高中数学：1.1.2 弧度制 Word版含答案

1.1.2 弧度制课标解读：3．掌握并能运用弧长公式和扇形面积公式．(难点) 知识点1 角度制与弧度制 【问题导思】1．在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？2．在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？1. 角度制与弧度制的定义如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr .知识点2 角度制与弧度制的换算 【问题导思】角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？1．角度与弧度的互化1.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数．(重点) 2．了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．(难点)设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则类型1 角度制与弧度制的互化 例1 将下列各角度与弧度互化． (1)67.5°；(2)112°30′；(3)94π；(4)3.[规律方法]1．在进行角度制和弧度制的换算时，应先将角度制下的含分、秒形式的角化为小数形式并以度为单位后再用公式“π rad ＝180°”换算．2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记． 变式训练1 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′.类型2 用弧度表示终边相同的角例2已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．[规律方法]用弧度来表示终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里α应为弧度数．变式训练2 在本例中，找出在区间[0,5π)上与α终边相同的角．类型3 扇形的弧长、面积公式的应用例3已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[规律方法]1．弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径r 和扇形圆心角弧度数α，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解．2．本例面积的最值问题是通过转化为面积关于r 的二次函数问题解决的，这种方法是此类问题常用的方法．变式训练3 已知扇形周长为5，面积为1，求扇形圆心角的弧度数.易错易误辨析 因角度制与弧度制混用而出错典例 将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． 【错解】 因为－1 485°＝－4×360°－45° ＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°化为2k π＋α形式应为－10π＋315° 【答案】 －10π＋315°【错因分析】 只考虑了将－1 485°写成了“2k π”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度在同一表达式中必须统一形式，这是初学者极易犯的一个错误．【防范措施】 在同一式子中，两种单位不能混用，如45°＋2k π(k ∈Z )与k ·360°＋π6都是不允许的．表示角时，要么全用角度制，要么全用弧度制． 【正解】 由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.【答案】 －10π＋74π课堂小结1．明确1弧度的含义是掌握本节问题的关键．2．弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可． 3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆．4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.当堂双基达标1．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 2.3π5弧度化为角度是( ) A ．110° B ．160° C ．108°D ．218°3．把22°30′化为弧度的结果是________．4．已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积．参考答案知识点1 角度制与弧度制 【问题导思】 1．【提示】 1度． 2．【提示】 确定．1. 度 半径长 圆心角 弧度 弧度 知识点2 角度制与弧度制的换算【问题导思】 【提示】 利用1弧度角的定义进行换算． 1．2π 360° π 180° 0.017 45 57.30° 知识点3 扇形的弧长及面积公式 αR课堂互动探究类型1 角度制与弧度制的互化例1 【解】 (1)67.5°＝π180rad×67.5＝3π8rad.(2)112°30′＝112.5°＝π180rad×112.5＝5π8rad.(3)94π rad ＝94×180°＝405°. (4)3 rad ＝3×(180π)°＝57.30°×3＝171.90°.变式训练1 【解】 (1)512π rad ＝512×180°＝75°；(2)－76π rad ＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180 rad ＝－78π rad.类型2 用弧度表示终边相同的角例2 【解】 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，所以α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤r ＜0，∴当k ＝－3时，r ＝－296π；当k ＝－2时，r ＝－176π；当k ＝－1时，r ＝－56π.变式训练2 【解】 与α终边相同的角可以写为β＝7π6＋2k π(k ∈Z )， 由0≤β＜5π得0≤7π6＋2k π＜5π，∴－712≤k ＜2312，又k ∈Z ，∴k ＝0,1. 当k ＝0时，β＝7π6，当k ＝1时，β＝19π6.类型3 扇形的弧长、面积公式的应用例3 【解】 设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S . 则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)．∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2(rad)．∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为25 cm 2.变式训练3 【解】 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝5，12lr ＝1，①②解得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝12，l 1＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2，l 2＝1.，所以θ＝8 rad ＞2π rad(舍去)或θ＝12 rad.当堂双基达标1．D【解析】 根据弧度制的定义知D 项正确． 2．C 【解析】 3π5＝35×180°＝108°. 3．π8【解析】 22°30′＝22.5°＝22.5180π＝π8. 4．【解】 设扇形弧长为l ，∵72°＝72×π180＝2π5 (rad)，∴l ＝|α|r ＝2π5×20＝8π(cm)． ∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2).。

[导入新知]
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α 为其圆心角，则
α 为度数
α 为弧度数
扇形的弧长 παR l＝ 180
扇形的面积
παR2
S＝ 360
l＝ αR
1 S＝ 2lR
＝ 12αR2
[化解疑难] 扇形的弧长及面积公式的记忆
(1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的 变形：|α|＝rl⇔l＝r|α|.
(2)扇形的面积公式 S＝12lR 与三角形的面积公式极为相 似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．
[例 1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－29π. [解] (1)72°＝72×1π80＝25π； (2)－300°＝－300×1π80＝－53π；
(3)2＝2×1π80°＝3π60°；
(4)－29π＝－29π×1π80°＝－40°.
[类题通法]
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝ 180°是关键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度 数×1π80＝度数．
[活学活用] 已知 α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－π3. (1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角； (2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出 与它们有相同终边的所有角．
故扇形的面积 S＝12rl＝12×2×4＝4 cm2.
[答案] 4 cm 2 (2)[解] 设扇形的弧长为 l，由题意得 2πR＝2R＋l， 所以 l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是Rl ＝2(π－1)， 扇形的面积是12Rl＝(π－1)R2.

(4)与角4750 终边相同的角的集合是
S { | 4750 k 3600 , k Z}
S中适合－3600≤ β<3600 的元素是
4750 3600 1150; 4750 2 3600 2450
一、复习回顾
1、弧度制
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，用符号 rad 表示，读作弧度
第三象限，经过14分钟回到原来的位置，求角。
解： 0 ， 0 2 2，
点A经过2分钟到达第三象限， 2 < 3 ，
< 3 ，①
2
24
点A经过14分钟回到原来的位置,
14 2k , k Z, 即 k , k Z, ②
7
联立①②，可得 7 k 21 , k Z, k 4, 5,
3
3
3
不等式法
三、例题分析
例1、已知是第三象限角，那么 是第几象限角？
3
y
④ ①
③
②
②
①
③
O④x
④① ② ③
几何法
二三、例题分析
例1、已知是第三象限角，那么 是第几象限角？
3
角 的终边所在象限的判断：
n (1)不等式法(用于严谨的说明——解答题)； (2)几何法(作为初步判断方法——客观题).
D 体验：已知α是第三象限角，那么α/2是( )
2、弧度制与角度制的换算：1800 rad
10 rad;
180
1 rad (180)o;
3、弧度数的计算公式：| | l
R
4、扇形的面积计算公式：S 1 R2 1 lR
2
2
二、课堂练习
1、用弧度表示 (1)终边在x轴上的角的集合

1.1.2弧度制1．2弧度的角所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵π2＜2＜π，∴2弧度的角是第二象限角． 答案：B2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍解析：根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长与半径的比，故选B.答案：B3．将1 920°转化为弧度数为( )A.163 B.323 C.16π3 D.32π3解析：1 920°＝1 920×π180＝32π3. 答案：D4．已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是________．解析：∵R ＝16，α＝2 rad ，∴l ＝α·R ＝16×2＝32.答案：325．若扇形的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，由已知条件可知⎩⎪⎨⎪⎧ 12lR ＝1，2R ＋l ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2，R ＝1，所以扇形的圆心角度数为l R＝2.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。