2016中考数学相似三角形压轴题

专题03相似三角形的判定压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形判定定理的识别】 (1)【考点二相似三角形中有关直线个数的判断】 (2)【考点三相似三角形判定定理的应用】 (2)【考点四相似三角形的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一相似三角形判定定理的识别】【例题1】如图，12∠=∠，那么添加一个条件后，仍不能判定ABC 与ADE V 相似的是（）C ADE∠=∠AB BC AD DE =AB AC AD AE =形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．【变式1】下列命题中假命题是（）A ．任意两个等腰直角三角形都相似B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似C ．任意两个等边三角形都相似D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似【答案】B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B.任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C.等边三个角都相等，故两三角形相似；D.任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．【变式2】如图，在ABC 中，72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠= .则图中相似三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．【详解】解：72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠= ，180180727236ABC C A =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∴∠，180180367272ADE A AED =︒∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒，180180727236DBC C BDC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，AED ABC ∠=∠ ，//ED BC ∴，36EDB DBC ∴∠=∠=︒，1801803636108BED EBD EDB ∴∠=-∠-∠=-︒-︒=︒，180180727236DBC C BDC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，7236108ADB ADE EDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，AED ABD ∠=∠ ，ADE ACB ∠=∠，AED ABC \，AED C ∠=∠ ，ADE BDC ∠=∠，AED BCD ∴ ，ABD C ∠=∠ ，ACB BDC ∠=∠，BCD ABC ∴ ，A EBD ∠=∠ ，ADB BED ∠=∠，EBD DAB ∴ ．故相似的三角形对数为4对：故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【考点二相似三角形中有关直线个数的判断】【例题2】如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截Rt ABC △，使截得的三角形与Rt ABC △相似，则过点P 满足这样条件的直线最多有条（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】过点P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【详解】解：由于ABC 是直角三角形，过P 点作直线截ABC ，则截得的三角形与ABC 有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt ABC △相似，如图，过点P 可作AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共3条直线．故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用，运用两角法(有两组角对应相等的两个三角形相似)来判定两个三角形相似是解题关键．【变式1】ABC 中，D 是AB 上的一点，再在AC 上取一点E ，使得ADE V 与ABC 相似，则满足这样条件的E 点共有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】C【分析】ADE V 与ABC 中，有公共角A ∠，因此只要作ADE B ∠=∠或ADE C ∠=∠，即可得出两三角形相似．【详解】解：根据题意得：当DE BC ∥时，ADE ABC △△∽；当ADE C ∠=∠时，由A A ∠=∠，可得ADE ACB ∽．所以有2个．故选：C ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．【变式2】在三边都不相等的ABC 的边AB 上有一点D ，过点D 画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与ABC 相似，这样的直线最多可以画（）A ．5条B ．4条C ．3条D ．2条【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解．【详解】解：如图，画直线DE BC ∥交AC 于点E ，则ADE ABC △△∽；如图，画直线DE 交AC 于点E ，使AED B ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴AED ABC ∽△△；如图，画直线∥DE AC 交BC 于点E ，则BDE BAC △△∽；如图，画直线DE 交BC 于点E ，使BED A ∠=∠，∵B B ∠=∠，∴BDE BCA ∽ ；∴这样的直线最多可以画4条．故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【考点三相似三角形判定定理的应用】【例题3】在ABC 中，90ACB ∠︒＝，用直尺和圆规在AB 上确定点D ，使ACD CBD △∽△，根据作图痕迹判断，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据ACD CBD △∽△，可得90CDA BDC ∠=∠=︒，即CD 是AB 的垂线，根据作图痕迹判断即可．【详解】解：当CD 是AB 的垂线时，ACD CBD △∽△．CD AB ⊥ ，90CDA BDC ∴∠=∠=︒，90ACB ∠=︒ ，90A ACD ACD BCD ∴∠+∠=∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠，ACD CBD ∴△∽△．根据作图痕迹可知，A 选项中，CD 是ACB ∠的角平分线，不符合题意；B 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意；C 选项中，CD 是AB 的垂线，符合题意；D 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【变式1】如图，在ABC 中，78,6,9A AB AC ∠=︒==．将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．A ．只有甲同学正确B ．乙和丙同学都正确C ．甲和丙同学正确D ．三个同学都正确【答案】D 【分析】在ABC 中，依据三角形外角及已知可得BAD CDE ∠=∠，结合等腰三角形易证ABD DCE △△；结合AD DE =，易证ABD DCE ≌△△，得到BD CE =；当DE AC ⊥时，结合已知求得50EDC ∠=︒，易证AD BC ⊥，依据等腰三角形“三线合一”得BD CD=【详解】解：在ABC 中，AB AC = ，40C B ∴∠=∠=︒，B BAD CDE ADE ∠+∠=∠+∠ ，40ADE B ∠=∠=︒，BAD CDE ∴∠=∠，ABD DCE ∴~ ，甲同学正确；C B ∠=∠ ，BAD CDE ∠=∠，AD DE =，ABD DCE ∴ ≌，BD CE ∴=，乙同学正确；当DE AC ⊥时，90DEC ∴∠=︒，9050EDC C ∴∠=︒-∠=︒，90ADC ADE EDC ∴∠=∠+∠=︒，AD BC ∴⊥，AB AC = ，BD CD ∴=，D 为BC 的中点，丙同学正确；综上所述：三个同学都正确故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到BAD CDE ∠=∠．【答案】13【分析】根据矩形性质得到点Q ，则有OQF AEF ∽∴OQF AEF ∽，OQP ∽A ．22B ．【答案】C 【分析】如图，连接CA '设=AB x ，AD y =，12BF GC =，设=BF k ，则=2GC k ，(1)如图1，当045α︒<<︒时，求证：ABD ACE ∽．(2)如图2，当45α=︒时，点E 在AB 的延长线上，延长DB 交CE 于点F ，求证：BCF FBC ∠=∠．(3)如图3，当4590α︒<<︒时，延长DB 交CE 于点F ，求证：F 是CE 的中点．由旋转的性质可知：AD AB =∴1267.5∠=∠=︒，3ACE ∠=∠∴2467.5∠=∠=︒，∴1803445BFE ∠=︒-∠-∠=∴135BFC ∠=︒．∵BCF ACE ACB ∠=∠-∠=∴在BFC △中，180********.522.5FBC BFC FCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴BCF FBC ∠=∠．（3）证明：如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，过点C 作CN DF ⊥，交DF 的延长线于点N ，∴90DME EMF BNC ∠=∠=∠=︒．由旋转的性质可知：DE BC =，AD AB =，90ADE ABC ∠=∠=︒，∴12∠=∠，1490∠+∠=︒，2318090ABC ∠+∠=︒-∠=︒，∴3=4∠∠，∴()AAS DEM BCN ≌△△，∴EM CN =，又∵56∠=∠，90EMF CNF ∠=∠=︒，∴()AAS FEM FCN ≌△△，∴EF CF =，即F 是CE 的中点．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意添加辅助线是解题关键．【过关检测】1.如图，根据图中给出的数据，一定能得到（）A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键．2.如图，在ABC 中，AG 平分BAC ∠，点D 在边AB 上，线段CD 与AG 交于点E ，且ACD B ∠=∠，下列结论中，错误的是（）A ．ACD ABC△△∽B ．ADE ACG ∽ C ．ACE ABG∽△△D ．ADE CGE∽△△【答案】D 【分析】由ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，可直接证明ACD ABC △△∽，即可判断A ；由角平分线的定义得出DAE CAG ∠=∠，再结合三角形外角的性质即可得出AED AGC ∠=∠，从而可证ADE ACG ∽ ，即可【答案】2133/2133【分析】先运用勾股定理求出BEODE OAB∽解题即可．33【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．5.如图，在Rt ABC△中，CD是斜边相似的三角形的个数是【答案】4【分析】根据CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，得90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定，即可．【详解】∵CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，∴90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt ACD △中，∵90A A ADC ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩，∴Rt Rt ABC ACD ；在Rt ABC △和Rt CBD △中，∵B B CDB ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CBD ；∵DE BC ⊥，∴AC DE ∥，∴Rt Rt ABC DBE ；∵A B ∠∠=︒+90，90B DCB ∠+∠=︒，∴A DCB ∠=∠，在Rt ABC △和Rt CDE △中，A DCB ACB CED∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CDE ；∴图中与Rt ABC △相似的三角形有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．6．在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①ABC ，②ACD ，③ADE V ，④AEF △，【答案】①③/③①【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．【详解】解：设每个小正方形的边长为的各边长分别为1、①ABC【答案】2或4/4或【分析】根据AE EB=相似三角形对应边成比例求出【详解】解：AE=∴=，2AD AE【答案】ACP B ∠=∠（答案不唯一）【分析】APC 和ACB 有公共角【详解】解：PAC CAB ∠=∠【答案】③【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C ∠②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，③BC CD AC AB =，C C ∠=∠时，不能推出④BC CD DB AC BC AB==，C C ∠=∠时，故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．答案】6【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：∵ABCD 是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型．12．如图，在ABC 中，2BAC B ∠=∠．请用尺规作图法，在BC 边上求作一点M ，使CMA CAB ∽△△．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作BAC ∠的平分线，交BC 边于点M ，此时CMA CAB ∠=∠．【详解】解：点M 即为所作，∵AM 平分BAC ∠，∴BAM CAM ∠=∠，∵2BAC B ∠=∠，∴B CAM ∠=∠，∵MCA ACB ∠=∠，∴~CMA CAB ．【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．13．如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边于点E ，将BCE 绕点C 顺时针旋转到DCF 的位置，并延长BE 交DF 于点G ．求证：(1)BDG DEG ∽；(2)BG DF ⊥．【分析】（1）先判断出FDC EBC ∠=∠，再利用角平分线判断出FDC EBC ∠=∠，即可得出结论；（2）由三角形的内角和定理可求90DGE BCE ∠=∠=︒，可得结论．【详解】（1）证明：由旋转可知：BCE DCF ≅ ，FDC EBC ∴∠=∠．BE 平分DBC ∠，DBE EBC ∠=∠∴，FDC DBE ∴∠=∠，DGE DGB ∠=∠ ，BDG DEG ∴ ∽；（2）证明：EBC GDE ∠=∠ ，BEC DEG ∠=∠，90DGE BCE ∴∠=∠=︒．BG DF ∴⊥．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．14．如图，在AEC △中，B 为EC 上一点，且满足ABD C E ∠=∠=∠．(1)求证：AEB BCD ；(2)当AE BD ∥时，30C ∠=︒，10CD =，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由三角形外角的性质和角的和差可得ABC ABD DBC E EAB ∠=∠+∠=∠+∠，再结合ABD E ∠=∠可得DBC EAB ∠=∠，然后结合C E ∠=∠运用两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论；∵30C ∠=︒，10CD =，∴152DH CD ==，∵AE BD ∥，(1)求证：ABD DCE ∽△△；(2)如图2，当D 运动到BC 的中点时，求线段CE 的值；【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到等的三角形相似求解．（2）由题意易得AD BC ⊥，1102BD CD BC ===的性质可进行求解．【详解】（1）证明： 三角形ABC 是等边三角形，60B C ∠=∠=︒∴，ADC B BAD ∠=∠+∠ ，ADC ADE CDE ∠=∠+∠B BAD ADE CDE ∴∠+∠=∠+∠，ADE B ∠=∠ ，BAD CDE ∴∠=∠，B C ∠=∠ ，ABD DCE ∴ ∽；（2）解：ABC 是等边三角形，点D 是BC 中点，AD BC ∴⊥，1102BD CD BC ===，90ADC ∴∠=︒，(1)求证：ABF DFE ；(2)若2sin 3DFE ∠=，6AF =，求【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）根据矩形的性质可知可得90AFB DFE ∠+∠=︒，进而可得（2）由ABF DFE 可得DFE ∠【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念等知识点，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．中，AC18．如图1，在ABC==，∵AC BC DC∴BAC ABC∠=∠，。

相似1-10一．解答题（共10小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．第1页（共20页）3．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．第2页（共20页）4．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．5．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．第3页（共20页）6．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．7．如图，正三角形ABC的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．第4页（共20页）8．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．9．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C 的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n 的代数式表示）第5页（共20页）分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．第6页（共20页）六六六六六六-相似1-10参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．【解答】解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2，由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，=×﹣=×（10+2）×8﹣×10×4﹣=24（cm2）；（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t，S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）=8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4，当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t，FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，S=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．即S=﹣8t+32（2＜t＜4）．（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，①若=，即=，解得t=．第7页（共20页）所以当t=时，△EBF∽△FCG，②若=即=，解得t=．所以当t=时，△EBF∽△GCF．综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴，∵BP=a，CQ=a，BE=CE，∴，∴BE=CE=a，∴BC=3a，∴AB=AC=BC•sin45°=3a，∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，第8页（共20页）在Rt△APQ中，PQ==a．3．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当D在AC上时，第9页（共20页）∵DE=DF，∴EC=CF=EF=5，∴t=5．（2）存在．∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，AQ=8﹣t，当0≤t＜5时，①AP=AQ，t=8﹣t，∴t=4；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，AH=HQ=AQ=4﹣t，∵PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴=，∴=，∴t=；③AQ=PQ，作QI⊥AB于I，AI=PI=AP=t（等腰三角形的性质三线合一），∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AIQ∽△ACB，∴=，∴=，∴t=，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，同理可求出，FC=QC=10﹣t，BP=10﹣t，PH=（10﹣t）=8﹣t，第10页（共20页）BH=（10﹣t）=6﹣t，QG=QC﹣GC=QC﹣PH=10﹣t﹣（8﹣t）=2﹣，PG=HC=6﹣（6﹣t）=t，PQ=AQ=8﹣（10﹣t）=t﹣2，∴PQ 2=PG 2+QG 2，（t﹣2）2=（t）2+（2﹣）2，解得：t=秒，其它情况不符合要求，综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形．（3）由勾股定理：CE=CQ=t，∵sinA===，cosA===，∴PW=t，AW=t，∴QW=8﹣t﹣t=8﹣t，∴PQ2=PM2+QW2=（t）2+（8﹣t）2=t2﹣t+64，PE2=PH2+EH2=（t+8﹣t）2+（t﹣t）2=t2﹣t+64，①∠PQE=90°，在Rt△PEQ中PQ2+QE2=PE2，∴t1=0（舍去）t2=；②∠PEQ=90°，PE2+EQ2=PQ2t1=0（舍去）t2=20（舍去）∴此时不存在；③当∠EPQ=90°时PQ2+PE2=EQ2，t1=（舍去）t2=4，综合上述：当t=或t=4时，△PQE是直角三角形．第11页（共20页）4．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°，∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，∴∠ABA1=∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴，∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=；（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，第12页（共20页）在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7．5．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2t．则==，又∵AO=10，AB=20，∴==．∴=．又∵∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．第13页（共20页）（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，∴AM=．在△APQ中，∠AQP=90°，∴AQ=AP•cos30°=2t，∴QM=AC﹣2AQ=20﹣4t．由AQ+QM=AM得：2t+20﹣4t=，解得t=．∴当t=时，点P、M、N在一直线上．②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．设l交AC于H．如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．∴MH=2NH．得20﹣4t﹣=2×，解得t=2．如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．∴MH=2PH，同理可得t=．故当t=2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=8﹣2t，PD=t．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【解答】解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，第14页（共20页）∴QB=8﹣2t，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，∴∠APD=90°，∴tanA==，∴PD=t．故答案为：（1）8﹣2t，t．（2）不存在在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，即，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．当t=时，PD==，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=当PD=BQ，t=时，即=8﹣，解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6．∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．第15页（共20页）7．如图，正三角形ABC的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．【解答】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′=BF′=x．∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+x+x=3+，∴x=，即x=3﹣3，（x≈2.20也正确）（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），它们的面积和为S，则NE=，PE=n．∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．∴S=m2+n2=PN2，延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m﹣n）2．∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3．∴S=[32+（m﹣n）2]=+（m﹣n）2①当（m﹣n）2=0时，即m=n时，S最小．∴S最小=；②当（m﹣n）2最大时，S最大．即当m最大且n最小时，S最大．∵m+n=3，由（2）知，m最大=3﹣3．第16页（共20页）∴S最大=[9+（m最大﹣n最小）2]=[9+（3﹣3﹣6+3）2] =99﹣54…．（S最大≈5.47也正确）综上所述，S最大=99﹣54，S最小=．8．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．【解答】解：（1）PC与PD的数量关系是相等．证明：过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N．∵∠AOB=90°，易得∠HPN=90度．∴∠1+∠CPN=90°，而∠2+∠CPN=90°，∴∠1=∠2．∵OM是∠AOB的平分线，∴PH=PN，又∵∠PHC=∠PND=90°，∴△PCH≌△PDN；∴PC=PD．第17页（共20页）（2）∵PC=PD，∠CPD=90°，∴∠3=45°，∵∠POD=45°，∴∠3=∠POD．又∵∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG．∴．∵，∴．（3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP=1；如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP=﹣1．9．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C 的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为180cm．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n第18页（共20页）的代数式表示）【解答】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，∴=，解得x=180．（4分）（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，同理可得∴=，解得y=12cm；（3分）（3）记灯泡为点P，如图：∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得（1分）（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，∴=1﹣=1﹣x=（1分）．10．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F 分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF 于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．【解答】解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，第19页（共20页）∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∴AE==2，∴AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM===．∵△BMA∽△CMG，∴．∴．∴CG=．∴在Rt△BGC中，BG==．第20页（共20页）。

2016年全国中考数学真题分类相似形及应用一、选择题1．（2016安徽，8，4分）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．4C．6 D．4【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据AD是中线，得出CD=4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出=，求出AC即可．【解答】解：∵BC=8，∴CD=4，在△CBA和△CAD中，∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，∴△CBA∽△CAD，∴=，∴AC2=CD•BC=4×8=32，∴AC=4；故选B．2．（2016甘肃定西，7，3分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2， 故选：D ．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．3. （2016浙江杭州，2,3分） 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ,B ,C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ,E ,F ,若12AB BC=,则DE EF=（ ）FE D CB A cb a nmA. 13B.12C. 23D.1 【答案】B4．（2016新疆生产建设兵团，7，5分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确的是（ ）A ．DE=BCB ． =C ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ：S △ABC =1：2【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】根据中位线的性质定理得到DE ∥BC ，DE=BC ，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定． 【解答】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=BC ， ∴=，△ADE ∽△ABC ，∴，∴A，B，C正确，D错误；故选：D．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定；解题的关键是正确找出对应线段，准确列出比例式求解、计算、判断或证明．5.（2016河北，15，2分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（ C ）第15题图答案：Ｃ解析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。

目录第一部分函数图象中点的存在性问题因动点产生的相像三角形问题例 1 2015 年上海市宝山嘉定区中考模拟第24 题例 2 2014 年武汉市中考第 24 题例3 2012 年苏州市中考第29 题例42012 年黄冈市中考第25 题例 52010 年义乌市中考第24 题例 62009 年临沂市中考第 26 题因动点产生的等腰三角形问题例 12015 年重庆市中考第 25 题例 2 2014年长沙市中考第第 26 题例 3 2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题例4 2012 年扬州市中考第 27 题例 5 2012 年临沂市中考第 26 题例6 2011 年盐城市中考第 28 题因动点产生的直角三角形问题例 1 2015 年上海市虹口区中考模拟第 25 题例2 2014 年苏州市中考第 29 题例 3 2013 年山西省中考第 26 题例4 2012 年广州市中考第24 题例52012 年杭州市中考第22 题例 62011 年浙江省中考第23 题例72010 年北京市中考第 24 题因动点产生的平行四边形问题例 1 2015 年景都市中考第 28 题例 2 2014 年陕西省中考第 24 题例 3 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题例4 2012 年福州市中考第 21 题例 5 2012 年烟台市中考第 26 题例6 2011 年上海市中考第24 题例72011 年江西省中考第 24 题因动点产生的梯形问题例 1 2015 年上海市徐汇区中考模拟第 24 题例2 2014 年上海市金山区中考模拟第 24 题例 32012 年上海市松江中考模拟第 24 题例 4 2012年衢州市中考第 24 题例 5 2011 年义乌市中考第 24 题因动点产生的面积问题例 1 2015 年河南市中考第 23 题例 2 2014 年昆明市中考第 23 题例3 2013 年苏州市中考第29 题例42012 年菏泽市中考第21 题例 52012 年河南省中考第23 题例 62011 年南通市中考第28 题例72010 年广州市中考第 25 题因动点产生的相切问题例 1 2015 年上海市闵行区中考模拟第 24 题例 2 2014 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题例3 2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题因动点产生的线段和差问题例 1 2015 年福州市中考第 26 题例 2 2014 年广州市中考第 24 题例3 2013 年天津市中考第25 题例42012 年滨州市中考第 24 题第二部分图形运动中的函数关系问题由比率线段产生的函数关系问题例 1 2015 年呼和浩特市中考第 25 题例 2 2014 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题例3 2013 年宁波市中考第 26 题例 4 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题由面积公式产生的函数关系问题例 1 2015 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题例2 2014 年黄冈市中考第 25 题例 3 2013 年菏泽市中考第 21 题例4 2012 年广东省中考第22 题例52012 年河北省中考第26 题例 62011 年淮安市中考第 28 题第三部分图形运动中的计算说理问题代数计算及经过代数计算进行说理问题例 1 2015 年北京市中考第 29 题例2 2014 年福州市中考第22 题例32013 年南京市中考第 26 题几何证明及经过几何计算进行说理问题例 1 2015 年杭州市中考第 22 题例2 2014 年安徽省中考第 23 题例 3 2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题第四部分图形的平移翻折与旋转图形的平移例 1 2015 年泰安市中考第 15 题例2 2014 年江西省中考第 11 题图形的翻折例 1 2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 18 题例2 2014 年上海市中考第 18 题图形的旋转例 1 2015 年扬州市中考第 17 题例 2 2014 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题三角形例 1 2015 年上海市长宁区中考模拟第 18 题例2 2014 年泰州市中考第 16 题四边形例 1 2015 年安徽省中考第 19 题例2 2014 年广州市中考第 8 题圆例 1 2015 年兰州市中考第 15 题例2 2014 年温州市中考第 16 题函数图像的性质例 1 2015 年轻岛市中考第 8 题例2 2014 年苏州市中考第 18 题第一部分 函数图象中点的存在性问题因动点产生的相像三角形问题例 1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 24 题如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（ k ≠0）与直线 y ＝ x ＋ 2 都经过点 A (2, m ) ．（ 1）求 k 与 m 的值；（ 2）此双曲线又经过点 B ( n , 2) ，过点 B 的直线 BC 与直线 y ＝ x ＋ 2 平行交 y 轴于点 C ，联络 AB 、AC ，求△ ABC 的面积；（ 3）在（ 2）的条件下，设直线 y ＝ x ＋2 与 y 轴交于点 D ，在射线 CB 上有一点 E ，假如以点 A 、 C 、 E 所构成的三角形与△ ACD 相像，且相像比不为 1，求点 E 的坐标．图 1动感体验请翻开几何画板文件名“15 宝山嘉定 24”，拖动点 E 在射线 CB 上运动，能够体验到，△ ACE 与△ ACD 相像，存在两种状况．思路点拨1．直线AD y k y82 2421BABC 1224222210CEAD 22CE ACx x22CAACCA ADCE2 1010 26cm8cm5cm42 10 2 2cm BPBA 5t10 BP BC 5t 8 t 32 4 AC CD 6 8 4t t7 BPBC BQ BC 8 4t 8 BQ BA8 4t10 415QC PD4t 3t8 BQ BAt32 BP BA PQPD 2 QD 2 (3t )2(8 8t) 2 (3t)2 (8 8t )28t12841BQBC73y1 x2 1 ( b 1)x b b 1 b x 1b x5bxx 1616 ,164 4 442 4 2 85 5 5y1 x2 1( b 1)x b 1(x 1)(x b) BA QA QA 2 BA OA ( b )2 b 1 b 8 4 34 4 4 4QA OA 4 1,23BA QA BO QA b QAQA 4 y 1 ( x 2)(x m) 25”QA OACOOA b 1m4y1( x 2)( x m)21 4(2mm 1BC OE16 2 6HP EO HP 22CP CO 31FF 'EO1( x( x,2)(xm))m( xBF 'COmm)y1( x 2)( x 4)42 HP3 (1,3) CE BC 42 2 CB BF2)(x m)2 CO BF 'x2m CE BF 1 x 21x 242BC 2 CE BFm m 4 m 2 4 BFBF( m 4) m 2 4 BC 2 CE BF(m 2) 2 m 24 ( m 4) m 2m 1( xmBC 2 BE BF2)(x m) x 2 2m (2m,0) 2m BF2(2 m 2)m4BEBC BC BFBC 2 BE BF( m 2) 22 22(2 m 2)m 2 2 22 2 21A 1C 1A 1C”24x 1 y1x 21x1 1A 1C2(x 11 x2 1)3(x 1 x 2 )6 x 1 x 2s28 48S23y 2y 13y 2 y 11x 221x 21x 121x 1 3 ( x 2 x 1 ) 1(x 2 x 1 ) 1 384 84 8 4x 2 x 172 x 2 x 1 14, x 1 6,GAF 3 PQDDQ t 3 tS x 2x 1 2.x 2tantanQP 5 t 4 5 t8.4t20y a( x 1)( x 4)a1 y1( x 1)( x 4)1 x2 5x 2 7222 2( x,1(x 1)( x4))PM1( x 1)( x 4)AM4 xAMAO 222PMCO1(x 1)( x 4)AMAO11( x 1)( x 4)122x52x24xPM CO 24x21 (x 1)( x4)12PM( x 1)( x 4)AM x 4x 42x 5(5, 2)21(x1( x 1)( x1)( x 4)114)2x 2 PM( x 1)( x 4) AM 4 x22x42 24 x1( x 1)( x 4)1x3(3, 14) 2 x 0 ( 3,14) (5, 2) y1 x2 (1m4)4 x22(m, 1 m 2 5 m 2) (m, 1 m 2) DE( 1 m 2 5 m 2)( 1 m 2)1 m2 2m 2 2 22 222SDAC1 ( 1 m2 2m) 4 m 2 4m(m 2) 2 4m 2(1 m4)2 2S1(2n 2) 41m(n 2)1n(4 m)m 2n 4n1 m2 5m 22222 2Sm24m 2 3 2 3 4 3 3 4 3 2 13 1AD 1AD 1AD 1AD ( a ,1) ( a , 1)222216161 a 2a 1 y 1 x 2(x, 1x 2)PAx2( 1x 2 2)21 x 441 x2 1 x 2164 4441644PM 221 x 4 421x) 2 1433 2PAPH(16x1 x16 (31)4 2 34y1 x( x, 1x )1(2 3 2)4 2 32222 24444PB21 221 x 21)2121121ED CD tan C53 15x ( x 1)(xx 4 44 444EC 25PMDM 4 QN3PMPM4QNQN3PM3 4QNDN34344CQCN QN4 3 19 QN3PM 15 CQ CN QN4 15 314 4 4 44 4 tan QPD QD DN3 tan C BA 3PM4QN 4PD DM 4CA 43 3BP BM PM3 4 5 cos C CH CQ 5 4 25 4 25 7 PM 4QN 73 3 CQ 2 5 8 8 8 3 6 BPBMPM3 7 25 25 a BH PH 6 6 m 6 6 6 OC 2 36 6 BP 6 3 BO CO(2,23) (2,23)2 32a ( 6)a3 y3x( x 4)3 x 2 2 3 x6663y 2 3(2, 23) 4 2( y 2 3) 216 y 1y 22 3 2( y2 222y2 34 3)2 y(2, 2 3)y3x( x 4)3( x 2)22 3 D(2,2 3)tan DOA2 3 y4 x663333yx 7,x 3,yx 7x 7S△ APRS梯形 CORAS△ ACPS△POR84x,yy 4.31 t) 414 (4 t)1t (7 t) 8 t 28t 12 0 AB4 2 cos A3AP 7 t（3+72 252AQ O A OQ OA5OR 5 t 20 7 t 5t 20 t 41 7 t 2[(7 t ) (t 4)] t 51AQ3 3 3 3 38A 520 3 226 41 226cos A 2 AQ 2AP cos t 2(7 t) tAP 2AQ cos AAP 3 3 5 43 8 4313 12 169 3 2 AD EF CE 3 CM CG 2 FC FA FC FB FAFB 13 BHAF BA 13 AB BG FE FG FEFA FGFA 2BG21324mAEa122a1 2 3m 3m 2m 3m EE 'DD ' a(xm)( x 3m) 3 3m1 m 3m 4m2 am1 3mm 2 3mAE 'AD 'x m3mam 2 4m 4mADDD ' 3 4m 2m GFFF ' 4 AE AD GF 4m 3m 3m AEAD GF GF 34mAEEE ' 5AD DD ' 353 45 334GO ( 34 1)mG(m34m,0)y 1 x 2 3 x 4 y 1 x 2 3 x 41( x 2)( x 8)4 24 2 4y1x 4 M (m,1m 4)Q(m, 1m 23m 4)2242( 1m 4) (1 m 23m 4)1 m2 m 8 1 m 2 m 8 8 ( x, 1(x 2)(x 8)) 2 42444 QGBH11(x 2)(x 8)1 QG DH41( x 2)( x 8)4242GBHD28 x2GDHBxy3 x 23x 3 y 3 x 2 3x 3 3( x 4)( x 2)DGCO3 DG3BG 984 8 48BG AO44 4(1, 9 ) 27 (1, 27 ) 1Atan M 1EA M 1 A 3 1A y3 x 3 y 3 x 3 yk y k y24 4 4 AE 44 4x xxyk k( x 1 )2 5 k x 1 x 1 ( 1 , 5k) ( 1 ) 2 ( 5 k )2 12 k 2 k 1 2 3x 2 2 k 4 2 2 2 4 2 43 k 23 y y 1 x 2 y x 2 y 2x 2 y 2x4 BC PO 2PO 3 x 72 CP OA PO3 y1x 6y1x 1ym 1 x 25m x m 2 3m 22 m 1 x25m x m 23441 x2 5 xy3m 2 m 2 3m 2 0 m 1 2 m 2 1 y444 22t1 (3t)2 5 3t t OP22 t 10 10 3t 2t t 2 10 3t 4t t 10 t 104 29 3 1 x 3 x,7 3t 30 20 2 AC 1 AB xBC 3 x1 x 21 x2(3 x)213 x x.x23x 4 0 x2(3 x)21 x51 x2 (3 x)21 x 2x41 x2 x5 x 43333CDABCD h S 1xh 1 h 2 (3x) 2 2x(3 x) 2h 2x1 h 22h(3 x) 2 h 2x 2 2x 1 h 21 h 2x 1 h 23x4 x 2 (1 h 2 ) 9x 2 24x 16x 2 h28x224x 16S21 x 2h2 2 x26 x 42( x 3 )2 14≤ x 2 x3422 324≤ x 2 S 21 2 (3 x) 2h 21 h 2xS 21 x2 h 2 2x 2 6x 432242(x3 )21 1 x ≤ 4S22 AD aAC 2 AD 2 BC 2 BD 22232228x 21 a 2(3 x)2( x a) 2a 3x 41 a 213x 424x 16xxx 2S21x 2 (1 a 2 )2x 26x 441EF ( x Ex A )1EF ( x E x C ) 1 EF (x C x A ) 1(ax 23ax 4a) 1a( x3 )225 a 25 a 22 2 22 2 8 8 25 a5 a 2 a7 (1，267 )a1 (1， 4) AM DN 5 5a 3 n845772 MDNP5a227n3 5a(1,35a ) ( 4, 3) ( 4,3) 3 21a aAGQK3a275aaa a a aGQKD33a19 3b c 0,222am 2xm 2ym 4 m 4 1 m( m4)1 m 32mc 3.2224 42 4 8c 1,b9yx 29x 1sinAOHsin OBC 416 4bc 3.225AHOA sinAOH 4 OH3BH OB OH22 tan ABOAH4 22 25 55BH5 5 11y 1 x 1 ( x, x 29 x 1) ( x, 1x 1) MN ( x29 x 1) (1x 1) x24x (1,9)2 2 22 22 x 27 (1,9) (3,11) (27, 5 7 ) (27, 527 )222思路点拨1．菱形 PDBQ 一定切合两个条件，点P 在∠ ABC 的均分线上，PQ 4t cos A AE 2 3 t 10 CQ CP CQ 610 32 32 10 16 6 t 6 t3CQ 3 AP t 5 3 CBCA8 6 993152 2 9a 3b c 0, AP AB 1 AP 1 t 1 1 t x 1 1 t 4 1 t 2 4 1 t 22 5 a b c 4,2 PE 4a 2b c 2. PE BC 2 2 2 2 4 4GE(41 t2 ) (4 t)1 t2 t 4141120SACGSAGESCGEGE( AF DF ) t 2t(t 2)2 1 tt 208 524413E(11t,4t) F (11t, 4) Q(3,t) C(3,0) ( 1t2)2 (4 t) 2 t 2 t 2 40t 80 0 t 12085222t 220 8 5( 1 t 2)2 (4 2t) 2 t 2 13t 2 72t 800 0 (13t 20)(t 40)0 t 120t 240213y3 x 3 y3x y 3 x 3 y 3 x 3 3 3 y 3 y 3x (1,3) AM 13(1,3)42 44 2 22 222c 3,b 5c 3 y x25x 3 4m 3m 5m 4m 2m 4m 2m y x25x 31b3c.2222m1 ( 7 ,27) y3 x 23x 23 x 23 2m 16 m 10m 33 y3 y3 (0, 3)23 x 22 4 16y3 (0,3) ( m, 3) A( 1 m,0) B(1 m,0) ( m, 3) D( 1 m,0) E(1 m,0) AB1AE 2 AB2 AE 2 m 13 a 1 1 ( x 1)(x 3) 1 2 3y x x 233 2 2 2 2y1 x2 x 31( x 1)2 2 6 2 2 2 6 2 2 2 24 2 6 ( 2 61,0) (2 6 1,0)2 22S1(DFAC ) AD16 1(DF6 2) 2 2 16 2 2 S1(CF AD ) AC 162221(CF 2 2)6 2 1622 2 (17 ,16 ) ( x, 1 x 2 x3 ) ( 1 x 2x3) 6 5 x233 3322 22FMCN1(x 1)(x 3)8112 2bc 0, 2yx 2 bx c y x 2 bx cAM DNx 14228 4bc 6.y1 x2 2x 6 y1 22x 6 PH HF tan F6 3 9 (2, 9 3m 3m 3m12 2 x4 2 )m 22 (2, 93 n 2 3(2, 9 DPE3tan DPE 0.43 a 2 c 0, a1, 2) n22 2 2) tan 7c3. c3.tan DPE3PDHPH 3S 梯形 BDEP1(BDEP) PH24BCOA124” 24”tan7DH72BDOB 3a b c 2,3 b 7c 0 y3 x 2 7x y1 1 x) M ( x, 3 x 27 x)c 0,ax ( x, 4a 2b c 1.22222 2 2 22( 3 x 2 7x)1x x 12 x 2 2 P(2 ,1) FG1OG 1(1 m) S OFG1(1 m) 22223 3 3224HG1A'G1(2 m) 11m OHOG HG (1 m) (11m)3 m22222OK4 OH4 3 m 2m EK1OKm SOEH1OH EK 1 3m m 3 m 233 222 2 24SSOFGSOEH1 (1 m)23 m 2 1 m 2 1 m 1 1 (m 1 )2 3 m 1 3 y1 x442 2 42 2 8 2 82F ( a, 1a) 3a H (3a3,0) 2a2 24”22ya( x 4) 2 k 4a k 0,a 1, y (x 4)2 4 x 28x 1216a k12. k 4.yx 2 8x 12(x 2)( x 6) ( x 4)2 (2 x 4)236 x 2 2 4 PM 2t5 5 5PH MH t P 'G 2t 4 PH t NH1PH1t MN3t S 1 3 t t 3 t 222222224S △ P' DC2t 433339P' GS △P ' DC24) 2 S2(2t 4) 2 212t 12△PHtt(2t 4 t 44 tS PMN44y1 x2 8 ( x, 1 x 2 8) 1x 2x 2+( 1 x 28 6)2x 2+( 1x 2 2) 2( 1 x 2 2) 2 1 x 228 8 8 88881OD ( x P ) 3x 1OE y P1 x2 16 3x 1 x 2 16 12 1 x 2 3x 4224441( x 6) 213 1 21312 8a a3y3(x2)( x4)32333 34( x6)88 8xx5 544 1QH 1 3t) 3 9 2 9911 32)( x 4))KE COBP (6 t (t 1)10 10 ( ,0) ( x, (xDE BO2 2 5 10 2 832)( x 4)( x327 159 933338(1,x 2x 3) yx 3 ( x,3)94) (3,8 )10 4(x,44xx88421 x 212c( 3x 3) ( 3 x 23x 3)3 x 2 3 x 1 4( 3 x 2 3x) 9 y bx c c4848228 2 422y1 x2 (c 1)x c 1(x 1)(x 2c) (x, 1( x 1)(x 2c)) x1 ( x1)(x 2c)2 2 2 2x 1 2c E(1 2c,1 c)EHCO 1 c 1 c2c 3c c1 y 1 x23 x 2 y 1 x 2DHDO 2c 22 2 2 2P(m, 1m 23 m 2) F (m, 1m 2) FP1 m2 2m22 221FP( x B x C ) 2FP m 2 4m(m 2)2 421” 21”2S 梯形 PB 'OD1 DO(B 'O PD ) 1 x(2 x 2 x 2) 1 x3 1 x 22x1 2 1 2 1 3 2 2S PDBDB PD (2 x)( x 2 x 2) x 3 x 2 22 2 2 2 11S 四边形 PB'A'DS 梯形 PB 'OD S PDBx 2 2x+2 S PB'OB ' O x P 2x x1122S PBO BO y P 2( x 2 x 2) x 2x 2 S 四边形 PB' A 'D S PB'O S PBOx 22x+22 2y 1 1 y 1 1 AE 5 sin AEO 2 5 sin ACP 254a 2b 3 0,a1x x 5516a4b322 23.b1P(m, 1m 21 m 3) C(m, 1 m 1) PC ( 1m 1) ( 1 m 2 1 m 3) 1 m 2 m42 2 22 2 2 22PD PC sin ACP 2 5PC2 5 5 ( 1 m 2 m 4)5(m 1)2 9 5 5 9 5 m 5 525 52m32 DN PD cos PDN PD cos ACP5 2 5 ( 1 m 2 m 4) 1 ( m 2)(m 4)95 5 251( m 2)(m 4)95 1(m 2)( m 4)10(4 m) m32 ymP( p, p 1)5(4 m) m2 5 9910xy m y m ymy kx bk b 0, k 1, y x 1 P( p, p 1) y x 12k b 1.bx xx1.2 (2)4 ( x 1)2113x113p113 2( 2 4 2 x xx222x)( x 1)xxxx 15 x1 5 p 15y1 x b 1A CA C 25”22221 1 1y1 x b 1OE OC1 2b 1 b y 1 x b y 1 x b (3, b3) b 3 5 b2 2 2 2 2 2 2 21 3 1 51 25 A C5 5 5 BN 33(b)(b)(52b)1(2b 2)bb222 2221 14 4 3 CNa4 y 4 x 2 8x 4 y 4 x 2 8x 44( x 3)(x 5) 2 5 2 5 31515 1515 1515BN BD 3 BN 3 DN 3 3 AC 15 3 25” CNAD5 CN5 AC8 8 8 53 1BC 1y (5 x)232(1y)2 y 2 x 2 10x 16318 245 x24 x1 5 2225 5 5 55 A' D(24 )2(5 x18)2x214x 25 x214x 25 5 x x x1455555x 2 14 x25 |5 x x | x8655185 115152 52 10A' D( 24 )2( 11 ) 22425 255 tan A1tan A425” 25”5101002 3QP5 QP512m 2m 3 5AP2AH12 5 QP OP y 3 y92tan A2m54m5PO PA 3x x2PD1PO 3tan Ptan A4QP5r O 3 r QP5QM 5 r QO5QM5 r2 232Q2 222(5r )2 (3 r )2( 5)2r 9r O 3 r Q QP 5 QM r 5 (r 5)2(r 3)2(5)211OM 12211 2 2 2233AN 3OH OM 1 6 2 6 2 6 2 6 2 a a(6 2 a) ( a 3 2) 2 18 3 2 3 2AHAN 32( x D x P )2( x D x Q ) 2(2x Dx P x Q ) 2(4 n 2 5n 2n)2( n 2)26 26 2 3 54a4a3a a 1 b3 y1 x3x 2 1(x3) 25 C(3, 25) OA OD 3222 22222 22828ODOB225 41 y25 y2539 3253 959541 AEAF888C ( ,)B'( ,) ( ,)xC '158 2 828 2 82 8 2 8 C 'E B''F12x C '93 3 93 15 15 AO BO 2 4 (8,1) 53 A'OA ' O ' m 2 m8 E'(8,1) 82 282 41 41 OE OA OE2 7BOE''O' 4 7 7 724” 24” y1 x2 x 4 22①当 BC ＝ 1 时，直接写出矩形ABCD 的周长；②设动点 A 的坐标为 ( a , b ) ，将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长能否存在最大值，假如存在，求出这个最大值，并求出此时点A 的坐标；假如不存在，请说明原因．动感体验请翻开几何画板文件名 “ 15 呼和浩特 25”，拖动点 A 在 x 轴下方的抛物线上运动， 察看 L 随 a 变化的图像，能够体验到，有两个时辰， L 获得最大值，这两个时辰的点 A 对于抛物 线的对称轴对称．思路点拨1．先用含 a 的式子表示线段AB 、 AD 的长，再把L 表示为a 的函数关系式．2．点A 与点D 对于抛物线的对称轴对称，依据对称性，点 A 的地点存在两个状况．满分解答（ 1）因为抛物线22经过原点，所以 2y ＝ x ＋(2 m － 1) x ＋ m － 1 m － 1＝0．解得 m ＝± 1。