安徽省皖南八校2019届高三第二次(12月)联考数学理试题

“皖南八校”2019届高三第二次联考

数学（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.为虚数单位，，若为实数，则实数

A. -1

B.

C. 1

D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意，根据复数的运算法则，求得，再根据复数的概念，即可求解.

【详解】由题意，可得

，有，故选C.

【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算法则，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2.已知集合，，则

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意，求得，进而根据补集的运算，即可得到答案.

【详解】由题意，可得，，则，故选A.

【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解全集和熟记集合的补集的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.

【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大

正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.

【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.

4.已知为等差数列，若，则

A. 18

B. 24

C. 30

D. 32

【答案】B

【解析】

【分析】

数列为等差数列，由，可得，进而又由，代入即可求解.

【详解】由题意，数列为等差数列，且，可得，

则，故选B.

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理运算求解是解答的关键，体现了等差数列的基本量的运算问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5.如图，在中，，，，则的值为

A. -4

B. -3

C. -2

D. -8

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意把转化为、求解即可.

【详解】因为，，，

所以

,

故选D.

【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题.

6.已知函数，则不等式的解集是

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，

又由，即函数定义域上的奇函数，

又由不等式可转化为

即，即，解得，

即不等式的解集为，故选C.

【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三视图可判断出P,Q点的位置，然后利用侧面展开图求PQ间距离，比较不同展开图得到的距离即可求解.

【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q位置如图：

沿EF展开，计算,沿FM展开，计算,

因此点到点的路径中，最短路径的长度为.

故选D.

【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.

8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小

时，函数图像的一个对称中心的坐标是

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意，根据函数的图象变换和三角函数的性质，求得，得出函数的解析式，由此可求解函数图象的一个对称中心的坐标，得到答案.

【详解】由题意，将函数的图像向左平移个单位，可函数的解析式为

，

又由函数的图像关于轴对称，则，即，

解得，当时，，

此时函数，令，当时，，

所以函数图象的一个对称中心的坐标是，故选D.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换和三角函数的图象与性质，确定的值是解答

本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

如图所示，三棱锥中，，

则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，

△BCD是等腰直角三角形，则，

综上可得，三棱锥的体积的最大值为.

本题选择A选项.

点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．

10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为