现代控制理论试卷答案
与解析
文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
现代控制理论试卷作业
一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流
11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明
参考方向）。
解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。
以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：
从上述两式可解出1x •，2x •
，即可得到状态空间表达式如下：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-211212110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+2120 二、考虑下列系统：
（a ）给出这个系统状态变量的实现；
（b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。
解：（a ）模拟结构图如下：
则可得系统的状态空间表达式：
（b ） 因为 3023A -⎡⎢=⎢⎢⎣ 0013 k k a -⎤⎥-⎥⎥-⎦ 110b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0
所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。
综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。
三、已知系统.
Ax x =•的状态转移矩阵为：
（1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。
（2）已知A 求At e ，以下采用三种方法计算At e ，并对计算结果进行讨论。 解：（1）利用书上P53状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有
A t t A t )()()(φφφ==• 即
A e Ae e dt
d At At At == 当t=0时 I =)0(φ I =-)0(1φ 验证At
e ：（利用P59的公式（2-24）来验证）
解得：221-==λλ，13-=λ，有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理，非重根部分的i a 仍按公式（2-23）计算。
且2210A a A a I a e At ++=
所以：==At e t )(φ
四、有两个能控能观的单输入—单输出系统：
1S ：111104310u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=• []1112x y = 2S ：2222U x x +-=• 22x y =
（1）按图把1S 、2S 串联，针对[]12x x x =推导状态方程。
（2）判断以上系统的能控性和能观性。
（3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。
（4）求1S 、2S 及串联系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。
解：（1）
所以 221122x A x C B x +=•
因而 u B x x A C B A x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡••001212121
21 得状态方程: u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=•010********* （2） A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--212043010 b=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡010 所以 [b M = Ab ]
⎢⎢⎢⎣⎡=0102b A 111- ⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤--0104194 041- ⎥⎥⎥⎦⎤-0194 32)(<=M rank 所以该系统不能控。
所以 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4412121002A C CA C N 3)(=N rank 所以 该系统是能观的。
（3）
所以u x u B x A C B A x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=•1002001430100022211 所以 []
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==4216101002b A Ab b M 3)(=M rank 所以此时该系统能控。
而⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00027001241161230122CA CA C N
32)(<=N rank 所以此时该系统不能观。
（4）[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-==--1043112)()()()(1
1111s s d B A sI C s U s Y s w []⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=10314341122s s s s =[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+103
14123412s s s s 当1S 、2S 按照（2）的连接方式串联时，3
41)()()(221-+=
=s s s w s w s w 当1S 、2S 按照（2）的连接方式串联时，341)()()(212-+==s s s w s w s w 由上边的传递函数结果可知，当子系统串联时，颠倒其先后次序，虽然传递函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。
五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解：
解：（a ）能控性分解：
121010143A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，001b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
所以 []
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==8310004102b A Ab b M 2)(=M rank ，故该系统不能控。
构造非奇异矩阵
010001130C R -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******C R （b ）能观性分解：
所以 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4742321112A C CA C N 32)(<=N rank 所以该系统不能观。
