专题32 任意角和弧度制
知识点一任意角
1.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（）
A．90°
B．75°
C．82.5°
D．60°
【答案】C
【解析】根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，根据每大格30°即可得到结果.
×30°＝82.5°.
中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是90°－1
4
2.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有（）A．1次
B．2次
C．3次
D．4次
【答案】D
【解析】从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：
①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针.
②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针.
③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针.
综上，共4次.
3.如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（）
A．90°
B．105°
C．120°
D．135°
【答案】B
【解析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9.5，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字.
3×30°＋15°＝105°，∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°.
4.400°角终边所在象限是（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】400°＝360°＋40°，
∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限.
5.给出下列四个命题：
①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；
对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；
对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；
对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.
6.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是（）
A．－α为第二象限角
B．180°－α为第二象限角
C．180°+α为第一象限角
D．90°+α为第四象限角
【答案】B
【解析】若α是第三象限角，则360°·k＋180°＜α＜360°·k＋270°；则360°·k＋90°＜－α＜360°·k＋180°，360°·k＋270°＜180°－α＜360°·k＋360°此时为第四象限角.
7.终边与x轴重合的角α的集合是（）
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝k·90°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
【答案】B
【解析】设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α＝k·360°＝2k·180°，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α＝2k·180°＋180°＝（2k＋1）·180°，其中k∈Z，综上
所述：α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}.
8.若角α满足α＝k·120°＋30°（k∈Z），则α的终边一定在（）
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非负半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当k＝3n，n∈Z时，α＝n·360°＋30°，为第一象限角；
当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝n·360°＋150°，为第二象限角；
当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝n·360°＋270°，为y轴非正半轴上的角.
则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.
9.与－457°角的终边相同的角的集合是（）
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
【答案】C
【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.
10.与405°角终边相同的角是（）
A．k·360°－45°，k∈Z
B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z
D．k·180°＋45°，k∈Z
【答案】C
【解析】405°＝360°＋45°，故选C.
11.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当k＝2n时，{α|2n·180°＋45°≤α≤2n·180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k＝2n＋1时，{α|2n·180°＋180°＋45°≤α≤2n·180°＋180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.
12.下列说法正确的是（）
A．小于90°的角是锐角
B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角
C．第三象限的角大于第二象限的角
D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等
【答案】D
