全等三角形典型例题培优版(含详解)绝对经典

全等三角形典型例题培优版

【例题精选】： 例1：已知：如图，过∆ABC 的顶点A ，作AF ⊥AB 且AF=AB ，作AH ⊥AC ，使AH=AC ，连结BH 、CF ，且BH 与CF 交于D 点。

求证：（1）BH=CF （2）BH ⊥CF

分析：从图中可观察分析，若证BH=CF ，显然，若能证出∆ABH ≌∆AFC ，问题就能解

决。从已知看，已经知道AF=AB ，AC=AH 。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，∠BAF 和∠HAC 都是直角。而图中的∠

BAC 显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。 证明：

（1）∵AF ⊥AB ，AH ⊥AC ∴∠BAF=∠HAC=90︒

∴∠BAF +∠BAC=∠HAC +∠BAC ∴即∠F AC=∠BAH

在∆ABH 和∆AFC 中

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AB AF BAH FAC AH AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪已知已证已知 ∴∆ABH ≌∆AFC （边角边）

∴BH=FC （全等三角形对应边相等） （2）设AC 与BH 交于点P

在∆APH 中 ∵∠HAP=90︒

∴∠2+∠3=90︒（直角三角形中两个锐角互余） ∵∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∠3=∠4

∴∠1+∠4=∠2+∠3=90︒ 在∆PDC 中 ∵∠1+∠4=90︒ ∴∠HDC=90︒

∴BH ⊥CF

例2：已知，如图：BD 、CE 是∆ABC 的高，分别在高上取点P 与Q ，使BP=AC ，CQ=AB 。

求证：AQ=AP

分析：从要证的结论AQ=AP ，只有在∆ABP 和∆QCA 中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC 、CQ=AB ，也就是这两个三角形中

已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出∠1=∠2？再分析已知条件，不难看出，既然BD 、CE 都是高，就有∠BDA=∠CEA=90︒，这样就可看出∠1和∠2都是∠BAC 的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2，这样问题就可以迎刃而解了。 证明： ∵BD ⊥AC 于D CE ⊥AB 于E ∴∠BDA=∠CEA=90︒

∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90︒ ∴∠1=∠2

在∆ABP 和∆PCA 中

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AB CQ BP AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪已知已证已知12 ∴∆ABP ≌∆QCA （边角边）

∴AQ=AP （全等三角形对应边相等）

例3：已知：如图，OA=OB 、OC=OD 求证：AE=BE

分析：从要证明的结论AE=EB 看，我们不难看出，应当在∆ADE 和∆BCE 中去寻找答案，而要证明∆ADE ≌∆BCE ，比较明显的有一

组对顶角相等，即∠AED=∠BEC ，另外可以通过等式性质得到，OA －OD=OB －OC ，即AD=BC ，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE 上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出∠A=∠B （或∠ADE=∠BCE ），∠A=∠B 除了是∆ADE 和∆BCE 的对应角外，它们还是∆AOC 和∆BOD 的对应角，只要∆AOC ≌∆BOD ，那么就可以推出∠A=∠B ，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下∆AOC 和∆BOD 全等条件够吗？ 证明：

在∆AOC 和∆BOD 中

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OA OB O O OC OD =∠=∠=⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪已知公共角已知 ∴∆AOC ≌∆BOD （边角边）

∴∠A=∠B （全等三角形的对应角相等） ∵OA=OB （已知） OC=OD （已知） ∴AD=BC （等式性质）

在∆ADE 和∆BCE 中

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∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪A B AED BEC AD BC 已证对顶角相等已证 ∴∆ADE ≌∆BCE （角角边）

∴AE=BE （全等三角形对应边相等）

同学们自己动手试一试，可不可通过证明∠ADE=∠BCE 来证明∆ADE ≌∆BCE 呢？ 例4：已知：如图，AD ∥BC ，AE 、BE 分别平分∠DAB 和∠CBA ，DC 过点E 。求证：AB=AD +BC

分析：从要证明的结论AB=AD+BC 上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB 边上截一段等于AD （或BC ），利用角平分线的条件证全等。

证明（一）： 在AB 上截AF=AD ，连结EF

在∆A DE 和∆AFE 中

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AD AF DAE FAE AE AE =∠=∠=⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪已作已知公共边 ∴∆ADE ≌∆AFE

∴∠D=∠AFE （全等三角形对应角相等） ∵AD ∥BC （已知）

∴∠D+∠C=180︒（两直线平行，同旁内角互补）

又∵∠D=∠AFE （已证） ∴∠BFE=∠C （等角的补角相等）

在∆BFE 和∆BCE 中

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∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪BFE C FBE CBE BE BE 已证已知公共边 ∴∆BFE ≌∆BCE （角角边） ∴BF=BC ∴AB=AD+BC

证明（二）：

延长AE 、BC 交于点F 。

∵AE 、BE 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线。

又∵AD ∥BC

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180︒（两直线平等，同旁内角互补） ∴∠2+∠3=90︒ ∴∠AEB=90︒ ∴∠BEF=90︒

在∆ABE 和∆FBE 中

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∠=∠=∠=∠=︒⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪3490已知公共边已证BE BE AEB BEF ∴∆ABE ≌∆FBE （角边角） ∴AB=BF AE=EF

在∆AED 和∆FEC 中

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∠=∠=∠=∠⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪1F AE EF AED FEC 两直线平等，内错角相等已证对顶角相等 ∴∆AED ≌∆FEC ∴AD=FC

∴AB=AD+BC （等量代换）

例5：已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD 、CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D =180︒。

求证：AE=AD+BE

分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC 是角平分线，所以在AE 上截AF=AD ，连结FC ，可证出∆ADC ≌∆AFC ，问题就可以得到解决。

证明（一）： 在AE 上截取AF=AD ，连结FC 。

在∆AFC 和∆ADC 中

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AF AD AC AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪已作已知公共边12

∴∆AFC ≌∆ADC （边角边）