第一课时圆周角定理及其推论1

与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可 以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线 段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．
1.如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点
O(0,0)，B 是 y 轴右侧⊙A 弧上一点，则
cos∠OBC 的值为
()
A.12
B.
3 2
解：∵ AB＝ AC ， ∴∠ADB＝∠CDE. 又∵ BD＝ BD，∴∠BAD＝∠ECD. ∴△ABD∽△CED. ∴ACDD＝BEDD， 即63＝E5D. ∴ED＝2.5 (cm)．
3.如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它 的外接圆于点 E. (1)证明：△A B E ∽△A DC； (2)若△ABC 的面积 S＝1AD·AE， 2 求∠BAC 的大小． 解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
C.3
D.4
5
5
解析：法一：设⊙A与x轴另一个交点为D，
连接CD，如图所示．
因为∠COD＝90°，
所以CD为⊙A的直径．
又因为∠CBO 与∠CDO 为圆弧 CO 所对 的圆周角， 所以∠CBO＝∠CDO. 又因为 C(0,5)， 所以 OC＝5. 在 Rt△CDO 中，CD＝10，CO＝5， 根据勾股定理得 OD＝ CD2－OC2＝5 3. 所以 cos∠OBC＝cos∠CDO＝OCDD＝5103＝ 23，故选 B.
利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周 角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时需添加辅助线 构造等弧、等角、等弦的条件．
[例2] 如图，已知BC为半⊙O的直径， AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于点E，且AE＝ BE.

2.生生互动：组织学生进行小组讨论，让他们相互分享解题思路和方法，提高合作能力。此外，设计一些小组竞赛活动，激发学生的学习积极性，培养他们的团队精神。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一幅美丽的圆形喷泉图片，引导学生观察并思考：为什么喷泉的水流会呈现出圆形？这与我们今天要学习的圆周角有什么关系？
这些媒体资源在教学中的作用是：直观展示几何图形，降低学生的认知难度；激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性；丰富教学手段，提高教学效果。
（三）互动方式
为促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，我将鼓励学生积极发言，及时给予肯定和鼓励，营造轻松、愉快的课堂氛围。同时，针对学生的疑问，给予耐心解答，引导他们深入思考。
在整个课程体系中，圆周角定理及推论处于几何模块的圆部分，是圆的基本性质和定理之一。在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的对称性以及圆的弦、弧等相关知识。本节课的主要知识点包括：圆周角的定义、圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质等。
（二）教学目标
1.知识与技能目标：
（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
1.学生在理解圆周角定理的证明过程时可能存在困难。
2.部分学生对几何图形的空间想象能力较弱，影响解题效果。
3.课堂时间有限，可能无法充分满足所有学生的学习需求。
为应对这些问题，我将在课堂上增加师生互动，及时解答学生的疑问，并通过实际操作活动，培养学生的空间想象能力。课后，我将通过作业完成情况、课堂表现和学生反馈来评估教学效果。
4.数学游戏：设计一些与圆周角相关的数学游戏，让学生在游戏中学习，提高他们的学习积极性。

24.1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论圆周角是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的．本节课所要探索的知识在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛，所以这一节既是前面所学知识的继续．又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁．【情景导入】如图，过球门A，E两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B，C，D有关(张开的角度大小)．仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？【说明与建议】说明：通过情景，激发学生的学习兴趣．建议：老师可引导学生通过实践操作探索射门的角度大小之间的关系．【复习导入】(1)如图①，∠AOB是圆心角，顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等．(3)观察图②，发现∠ACB的顶点不在圆心，在圆周上，你知道∠ACB这一类角的名称吗？①②③④⑤(4)观察图③④⑤，你能发现在同一个圆中，圆周角的度数与相应的圆心角的度数有什么关系吗？【说明与建议】说明：通过复习圆心角的概念及圆心角、弧、弦之间的关系定理，类比学习圆周角的概念及圆周角定理．建议：在探索圆周角定理时，可以通过画出同弧上的圆周角和圆心角，经过测量得出它们之间的关系，思考如何证明．教师可从特殊情况入手引导学生，学生以小组合作的方式分组讨论．命题角度1 圆周角定理1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，求∠C 的度数．解：∵OA ＝OB ，∠ABO ＝25°， ∴∠BAO ＝∠ABO ＝25°. ∴∠AOB ＝130°. ∴∠C ＝12∠AOB ＝65°.命题角度2 圆周角定理的推论2．如图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径，AD ＝2，∠B ＝∠DAC ，则AC ＝1．3．如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°，求∠ADC 的度数．解：∵⊙O 中，OA ⊥BC ， ∴AB ︵＝AC ︵.∴∠ADC ＝12∠AOC ＝12∠AOB ＝12×50°＝25°.【课堂引入】问题1：如图，同学甲站在圆心O处，同学乙站在点C处，他们的视角(∠AOB 和∠ACB)有什么关系？问题2：同学丙、丁分别站在点D，E处，得到的视角分别是∠ADB，∠AEB.这些视角中哪些是圆心角？其他各角具备什么共同特征？从而引出圆周角的定义，并会判断一个角是不是圆周角．师生活动：教师演示课件或图片，展示一个圆柱形的海洋馆，接着出示海洋馆横截面示意图引出新课圆周角的定义，学生比较圆周角与圆心角，从而进一步理解圆周角的定义.【探究1】(1)同弧所对的圆心角和圆周角的大小关系是怎样的？ (2)同弧所对的圆周角的大小关系是怎样的？师生活动：教师提出问题，引导学生利用测量工具动手试验，发现结论；教师组织学生先自主探究，再小组合作交流，按照圆周角在圆中的位置特点分情况总结出探究的方案． 【探究2】(1)当圆心O 在圆周角∠ABC 的一边BC 上时，如图1所示，∠ABC ＝12∠AOC吗？(2)当圆心O 在圆周角∠ABC 的内部时，如图2所示，∠ABC ＝12∠AOC 吗？(3)当圆心O 在圆周角∠ABC 的外部时，如图3所示，∠ABC ＝12∠AOC 吗？图1 图2 图3师生活动：教师引导，学生写出已知、求证，并完成证明． 通过试验得到：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 根据得到的上述结论，证明同弧所对的圆周角相等．得到：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 问题：将上述“同弧”改为“等弧”结论会发生变化吗？ 总结归纳出圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【探究3】如图，半圆所对的圆周角是多少度？90°的圆周角所对的弦是哪条？师生活动：学生根据圆周角的性质进行分析、讨论，教师引导总结． 通过分析，继而得到圆周角定理的推论2：【典型例题】例1如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC大小为60°．例2如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC＝60°，则∠CDB＝(B)A．20° B．30° C．40° D．50°例3(教材第87页例4)如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．解：连接OD.∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝102－62＝8(cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝BD＝22AB＝22×10＝52(cm)．【变式训练】1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO ＝30°．2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．若∠ACO ＝32°，则∠B ＝58°.【课堂检测】1.下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂于于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等．其中正确的有(B)A ．①③B ．①④C ．②④D ．①②④2．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，则圆周角∠BAC 的度数为50°．3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆O 上的两点．若∠CDB ＝35°，则∠ABC的度数为55度．4．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D.若OD ＝5 cm ，则BE ＝10cm.。

4 圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及推论11.如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B 等于( C )(A)30°(B)35°(C)40°(D)50°2.(2019黄石模拟)如图,A,B,C在☉O上,∠C=20°,∠B=50°,则∠A 等于( C )(A)20°(B)25°(C)30°(D)40°3.如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,B是的中点,M是半径OD上任意一点.若∠BDC=40°,则∠AMB的度数不可能是( D )(A)45°(B)60°(C)75°(D)85°4.如图,☉O的半径为5,AB为弦,点C为的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为( D )(A)(B)5 (C) (D)55.(2019房山区一模)如图,点A,B,C在☉O上,若∠CBO=40°,则∠A 的度数为50°.6.如图,点A,B,C,D在☉O上,=,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB= 70°.7.已知:如图,E为的中点,点A在☉O上,AE交BC于点D.求证:BE2=AE·DE.证明:因为E为的中点,所以=,所以∠EBD=∠EAB.又因为∠E=∠E,所以△BED∽△AEB.所以=,所以BE2=AE·DE.8.如图,AB是☉O的一条弦,OD⊥AB,垂足为点C,交☉O于点D,点E,F 在☉O上.(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;(2)若CD=2,AB=8,求tan∠AFB的值.解:(1)如图,连接OB,因为OD⊥AB,所以=,所以∠BOD=∠AOD=52°,所以∠DEB=∠BOD=26°.(2)设OA=OD=r,则OC=r-2,因为OD⊥AB,所以AC=AB=4,=,所以∠AOC=∠AOB,在Rt△AOC中,OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r-2)2,解得r=5,所以OC=3,因为∠AFB=∠AOB=∠AOC,所以tan ∠AFB=tan ∠AOC==.9.如图,点A,B,C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形, OF⊥OC交圆O于点F,则∠BAF等于( B )(A)12.5°(B)15°(C)20°(D)22.5°10.如图,将☉O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是☉O上的一点(点A,B除外),则∠APB的度数为( D )(A)45°(B)60°(C)120° (D)60°或120°11.如图,AB是☉O的一条弦,点C是☉O上一动点,且∠ACB=30°,点E,F分别是AC,BC的中点,直线EF与☉O交于G,H两点,若☉O的半径为6,则GE+FH的最大值为9 .12.(拓展探究题)如图,AB,AC是☉O的两条弦,M,N分别为,的中点,MN分别交AB,AC于E,F.判断三角形AEF的形状并给予证明. 解:△AEF是等腰三角形.理由如下:如图,连接MC,BN,因为M为的中点,所以=,所以∠C=∠N.因为N是的中点,所以=.所以∠B=∠M,因为∠AEF=∠B+∠N,∠AFE=∠M+∠C,所以∠AEF=∠AFE,所以AE=AF.即△AEF是等腰三角形.13.(实际应用题)足球场上有句顺口溜:“冲向球门跑,越近就越好;歪着球门跑,射点要选好”,可见踢足球是有“学问”的.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到点A时,乙已跟随冲到点B(如图,点B在以MN为弦的圆上).此时甲直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好?请你应用本节课学习的数学知识进行分析.解:在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅从数学角度出发对两点的静止状态加以比较,如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点分别对球门的张角大小,当张角较小时,则球容易被对方守门员拦截.如图,连接AM交圆于点C,连接CN,AN,BM,BN.因为∠MCN为△CAN的外角,所以∠MCN>∠A,因为∠MBN与∠MCN对着同一条弧,所以∠MBN=∠MCN,所以∠MBN>∠A,由于乙队员对球门的张角比甲队员对球门的张角大,所以甲队员将球回传给乙,让乙射门比较好.。