高级运筹学题集及答案

. ..页脚. 1. 假设有一百万元可以投资到三支股票上，设随机变量iR表示投资到股票i上的一元钱每年能够带来的收益。通过对历史数据分析，知期望收益1()0.09ER，

2()0.07ER，3()0.06ER，三支股票的协方差矩阵为0.200.030.040.030.200.050.040.050.15。假设

使用股票涨跌稳定性来评测风险，试构建优化模型，在保证期望年收益率不低于0.075的情况下，风险最小，同时表示为非线性优化的向量形式。 解：设123(,,)TXxxx，其中123,,xxx分别表示投资组合中123,,RRR的所占的比例，

有 1231xxx ……① 保证期望收益率不低于0.075： 112233()()()0.075xERxERxER ……②

建立如下优化模型： 222123121323min()0.200.200.150.060.080.10fXxxxxxxxxx

..st 1231xxx

1230.090.070.060.075xxx

123,,0xxx

记：0.200.030.040.030.200.050.040.050.15A 表示成向量形式： min()TfXXAX

..st 1111TX



0.090.070.0750.06TX



123,,0xxx 2. 用伪算法语言描述“成功-失败”搜索方法。 解：1s：初始化：

0x

, h,ε>0 . ..页脚. 2s：x=0x；

1f=f(x)

3s：2f=f(x+h)

4s： if 2f<1f go to 5

s;

else go to 6

s;

end

5s: x=x+h;

2f=1f;

h=2h

6s: if ||h

go to 7

s;

else go to 8

s;

end

7s: xx

8s: 4hh;

go to 3

s. □

3. 请简述黄金分割法的基本思想，并尝试导出区间收缩比率φ≈0.618. 基本思想：黄金分割法就是用不变的区间缩短率，来代替Fibonacci法每次不同的缩

短率，因而可以看成是Fibonacci法的近似。 在搜索区间[a,b]内取两点x缩小，直至搜索区间足够小，然后在其内取一点作为最优解的近似。 一维搜索时，在区间内取两对称点1

，'1作为搜多点，并满足：

1= a+(1-)(b-a)

'1

= a+(b-a)

取近似值0.618

证明：设在第k次迭代时的搜索区间为[ka,kb]，

则在区间内取两对称点1k，'1k作为探索点，并满足：

1(1)()kkkkaba ……① . ..页脚. '1()kkkkaba ……②

由于对称性，即： '11kkkkab

在第k+1次迭代中，不妨取收缩区间为'1,kka 这样，收缩率ρ表示为： '1()510.6182kkkkkkkkabababa



 □

4. 请简述牛顿（Newton）法的基本原理，并指出可能会出现的“坏现象”。 基本思想：牛顿法是二阶近似仿照切线法思想，推导出下降方向 11()()kkkkXXHXfX

每次计算 1()()kkkDHXfX，可看成是椭球范数||||kDg下的最速下

降法。 对于正定二次函数，一次可达最优解。一定条件下，具有二阶收敛速度。 坏现象：对初始点的依赖性很大，要求初始点接近极小点。若初始点远离极小点，不能保证收敛，甚至连Newton方向2()1()()()kkfxfx都不一定是下降方向，导

致算法达不到极小点。 □ 5. 叙述Powell算法思想.（方向加速法） 算法思想：又称方向加速法。是在研究正定二次函数的极小化问题时形成的，由于迭代过程中构造一组共个方向，其本质属于共轭方向法。 每一轮迭代过程中由n+1个相继的一维搜索组成，先依次沿着n个已知的线性无关方向搜索，然后沿本轮迭代的初始点和第n次搜索所得点的连线方向搜索，得到这一轮迭代的最好点并作为下一阶段的起点，再用第n+1个方向（最后的搜索方向）代替前n个方向的一个，开始下一轮的迭代。 □ 6. 简述有约束优化时既约梯度法的基本思想。 基本思想：将线性规划的单纯形法推广到带线性约束的非线性问题上。 把线性约束优化问题 min()fX X=b..0AstX . ..页脚. 简化为仅在非负限制下的极小化问题 min()NFX 11X=B0..0BNNbBNXstX







其中，(,)ABN，BNXXX，B为m×m的可逆矩阵，BX为m维的基向量，NX为

n-m维的非基向量。 求出目标函数()

NFX的梯度，此时的梯度是n-m维函数的梯度，称为()fX的既约梯

度1()()[(),]()[(),]NBTNNXBNNXBNNrXFXfXXXBNfXXX。NX沿负既约梯

度方向()NrX移动，可使目标函数值降低。 □

7. 利用罚函数法求解非线性规划的收敛点

122112

21

min()()0.. ()0fXxxgXxxstgXx



分别假设初始可行点满足 1)12()0,()0gXgX； 2) 12

()0,()0gXgX.

解：马良书69页

8. 设()(1,2,)jgXjlL为凸函数，则{|()0,1,2,}jRXgXjlL为凸集。 证明：设 , 0,1xyR，，有 00jjgxgy，， 1,2,,jlL

()(1,2,)jgXjlL为凸函数，则有

11[()]()jjjgxygxgy，1,2,,jlL

两边变号 [()]11()0jjjgxygxgy, 1,2,,jlL

即 1()xyR。R为凸集 □

9. 设2,1,2,kkxkL，则{}kx收敛阶数为1，且线性收敛。 证明：显然，0X。由于 . ..页脚. (1)(1)()00||||21limlim||||22kkkkkkXXXX





所以由收敛定义和α阶收敛知，kx收敛阶数为α=1，且β=1/2知为线性收敛。 □

10. 设1()2TTfXXAXbXc，A是对称矩阵。给定初始点0X，试证明由最速下降

法产生的迭代点列{}

kX有如下公式：

1()()kTkkkkkTkggXXggAg，0,1,2,3,kL

其中kkgAXb。

证明：由数学分析知，在kX的领域中，使()fX下降最快的方向是负梯度方向，取

()()KkPfX ……①

下面确定步长k：

由于()fX为二次函数，故二阶连续可导，作二阶Taylor展开： ()()()()1()()()()()()2kkkkTkkTkfXPfXfXPPAP

令 ()()()()()0kTkkTkdffXPPAPd

可得最优步长为 ()()()()()kTkkkTk

fXPPAP ……②

记()kkkgfXAXb

则

1()()()kTkkkkkkkkTkggXXfXXggAg， 0,1,2,3,kL □

11. 试证在最速下降法中，相邻两次搜索方向必正交，即1()()0kTkfXfX

证明：设第k步的步长为k，梯度为kP，则有第k+1步的梯度为

(1)(1)kkPbAX

()()()kkkbAXP

()()kkkbAXAP

()()kkkPAP