,又AB⊥BC1,CC1∩BC1=C1,CC1,BC1⊂平面BCC1B1,故AB⊥平面BCC1B1,由于BC⊂平面BCC1B1,所以AB⊥BC.由(1)知E是BC的中点,D是AC的中点,所以ED∥AB,进而DE⊥BC.连接B1E,由B1C1∥EC,B1C1=EC,所以四边形B1C1CE为平行四边形,故CC1∥B1E,由于CC1⊥平面ABC,因此B1E⊥平面ABC,所以B1E⊥BC,B1E⊥ED,又ED⊥BC,所以ED,EC,EB1两两垂直,以E为坐标原点,以直线EC,ED,EB1分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设B1E=a,则E(0,0,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,0,a),B1(0,0,a),故=(0,1,0),=(1,0,a).设平面DEC1的法向量为m=(x,y,z),则取x=a,则z=-1,则m=(a,0,-1).又=(2,0,a),故sinθ=|cos<,m>|=,当且仅当a2=,即a=时取等号.要求cosθ的最小值,只须要sinθ最大,sinθ的最大值为,此时cosθ的最小值为。

不等式选讲考点梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解法不等式 a >0a ＝0a <0|x |<a {x |－a <x <a } ∅∅ |x |>a{x |x >a 或x <－a }{x |x ∈R 且x ≠0}R(2)|①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．绝对值的三角不等式(1)定理1：若a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)定理2：设a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．推论1：||a |－|b ||≤|a ＋b |. 推论2：||a |－|b ||≤|a －b |.考点自测1．不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________． 解析 令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4＜x ≤8，－4，x ＞8，当x ≤4时，f (x )＝4＞2；当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5， ∴4＜x ＜5；当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立．故原不等式的解集为：{x |x ＜5}． 答案 {x |x ＜5}2．(2012·湖南)不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．解析 可根据绝对值不等式的性质进行变换，化绝对值不等式为一元一次不等式求解．原不等式即|2x ＋1|>2|x －1|，两端平方后解得12x >3，即x >14.答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >143．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________． 解析 ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1.答案 (－∞，1)4．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________． 解析 由|3x －b |＜4，得b －43＜x ＜b ＋43，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得5＜b ＜7.答案 (5,7)5．(2012·陕西)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案 [－2,4]对应学生213考向一 含绝对值不等式的解法【例1】►设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＜－12，3x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4，x ＋5 x ≥4.当x ＜－12时，由f (x )＝－x －5＞2得，x ＜－7.∴x ＜－7；当－12≤x ＜4时，由f (x )＝3x －3＞2，得x ＞53，∴53＜x ＜4； 当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5＞2，得x ＞－3，∴x ≥4.故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53. (2)画出f (x )的图象如图：∴f (x )min ＝－92.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．【训练1】 (2012·新课标全国)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围是[－3,0]．考向二 绝对值不等式的证明【例2】►已知函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，且|a |≤1，求证：|f (x )|≤54.证明 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1. 又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x | ≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x | ＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 证明绝对值不等式主要有三种方法：(1)利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明． 【训练2】 设函数f (x )＝x 2－2x ，实数a 满足|x －a |<1. 求证：|f (x )－f (a )|<2|a |＋3.证明 |f (x )－f (a )|＝|x 2－a 2＋2(a －x )| ＝|(x －a )(x ＋a )＋2(a －x )| ＝|x －a ||x ＋a －2|<|x ＋a －2|＝|x －a ＋2a －2|<|x －a |＋2|a |＋2<2|a |＋3.考向三 含绝对值的恒成立问题【例3】►已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围是(－∞，5]．法二 (1)同法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围是(－∞，5]．(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法． (2)f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .【训练3】 (2012·辽宁)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值； (2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解 (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 故k 的取值范围是[1，＋∞)．(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分) 1．不等式|2x －1|＜3的解集为________．解析 ①当2x －1≥0，即x ≥12时，不等式变为2x －1＜3，得x ＜2，∴12≤x ＜2.②当2x－1＜0即x ＜12时，不等式变为－(2x －1)＜3即x ＞－1，∴－1＜x ＜12，综上不等式解集为{x |－1＜x ＜2}． 答案 (－1,2)2．已知x ＞0，则函数y ＝x (1－x 2)的最大值为________．解析 ∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427. 当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时取等号． ∴y ≤239.∴y 的最大值为239.答案2393．(2011·江西)对于x ∈R ，不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为________． 解析 法一 (零点分段法)由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－10，－x －10＋x －2≥8或⎩⎪⎨⎪⎧－10＜x ＜2，x ＋10＋x －2≥8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋10－x ＋2≥8，解得x ≥0，故原不等式的解集为{x |x ≥0}．法二 (几何意义法)如图，在数轴上令点A 、B 的坐标分别为－10，2，在x 轴上任取一点P ，其坐标设为x ，则|PA |＝|x ＋10|，|PB |＝|x －2|，观察数轴可知，要使|PA |－|PB |≥8，则只需x ≥0.故原不等式的解集为{x |x ≥0}．答案 {x |x ≥0}4．(2011·陕西)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3.所以只需a ≤3即可． 答案 (－∞，3]5．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＜0时，显然成立；当a ＞0时，∵|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4， ∴a ＋4a≤4.∴a ＝2.综上可知a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}． 答案 (－∞，0)∪{2}6．设x ，y ，z ∈R ，若x 2＋y 2＋z 2＝4，则x －2y ＋2z 的最小值为________时，(x ，y ，z )＝________. 解析 ∵(x －2y ＋2z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)[12＋(－2)2＋22]＝4×9＝36，∴x －2y ＋2z 最小值为－6，此时x 1＝y －2＝z2.又∵x 2＋y 2＋z 2＝4，∴x ＝－23，y ＝43，z ＝－43.答案 －6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，－437．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 ∵a ≥xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x ＞0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3， ∴只需a ≥1u恒成立即可．∵x ＞0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)． 由u ≥5，知0＜1u ≤15，∴a ≥15.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 8．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ：命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的________条件．解析 |a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件． 答案 必要不充分 二、解答题(共20分)9．(10分)对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －2b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围． 解 原不等式等价于|a ＋b |＋|a －2b ||a |≥|x －1|＋|x －2|，设ba＝t ，则原不等式变为|t ＋1|＋|2t －1|≥|x －1|＋|x －2|对任意t 恒成立．因为|t ＋1|＋|2t －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ≥12，－t ＋2，－1＜t ＜12，－3t ，t ≤－1，在t ＝12时取到最小值为32.所以有32≥|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≥2，1，1＜x ＜2，3－2x ，x ≤1，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94.10．(10分)(2012·福建)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋2b ·12b＋3c ·13c 2＝9.。

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第十五单元 点、线、面的位置关系注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线l ⊥平面，直线m ∥平面β，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，则l m ∥B ．若αβ∥，则l m ⊥C ．若l β∥，则m α⊥D ．若l m ⊥，则αβ∥3．如图，在正方体ABCD A B C D '-'''中，M ，N 分别是BB '，CD 中点，则异面直线AM 与D N '所成的角是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，m β⊥，则αβ∥； ②若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥；③若m α⊂，n β⊂，m n ∥，则αβ∥；④若m ，n 是异面直线，m α⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥． 其中真命题是（ ） A ．①和④B ．①和③C ．③和④D ．①和②5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM 与BN 所成角的大小为（ ）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒6．已知直线1l 、2l ，平面α，12l l ∥，1l α∥，那么2l 与平面α的关系是（ ） A ．1l α∥B ．2l α⊂C ．2l α∥或2l α⊂D ．2l 与α相交7．如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP AC ⊥；②EP BD ∥；③EP ∥面SBD ；④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为（ ）A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④8．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是（ ） A ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ B ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，且下列结论错误．．的是 （ ）A ．AC BF ⊥B ．直线AE 、BF 所成的角为定值C ．EF ∥平面ABCDD ．三棱锥A BEF -的体积为定值10．如图，在直四棱柱1111A B C D A B C D -中，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，13AA =，AB BC CD ==120BCD ∠=︒，则直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值为（ ）A ．78 B ．58C D 11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为棱1BB 、1CC 的中点，P 为棱BC 上的一点，且()01BP m m =<<，则点P 到平面AEF 的距离为（ ）A B C D 12．如图，已知四边形ABCD 是正方形，ABP △，BCQ △，CDR △，DAS △都是等边三角形，E 、F 、G 、H 分别是线段AP 、DS 、CQ 、BQ 的中点，分别以AB 、BC 、CD 、DA 为折痕将四个等边三角形折起，使得P 、Q 、R 、S 四点重合于一点P ，得到一个四棱锥．对于下面四个结论： ①EF 与GH 为异面直线； ②直线EF 与直线PB 所成的角为60︒ ③EF ∥平面PBC ； ④平面EFGH ∥平面ABCD ；其中正确结论的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题：①若αβ⊥，l β⊥，则l α∥； ②若l α⊥，l β⊥，则αβ∥； ③若αγ⊥，βγ∥，则αβ⊥；④若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥． 其中所有．．正确命题的序号是_____． 14．如图所示，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，图中互相垂直的平面共有______对．15．正四面体ABCD 中， E ，F 分别为边AB ，BD 的中点，则异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为__________．16．如图所示，在四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，请你补充一个条件__________，使平面MBD ⊥平面PCD ．①DM PC ⊥ ②DM BM ⊥③BM PC ⊥④PM MC =(填写你认为是正确的条件对应的序号)．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，M ，N 分别为AE ，CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ； （2）直线EA ⊥平面EBC ．18．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =，点F 为PC 的中点．（1）求证：平面PAC ⊥平面BDF ； （2）求三棱锥P BDF -的体积．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BD ==，AD ，12AA BC ==，AD BC ∥． （1）证明：平面1BDB ⊥平面11ABB A ；（2）比较四棱锥11D ABB A -与四棱锥1111D A B C D -的体积的大小．20．（12分）如图所示的多面体中，底面ABCD 为正方形，GAD △为等边三角形，BF ⊥平面ABCD ，90GDC ∠=︒，点E 是线段GC 上除两端点外的一点，若点P 为线段GD 的中点．（1）求证：AP ⊥平面GCD ； （2）求证：平面ADG ∥平面FBC ．21．（12分）如图，三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，2BC BD ==，E ，F ，G 分别是棱CD ，AD ，AB 的中点．（1）证明：平面ABE ⊥平面ACD ； （2）若四面体BEFG 的体积为12，且F 在平面ABE 内的正投影为M ，求线段CM 的长．22．（12分）在如图如示的多面体中，平面AEFD ⊥平面BEFC ，四边形AEFD 是边长为2的正方形，BC（1）若M ，N 分别是AE ，CF 中点，求证：MN ∥平面ABCD （2）求此多面体ABCDEF 的体积一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A）第十五单元点、线、面的位置关系一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】A【解析】对于B，易知AB MQ∥，∥，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB MQ则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB NQ∥，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．2．【答案】B【解析】A中l与m位置不确定，D中α与β可能相交，C中m与α的位置不确定，B正确，故选B．3．【答案】D【解析】如图，平移直线D N '到A H '，则直线A H '与直线AM 所成角，由于点M ，H 都是中点， 所以ABM A AH ≅'△△，则BAM AA H ∠=∠'，而90A HA AA H '∠+∠='︒， 所以90A HA BAM ∠+∠='︒，即A H AM '⊥，应选答案D ． 4．【答案】A【解析】由线面角的定义可知答案①中的直线m α⊥，m β⊥，则平面αβ∥是正确的； 因为答案②中的两个平面α，β也可能相交，故不正确；答案③中的两个平面m α⊂，n β⊂可以推出两个平面α，β相交，故也不正确；对于答案④，可将直线n 平移到到平面α内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知αβ∥，是正确命题，所以应选答案A ． 5．【答案】D【解析】AM 与BN 为正方体两相对平面的对角线，且不平行，所以AM 与BN 所成角的大小为90︒，故选D ． 6．【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AB l =，2CD l =，当取面11CDD C 为平面α时，∴满足12l l ∥，1l α∥，此时2αl ⊂；当取面1111B A D C 为平面α时，∴满足12l l ∥，1l α∥，此时2l α∥，∴当直线1l 、2l ，平面α，12l l ∥，1l α∥时， 2l 与平面α的关系是2l α∥或2l α⊂，故选C ．7．【答案】A 【解析】连接AC ，BD 相交于点O ，连接EM ，EN ． 在①中，由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD AC BD ⊥，∴SO AC ⊥．∵SOBD O =，∴AC ⊥面SBD ．∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴EM BD ∥，MN SD ∥，EM MN N =，∴平面EMN ∥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN ，∴AC EP ⊥，故①正确;在②中，由异面直线的定义可知，EP 和BD 是异面直线，不可能EP BD ∥，因此不正确； 在③中，由①可知，平面EMN ∥平面SBD ，∴EP ∥平面SBD ，因此正确； 在④中，由①同理可得，EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则EP EM ∥， 与EPEM E =相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直，即不正确．故选A ． 8．【答案】A【解析】逐一考查所给的线面关系：A ．若m α⊥，n α⊂，由线面垂直的定义，则m n ⊥，B ．若m α∥，n α∥，不一定有m n ∥，如图所示的正方体中， 若取m ，n 为AB ，AD ，平面α为上底面1111A BCD 即为反例；C ．若m α⊥，m n ⊥，不一定有n α∥，如图所示的正方体中，若取m ，n 为1A A ，11AD ，平面α为上底面1111A B C D 即为反例；D ．若m α∥，m n ⊥，不一定有n α⊥如图所示的正方体中，若取m ，n 为AD ，BC ，平面α为上底面1111A B C D 即为反例；故选A ． 9．【答案】B【解析】在A 中，∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点， 2EF =，∴AC BD ⊥，1AC BB ⊥， ∵1BDBB B =，∴AC ⊥平面11BDD B ，∵BF ⊂平面11BDD B ，∴AC BF ⊥，故A 正确；在B 中，异面直线AE 、BF 所成的角不为定值， 由图知，当F 与1B 重合时，令上底面顶点为O ，则此时两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合， 则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等， 故异面直线AE 、BF 所成的角不为定值．故B 错误；在C 中，∵EF BD ∥，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ，故C 正确； 在D 中，∵AC ⊥平面11BDD B ，∴A 到平面BEF 的距离不变，B 到EF 的距离为1，∴BEF △的面积不变， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故D 正确． 10．【答案】A 【解析】如图所示，过点C 作1CE BA ∥，连接1B E ，则1B CE ∠就是直线1A B 与1B C 所成的角或其补角， 由题得123B C CE =，13B E =1121237cos 2128B CE +-∠==⨯，故选A ．11．【答案】B【解析】由BC EF ∥可知BC ∥平面AEF ，则点P 到平面AEF 的距离即点B 到平面AEF 的距离， 直线EF ⊥平面11ABB A ，则平面AEF ⊥平面11ABB A ， 结合平面AEF平面11ABB A AE =可知原问题可转换为点B 到直线AE 的距离，利用面积相等可得点P 到平面AEF 的距离为：B 选项． 12．【答案】D【解析】①错误．所得四棱锥中，设AS 中点为I ，则E 、I 两点重合， ∵FI GH ∥，即EF GH ∥，即EF 与GH 不是异面直线；②正确．∵FI GH ∥，PB 与BQ 重合，且GH 与BQ 所成角为60︒， 说明EF 与PB 所成角为60︒；③正确．∵FI GH BC ∥∥，BC ⊂平面PBC ，FI ⊄平面PBC ，∴FI ∥平面PBC ，∴FE ∥平面PBC ；④正确．∵FI ∥平面ABCD ， IH ∥平面ABCD ，FIHI I =点，∴平面FIHG ∥平面ABCD ，即平面EFGH ∥平面ABCD ，故选D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】②③【解析】若αβ⊥，l β⊥，则l α∥，l α⊂； 若l α⊥，l β⊥，则αβ∥； 若αγ⊥，βγ，则αβ⊥；若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥或,αβ相交， 所以正确命题的序号是②③ 14．【答案】3【解析】由AB ⊥平面BCD ，又AB ⊂平面ABC 、平面ABD ， 所以平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ；由AB ⊥平面BCD 可得CD AB ⊥，又CD BC ⊥，所以CD ⊥平面ABC ， 又CD ⊂平面ACD ，故平面ABC ⊥平面ACD ．故答案为3． 15．【解析】取BF 中点G ，连CG ，EG ，不妨设正四面体的棱长为2，EG =，CG =，异面直线AF，CE 16．【答案】①③【解析】由定理可知，BD PC ⊥，∴当DM PC ⊥（或BM PC ⊥）时，即有PC ⊥平面MBD ， 而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD ，则DM PC ⊥或BM PC ⊥正确， 故答案为①③．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】证明：（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB ∥，且12MF AB =，因为N 是矩形ABCD 的边CD 的中点，所以NC AB ∥，且12NC AB =． 所以MF NC ∥且MF NC =，所以四边形MNCF 是平行四边形．所以MN CF ∥．又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以直线MN ∥平面EBC ． （2）在矩形ABCD 中，BC AB ⊥． 又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD 平面EAB AB ＝，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面EAB ．又EA ⊂平面EAB ，所以BC EA ⊥． 又EA EB ⊥，BCEB B ＝，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以直线EA ⊥平面EBC ．18．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）连接AC ，BC 与AC 交于点O ，连接OF ， 因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥， 因为点F 为PC 的中点，所以OF PA ∥．因为OF AC ⊥，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为OFBD O =，所以AC ⊥平面BDF ，因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BDF ．（2）由（1）可知PA ⊥平面ABCD ，OF PA ∥，所以11133P BCD BCD V OF S -=⋅⋅=⨯=△，所以11233P ABD ABD V PA S -=⋅⋅=⨯△，所以P BDF P ABCD F BCD A BDP V V V V ----=--．19．【答案】（1）见解析；（2）111111D A B C D D ABB A V V -->． 【解析】（1）证明：∵2222AB BD AD +==，∴AB BD ⊥， 又1AA ⊥平面ABCD ，∴1AA BD ⊥， ∵1ABAA A =，∴BD ⊥平面11ABB A ．又BD ⊂平面1BDB ，∴平面1BDB ⊥平面11ABB A ． （2）解：∵AB BD =且AB BD ⊥，∴45ADB ∠=︒，又AD BC ∥，∴45CBD ADB ∠=∠=︒，∴1sin4522BCD S BD BC =⨯⨯︒=△∴四边形ABCD 的面积为12+∴111111232D A B C D V -⎛=⨯⨯= ⎝⎭又1111112112333D ABB A ABB A V BD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯=矩形，∵23>∴111111D A B C D D ABB A V V -->． 20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：因为GAD △是等边三角形，点P 为线段GD 的中点，故AP GD ⊥． 因为AD CD ⊥，GD CD ⊥，且AD GD D =，AD ，GD ⊂平面GAD ，故CD ⊥平面GAD ， 又AP ⊂平面GAD ，故CD AP ⊥，又CD GD D =，CD ，GD ⊂平面GCD ，故AP ⊥平面GCD ． （2）证明：∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF CD ⊥， ∵BC CD ⊥，BFBC B =，BF ，BC ⊂平面FBC ，∴CD ⊥平面FBC ，由（1）知CD ⊥平面GAD ，∴平面ADG ∥平面FBC ．21．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：因为BC BD =，E 是棱CD 的中点，所以BE CD ⊥， 又三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，且BC BD B =，所以AB ⊥平面BCD ，则AB CD ⊥， 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面ABE ⊥平面ACD ． （2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ， 所以MF CD ∥，又F 为AD 的中点，所以M 为AE 的中点，因为2BE 122MF DE =所以四面体体BEFG 的体积为11326BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯==12，则3BG =．在Rt ABE △中，26AB BG ==，AE ==在Rt CEM △中，12ME AE ==CM =．22．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：在平面CDF 中，作NH CF ⊥交DC 于H ，连接AH ． ∵M ，N 是AE ，CF 中点，且AEFD 是正方形，∴NH DF ∥又AM DF ∥，，∴NH AM =，NH AM ∥， ∴四边形AMNH 是平行四边形，∴MN AH ∥，又AH ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD ． （2）解：如图，连BD ，BF ，过F 作FG EF ⊥，交BC 于点G ．∵四边形BEFC FG =． ∵平面AEFD ⊥平面BEFC ，平面AEFD 平面BEFC EF =，FG EF ⊥，DF EF ⊥，∴GF ⊥平面AEFD ， DF ⊥平面BEFC ． 1143。