相互独立事件概率一

思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
跟踪训练1 (1)(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全 相同的号签.其中，甲袋中有编号为 1,2,3的三个号签；乙袋有编号为
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1； 0,1,1和1,1,1这4个事件的和， 它们互斥，所求的概率为 C23β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故 C 错误； 对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)， 单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5， 因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′， 故D正确.
微拓展
D 选项，由 C 选项知 Pn＝12(1－Pn－1)， 即 Pn＝－12Pn－1＋12， 设 Pn＋λ＝－12(Pn－1＋λ)， 故 Pn＝－12Pn－1－32λ， 所以－32λ＝12，解得 λ＝－13，
微拓展
故 Pn－13＝－12Pn－1－31， 又 P1－13＝－13≠0， 所以Pn－13是首项为－13，公比为－21的等比数列，故 Pn－13＝－13－12n－1， 故 Pn＝13－13－12n－1，D 正确； B 选项，由 D 选项可知 P4＝13－13×－123＝38，B 错误.
自主诊断
2.(必修第二册 P253T4 改编)甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出
谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解出的概率为
√A.16
B.13
C.56

思维启迪：两个事件独立，两个事件的对立事件也是相 互独立的．
解 记 Ai 表示事件：电流能通过 Ti，i＝1,2,3,4. A 表示事件：T1，T2，T3 中至少有一个能通过电流． B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过． (1) A ＝ A1 · A2 · A3 ，A1、A2、A3 相互独立． 故 P( A )＝P( A1 · A2 · A3 )＝P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ＝(1－p)3， 又 P( A )＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001， 故(1－p)3＝0.001，得 p＝0.9. (2)B＝A4＋ A4 · A1· A3＋ A4 · A1 · A2· A3， P(B)＝P(A4＋ A4 · A1· A3＋ A4 · A1 · A2· A3) ＝P(A4)＋P( A4 · A1· A3)＋P( A4 · A1 · A2· A3) ＝P(A4)＋P( A4 )P(A1)P(A3)＋P( A4 )P( A1 )P(A2)P(A3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1.
2．独立重复试验 (1)独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果 的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这 n 次 试验是独立的． (2)独立重复试验的概率：如果在一次试验中，某事件 发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中，这个
k k n k C P (1 － P ) 事件恰好发生 k 次的概率为：Pn(k)＝ n .
2．如图所示的电路，有 a，b，c 三个开关，每个开关 1 开或关的概率都是2，且是相互独立的，则灯泡甲亮 1 的概率为________ ． 8
解析 理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件 A， “b 闭合”为事件 B，“c 闭合”为事件 C，则灯亮应为 事件 AC B ，且 A，C， B 之间彼此独立，且 P(A)＝P( B ) 1 ＝P(C)＝2. 1 所以 P(A B C)＝P(A)P( B )P(C)＝8.

“两次取出的球的数字之和是7”，则（
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事

件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24, 解析】三人均达标为0.8×0.6× 0.8 三人中至少有一人达标为1 三人中至少有一人达标为1-0.04=0.96
5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 14 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己， 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设 甲闹钟准时响的概率是0.80， 甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.80 0.90， 0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 。.
题型二 相互独立事件同时发生的概率问题 2009北京卷文）（本小题共13分 北京卷文）（本小题共13 例2 （2009北京卷文）（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口， 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口 是否遇到红灯是相互独立的， 是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都
1 1 1 4 P ( A) = 1 − × 1 − × = 3 3 3 27
（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多 是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到 4min为事件B 为事件 的事件
Bk ( k = 0,1, 2 )
2 16 P ( B0 ) = = 3 81
1 的概率都是 2 若某人获得两个“支持” 则给予10万元的创业资助； 10万元的创业资助 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得
一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予 一个“支持” 则给予5万元的资助；若未获得“支持” 资助． 资助．求： 该公司的资助总额为零的概率； (1) 该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过15万元的概率． 该公司的资助总额超过15万元的概率． 15万元的概率