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例5. 求
解: 原式
例6. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式
例7. 求 (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
从而 由(1)
用夹逼准则
e x sin x 1 0 .( ) 例 求 lim 2 x 0 (arcsin 0 x)
解 arcsin x ~ x ( x 0) e x sin x 1 0 原 式 lim ( ) 2 x 0 0 x e x cos x 0 lim ( ) x 0 0 2x x e si n x 1 . lim x0 2 2
特别地 当 F ( x ) x ,
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
柯西中值定理 若函数 f ( x )及F ( x )满足: (1) 在闭区间 [a, b]上连续 ; (2) 在开区间 (a, b)内可导 , 且F ( x ) 0, 则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( ) 柯西定理的下述证法对吗 ?
0 1、 型未定式解法： 0
定理1：设
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .
证明：注意，x = a 有可能是 f (x) 和 F(x) 的间断点 故 x = a 只可能是可去间断点
则有
注意：
（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。
（3） 定理1中
4. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
提示: 设
欲证: 使
只要证
亦即
e 2005
e 2005
作辅助函数 F ( x ) e 2005 x f ( x ) , 验证
上满足 罗尔定理条件.
在
高等数学Ⅰ
第三章
第二节 洛必达法则
定义
0 ( ) 0
0 ( ) 0
( )
( )
0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cos x ) 解 原式 lim lim sin 1. 1 2 x x ) 2 2 (x 2
cos x
cos x 1 x 0 .( ) 例 求 lim 3 x 0 0 x 1 sin x 2 1 x 解 原式 lim . 2 x0 3x
0 ( ) 0
用洛必达法则应注意的事项
0 (1) 只 有 或 的 未 定 式 ,才可能用法则 , 只要是 0 0 或 , 则可一直用下去; 0
(2) 在用法则之前,式子是否能先化简;
(3) 每用完一次法则,要将式子整理化简;
(4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
[e
kx kx f ( x) (e ) f ( x)]x 0
[e
kx
f ( x)]x 0
2. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存 在一点 ( 0 , ) , 使 f ( ) f ( ) cot . 提示: 由结论可知, 只需证
Cauchy 中值定理
这三个定理的条件都是充分条件, 而 不是必要条件. 换句话说, 满足条件, 定理
成立; 不满足条件, 定理可能成立, 也可能 不成立.
应用三个中值定理常解决下列问题
(1) 验证定理的正确性;
(2) 证明方程根的存在性;
(3) 引入辅助函数证明等式;
(4) 证明不等式;
关键 逆向思维,找辅 助函数
(1)
罗尔（Rolle ）定理 如果函数 f ( x )在闭区间 [a , b] ( 2) ( 3) 值相等，即 f (a ) f (b ) , 那末在 ( a , b ) 内至少有一点 (a b ), 使得函数 f ( x )在该点的导数等于零， 即 f ( ) 0
推论 如果函数f ( x ) 在区间I 上的导数恒为零 ,
那末 f ( x ) 在区间I 上是一个常数 .
ba b ba 例 设0 a b, 证明 ln . b a a 证明： 设f ( x ) ln x,
f ( x )在［a, b］上满足拉格朗日中值 定理的条件， 所以， (a, b), 使 f (b) f (a ) f ( )(b a ), 1 因为f ( x ) , 上式即为 x b 1 又0 a b, 故得 ba b ba ln . b a a
例 解：
x3 3 x 2 求 lim 3 . 2 x 1 x x x 1
0 ( ) 0
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2)当 lim 不存在也不为时，应改用他法。 F ( x )
F (b) F (a ) F ( )(b a ) , (a , b)
这两个 不一定相同
错 !
证 作辅助函数
f (b ) f ( a ) ( x) f ( x) F ( x). F (b ) F ( a )
( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 () 0.
(5) 综合运用中值定理(几次运用).
思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足Lagrange定理
3 15 4 . _____
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
设f ( x ) 在[a , b]上连续, 在(a , b )内可导, 且 f (a ) f (b) 0, f ( x ) 0, x a, b. 证 明: f ( ) 对 任意 的 实数 k , 存 在点 (a b), 使 k. f ( ) 分析 要 证 f ( ) k , 即 证f ( ) kf ( ) 0. f ( ) e k f ( ) e k kf ( ) 0
拉格朗日（Lagrange ）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续, 在开区间 ( a , b ) 内可导, 那末在
( 2)
(1)
( a , b ) 内至少有一点 (a b )，使等式
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
即 f () 2[ f (1) f (0)].
四、小结
一个引理、三个中值定理、一个推论； 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值 定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:
罗尔 定理
f (a ) f (b)
推广
Lagrange 中值定理
F ( x) x
推广
则(1) g( x )在[a, b]上连续 ; (2) g( x )在(a, b)内可导 ; (3) g(a ) g(b) 0. 由Rolle 定理 (a, b),使g( ) 0.
即 e k f ( ) e k kf ( ) 0 由于e k 0, f ( ) kf ( ) 0 f ( ) 即 k. f ( )
f (b) f (a ) f ( ) f (b) f (a ) . 即 f ( ) F ( ) 0, F ( b ) F ( a ) F ( ) F (b) F (a )
例
设函数f ( x )在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 : 至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2 [ f (1) f (0)].
换为
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. 定理2 设 (1) lim f ( x ) 0(或 ), lim F ( x ) 0(或 );
x x
(2)当 x N时, f ( x )和F ( x )可导, 且F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim A (或 为 ); x F ( x ) f ( x) f ( x ) lim lim A (或 为 ). 则 x F ( x ) x F ( x )
高等数学Ⅰ
第三章
第一节 微分中值定理
复习
Fermat引理 设函数f ( x ) 在点x0 的某邻域U ( x0 )内 有定义, 且f ( x0 ) 存在, 如果对 x U ( x0 ), 有
f ( x ) f ( x0 ) 那么 f ( x0 ) 0.
(或f ( x ) f ( x0 )),
[e
kx kx f ( x) (e ) f ( x)]x 0
[e
kx
f ( x)]x 0
设f ( x ) 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 且 f (a ) f (b ) 0, f ( x ) 0, x (a , b ).证 明: f ( ) 对任意的实数 k , 存在点 (a b), 使 k. f ( ) 证 设g( x ) e kx f ( x) [e kx f ( x)]x 0
例
求 lim 2
x
arctan x .
解
例 解
1 x 1 2 2 x 原式 lim 1 x lim 1. 2 x 1 x 1 x 2 x ln sin ax ( ) 求 lim . x 0 ln sin bx 1 cos ax a cos bx sin ax 原式 lim lim 1. x 0 1 x 0 cos ax cos bx b sin bx
