本科优秀数学本科毕业论文

本科生毕业论文（申请学士学位）论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用作者姓名刘军专业名称数学与应用数学指导教师许志才/ 张玲2014年6月学生：（签字）学号：2012220146论文答辩日期：2014年x月xx日指导教师：（签字）目录摘要： 0关键词 0Abstract 01绪论 (1)2傅里叶级数的概念 (1)2.1周期函数 (2)2.2傅里叶级数的定义 (2)3 傅里叶变换的概念及性质 (10)3.1傅里叶变换的概念 (10)3.2傅立叶变换的性质 (11)4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12)5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (12)5.1傅里叶级数的应用 (12)5.2傅里叶变换的应用 (13)参考文献 (14)傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。

除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。

在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。

傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。

关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性Fourier series And Fourier TransformsAbstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transformas a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications.Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic1绪论傅里叶级数是法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的，从而极大的推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

浅谈回归分析在葡萄酒等级评估的应用数学本科毕业论文摘要：回归分析是统计学研究中一种重要的分析工具，在葡萄酒等级评估中的应用越来越受到关注。

本文以葡萄酒等级评估为例，具体分析了回归分析在该领域的应用及其优缺点。

通过分析，本文认为，回归分析在葡萄酒等级评估中应用广泛，能够有效的评估葡萄酒的质量等级。

但是，其缺点也不能忽略，比如需要对数据进行清洗、处理等。

同时，回归分析能够结合其他的分析方法，如主成分分析、聚类分析等，进一步提高数据分析的准确性和有效性。

关键词：回归分析；葡萄酒；等级评估；数据分析1. 引言随着葡萄酒消费市场的不断发展，葡萄酒质量等级的评估变得越来越重要。

葡萄酒质量等级评估最初依靠专业人员的品尝鉴定，但由于人口味的差异和评价标准不统一等原因，直接品尝鉴定的评估方法逐渐受到质疑。

为了解决这一问题，研究人员开始采用一些量化的方法进行评估，其中回归分析是最常用的方法之一。

本文将以葡萄酒等级评估为例，详细探讨回归分析在该领域的应用及其优缺点。

2. 回归分析在葡萄酒等级评估中的应用回归分析是一种通过找到一条直线或曲线来描述两个或多个变量之间关系的统计学方法。

在葡萄酒等级评估中，回归分析可以被用来寻找葡萄酒品质和其他因素之间的关系，比如葡萄品种、产地、酿造方法、陈年时间等。

通常情况下，需要收集大量的葡萄酒品质和其他变量的数据，然后使用统计软件进行数据分析。

回归分析的结果可以帮助酿酒师和酿酒商预测葡萄酒的质量等级，从而更好地满足市场需求。

回归分析也可以用来比较不同酿造方法、葡萄品种和陈年时间对葡萄酒品质的影响，从而选择最佳的酿造方式或陈年时间。

3. 回归分析在葡萄酒等级评估中的优缺点3.1 优点（1）快速准确：回归分析是一种非常快速和准确的方法，可以快速处理大量的数据并生成可靠的结果。

（2）可解释性强：回归分析可以清晰地显示不同变量之间的关系，帮助分析人员更好地理解数据。

（3）可预测性强：回归分析可以帮助预测未来的数据趋势，从而更好地满足市场需求。

本科毕业论⽂_多项式⽅程的判别式与求根公式东莞理⼯学院本科毕业论⽂（2015届）题⽬: 多项式⽅程的判别式与求根公式学⽣姓名: 姚培基学号: 201141410230院（系）:计算机学院专业班级: 信息与计算科学（2）班指导教师:起⽌时间: 2015年1⽉—2015年5⽉多项式⽅程的判别式与求根公式摘要: 近代数学史甚⾄能说是⼀部求解多项式⽅程的历史。

对于⾼次⽅程的数值根求解法，⼈们从很早就开始并⼀直探求这样的问题。

⽽且在古代，很多⼈都想出了⼀个办法来解决各种各样的多项式⽅程。

如卡尔⽶诺的《⼤术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。

在⽬前，有关问题求解多项式⽅程根的在⼯程实践中占有举⾜轻重的地位。

如在⼈类的⽣活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算⼀直起着⾮常重要的作⽤。

当⼈们在进⾏科学或者⼯程计算时，求解多项式⽅程组更是⾮常容易遇到的问题之⼀。

许多领域如⾃然⽣活和⼯程科学最终都可以归结为求解多项式⽅程组的问题。

这个时候⼈们就通常需要处理求解代数⽅程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单⼀些;但是当项⾮常复杂或变元⾮常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到⽐较多的困难。

对多项式⽅程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际⼯程计算中，具有⼗分重要的意义。

关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLABDiscriminant and seek the root of polynomial equationsAbstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, itssolving process is often more difficult.The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB⽬录⼀、引⾔ (1)（⼀）⼀元⼆次⽅程的判别式和求根与韦达定理 (1)⼆、⼀元多次多项式 (8)（⼀）代数基本定理 (9)（⼆）域论基础 (10)（三）多项式⽅程的判别式 (11)（四）⽜顿恒等式 (12)（五）关于⼀元五次⽅程 (19)三、总结与展望 (20)参考⽂献 (23)致谢 (25)⼀、引⾔在⼈类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天⽂学家及地理学家花拉⼦⽶作为第⼀⼈给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法。

如何写数学与应用数学专业的论文我是一位大一的学生,导员老师为了虽然我没写过论文，但还是想提点建议，楼主不妨考虑一下。

作为大一学生，限于学识和能力，要写作的所谓“专业论文”，不会要求达到毕业论文那样高的水平，只要对所学过某一方面的知识和方法作一个较为系统的整理就可以了。

鉴于此，下面就楼主所提到的四门课程各拟一题，仅供参考： 1.数学分析：极限的求法； 2.高等代数：行列式的计算方法； 3.空间解析几何：仿射变换及其应用； 4.高等几何：高等几何在平面几何证题中的应用。

应用数学专业毕业论文先修课程：数学与应用数学专业主要课程、教育类课程等适用专业：数学与应用数学（本科、师范）一、目的培养和提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力（包括数学理论研究和应用研究的能力、教学研究能力、文献检索、科技论文的写作能力）。

使学生获得科学、教学研究方法的初步训练。

培养学生的独立研究能力和重视开发学生的创新能力。

两名或两名以上学生选做同一课题论文时，各人的内容应有较大区别。

学生选定课题后，应填写《毕业论文任务书》，经指导教师同意，方可进行论文工作。

四、毕业论文成绩评定 1.学生毕业论文成绩的评定采取指导教师和毕业论文答辩小组分别单独评分，按比例综合评定，最后由毕业论文答辩委员会综合平衡审定。

2.成绩分5个等级：优秀、良好、中等、及格、不及格。

毕业生毕业论文统一格式要求一、论文用纸：B5纸打印。

二、论文标题： 1、主标题：用小二号黑体字，置于首页第一行，居中。

2、正文采用四级标题，分别以“一、（一）、1、（1）”标明。

其中一级标题用黑体字，二级标题用楷体，三、四级标题与正文字体相同。

三、论文正文： 1、字体：用四号仿宋体。

2、段落：行距为24磅。

3、页码：居中。

四、年级、专业与姓名：四号宋体，置于主标题与正文之间，居中，上下各空一行。

五、注释：如有注释，皆在正文之后注明。

数学与应用数学大学导论课论文怎么写（一）题名（Title,Topic）题名又称题目或标题。

数学应用数学本科毕业论文参考题目1、对数学教学中分层教学的体验和看法2、数学教学中培养学生创新能力浅论3、案例分析:由《立方根》的情景引入所想到的4、浅谈七年级学生数学学习习惯培养策略5、初中数学作业中出现的错误问题及策略6、课堂上如何培养初中学生解决问题的能力7、如何培养初中生的数学探究能力8、浅谈中学数学的函数学习9、现代教育技术在数学教学中的运用10、初中数学课堂情境探究式教学模式的运用探索11、数学教学中良好个性心理品质的培养12、浅谈初中数学学困生的成因及转化策略13、绝对值不等式的解法14、论初中生在数学教学中的数学体验15、主题式教学在初中数学中的应用16、试论如何提高学生代数运算能力17、在数学概念教学中实施“局部探究”的实践18、例谈中学教学的“教与学”19、运用发现法教学,培养学生创新能力20、实践自主学习,促进自主发展1、新课导入环节存在的问题及成因分析2、数学教学目标制定应考虑的几对辩证关系3、提高分层教学实效促进全体学生发展4、初中生数学问题解决观的现状及其分析5、化归思想在数学教学中的应用6、初中生数学学习方式和学习负担的调查分析7、运用数学建模思想提高中学数学教育质量8、人教版和华师版反比例函数编排的比较与探讨9、有效教学的灵魂是以生为本--切线长定理教学案例与分析10、浅谈初中生数学建模能力的培养11、如何培养农村初中学生的数学学习兴趣12、基于学生几何认知水平的教学目标设计探讨13、中考复习导学案设计的实践与思考14、数形结合话三角--三角函数在中考试题中的应用举例15、数形结合在初中数学解题中的应用16、对新课程数学教学中初三复习课的几点思考17、初中数学学案教学教师适应性调查研究18、微课程在初中数学课堂中的功能性研究19、加强初中数学思想方法教学的策略20、试分析新课改下中学数学教学的有效模式1、数学概念教学中有效提问的量化研究2、大、中学数学教学衔接问题的研究综述3、高中数学课程标准下选修课“数学史选讲”教学研究4、普通高中数学课程标准与教学大纲课程编制的对比研究5、新课标下大学概率统计教学与中学数学教学内容的衔接探讨6、让数学文化走进课堂7、高中学生数学建模能力与数学学业成绩关系的调查与分析8、高等数学与新课标下高中数学教学内容对接的研究9、高一数学教学中如何解决好初高中衔接问题10、浅析高中数学生成性课堂的构建策略11、论数学文化视角下的中学数学课堂教学12、高等数学与高中数学衔接改革的研究13、高考数学应用题的特点与启示14、浅谈高中数学导学案教学中存在的问题及对策15、数学课程发展的趋势与思考16、浅议向量在高考数学中的应用17、《函数的概念》教学设计中存在的问题及其解决--兼评网上教学设计18、实施分组分层教学,提高课堂教学效率19、培养反思思维习惯促进创新能力提高感谢您的阅读，祝您生活愉快。

长沙学院CHANGSHA UNIVERSITY 本科生毕业论文摘要非线性方程在工程实践、经济学信息安全和动力学等方面的大量实际问题中有着极为广泛的应用，而不动点迭代算法作为数学研究的一个新方向，是求解非线性方程问题的一个最基本而又重要的方法.本文主要介绍了非线性方程求解的不动点算法及其研究，首先，综述了非线性方程求解的不动点算法的研究背景、并阐述了本文的主要工作以及介绍了误差、有限差等基本知识；然后，详细介绍了不动点迭代算法的基本思想、在什么条件下方程存在不动点的收敛定理、不动点的收敛阶定理和Atiken加速公式；最后，考虑到方程可能会不满足不动点迭代收敛定理的两个条件的情况提出了反函数法、牛顿迭代法、Steffensen 迭代法和松弛法这四中处理方法.关键词：非线性方程，不动点原理，迭代法ABSTRACTA large number of practical problems of nonlinear equations in engineering practice,economics of information security and other the dynamics has a very wide range of applications.As a new direction in the study of mathematics,fixed point iterative algorithm is a basic and important methods to solving nonlinear equations problem.This paper describes the solving nonlinear equations fixed point algorithm and research. First, the research background of solving nonlinear equations fixed point algorithm and the main word are introduced, the basic knowledge of errors,finite difference are introduced ; Second, the fixed point iterative basic idea, algorithm convergence and convergence rate and the aitken formula are detailed; Last, inverse function method, the newton iterative method,Steffensen iterative method and the relaxation method are proposed when the equation dose not satisfy the fixed point iteration convergence conditions.Keywords:Nonlinear Equation, Fixed Point Theorem, Iterative Method目录摘要 (I)ABSTRACT (I)第1章绪论 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 预备知识 (2)1.2.1 误差 (2)1.2.2 有限差 (3)第２章非线性方程求解的不动点迭代算法 (5)2.1不动点迭代算法的基本思想 (6)2.2 不动点迭代算法的收敛性 (7)2.3 不动点迭代算法的收敛速度 (11)2.4 加速不动点迭代算法及其收敛性 (12)第3章非收敛不动点迭代格式的几类处理方法与比较 (14)3.1 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法 (15)3.1.1 反函数法 (15)3.1.2 牛顿迭代法 (15)3.1.3 Steffensen迭代法 (15)3.1.4 松弛法 (16)3.2 数值实例 (17)结论 (21)参考文献 (23)附录 (24)致谢 (35)第1章绪论1.1 研究背景非线性数值解的问题是现代数学的主要研究课题之一，这不仅是由于科学技术发展的需要，而且也是由于计算技术的高速发展提供了解决这类问题的可能，利用计算机解决非线性问题时，最终总是将其化成为有限维非线性问题，或称为非线性代数问题．对于求解非线性方程，无论从理论上还是从计算机上，都比解线性问题要复杂的多，一般的非线性方程是很难求出精确解的，往往只能求出近似解、数值解，而长期以来，人们为了得到满足条件的近似值，许多计算工作者致力于研究求解非线性方程的有效方法，尤其是计算机出现后函数方程求根的数值解法得到了蓬勃发展，十七世纪，微积分出现时，Newton和Halley发明了各自的新的数学工具去解非线性方程，十八世纪，随着微积分的快速蓬勃发展，Euler和Lagrange分别找到了一个无穷级数来表示方程解，并以各自的名字来命名，十九世纪，人们开始注重问题分析的严密性，柯西建立了优级数技巧，该技巧不断的被以后的事实证明对于研究方程近似解序列的收敛性是很有成效的，在分析严密性发展的时代，Ostrowski对Newton迭代法的收敛性问题规定了一个合理的假设和一个令人满意的解法，在软件分析完善的年代，Kantorovich把Newton迭代法和Ostrowski的结果推广到Banach空间，从而使许多用硬分析去做非常棘手的有关问题被轻轻松松地推论中得到了令人满意的解决，等等，总之，这些方法不断地被后人完善，但在目前，实际问题中可能还需要求方程的负根，求非线性方程（组）的迭代法，求微分方程迭代法等等，迭代方法还需要更深入的研究，同时意味着迭代法的发展空间将会更广阔．本文将着重介绍求解非线性方程的不动点算法，其中文献[3]是由王则柯先生于1988年总结的单纯不动点算法，他简述了不动点在非线性方程数值解、微分方程初值问题、边值问题、分支问题等许多应用问题方面的十多年的发展，以及对单值连续映射的不动点或零点问题进行了讨论，在文献[4]中，许炎先生简单的阐述了国内外有关不动点理论的发展状况，并主要讨论了L-Lipschitz映射的不动点迭代逼近定理，[3][4]这两篇文献都总结出了不动点问题的研究和解决在实际问题中起到了至关重要的作用，这一系列的文献还有[5][6][7][8]，而秦小龙先生在文献[9]中介绍了迭代法的发展情况以及相关定理，为本篇论文提供了大量的基础信息，王公俊先生在文献[10]中分别介绍了常用的求解非线性方程的方法以及收敛性，在文献[11]中，张卷美主要研究了一类不动点迭代法的求解，在迭代格式不满足迭代条件的情况下，运用的几种处理方法，并且用Ｃ语言编程上机进行了计算，对迭代收敛结果进行了分析和比较，为本文提供了大量的信息，另外，本文还借鉴了2本不同出版社的《数值分析》教材的大量内容．本文主要介绍了非线性方程求解的不动点算法及其应用，第一章为绪论部分，主要介绍了为什么要研究本文的一些原因、目的，以及价值，也准备了一些预备知识作为对正文的补充；第二章介绍迭代法与不动点的相关思想原理、定理以及迭代法的收敛条件，是本文的一个主要章节和工作重心，并且举出了几个实例来辅助证明了运用不动点迭代法求解非线性方程的方便以及准确性；第三章作为对第二章节的一个完善，非常具有实用性，主要讨论了非收敛不动点迭代格式的几类处理方法，并通过数值实例给予了证明.1.2 预备知识1.2.1 误差误差的来源有多个方面，主要有模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差等．例1.1 可微函数)(x f 用泰勒(Taylor)多项式 ,!)0(...!2)0(!1)0()0()()(2n n n x n f x f x f f x p +''+'+= 近似代替，则数值方法的截断误差是 ,)!1()()()()(1)1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R ξ ξ在0与x 之间．也就是说，截断误差就是近似值与精确值之间的误差．例1.2 用3.14159近似代替π，表示舍入误差..0000026.014159.3⋅⋅⋅=-=πR同样，可以定义舍入误差是指由于计算机字长有限在表示时产生的误差．定义1.1[1] 设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x e -=**为近似值的绝对误差，简称误差．然而，在实际中，人们是无法准确计算出误差*e 的精确值的，一般是根据需要估计出误差的绝对值不超过某正数*ε，也就是误差绝对值的一个上界，*ε叫做近似值的误差限，它总是正数．对于一般情形，**||ε≤-x x ，即,****εε+≤≤-x x x (1.1)这个不等式有时也表示为.**ε±=x x (1.2)误差的大小有时还不能完全表示近似值的好坏，例如，有两个量110±=x ，51000±=y ，则.5,1000;1,10****====y x y x εε虽然*y ε是*x ε的5倍，但是%5.0**=y y ε比%10**=xx ε小得多，这就说明了*y 近似y 的程度比*x 近似x 的程度要好得多，因此，除了需要考虑误差的大小之外，还应该考虑准确值本身的大小．我们把近似值的误差*e 与准确值x 的比值 ,**xx x x e -= (1.3) 称为近似值*x 的相对误差，记作*r e ．在实际计算中，由于真值x 总是不知道的，通常取 ,*****xx x x e e r -== (1.4) 作为*x 的相对误差，条件是***xe e r =较小，此时 ,)(1)()()()(**2*****2*******x e x e e x x e x x x x e x e x e -=-=-=- (1.5) 是*r e 的平方项级，故可忽略不计．相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r ε，即 .||***x r εε= (1.6) 根据定义，上例中 %10||**=x x ε与%5.0||**=y y ε分别为x 与y 的相对误差限，很显然*y 近似y 的程度比*x 近似x 的程度好得多．在实际运算中，为了避免误差危害，数值计算中通常不采取数值不稳定算法，在设计算法是应该尽量避免误差危害，防止有效数字损失，通常要避免两个相近数字相减和用绝对值很小的数做除数，还要注意运算次序和减少运算次数．1.2.2 有限差定义1.2[2] 分别称),()()(x f h x f x f -+=∆ (1.7) ),()()(h x f x f x f --=∇ (1.8) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22)(h x f h x f x f δ (1.9)为函数)(x f 在点x 的一阶向前差分，一阶向后差分和一阶中心差分，或者分别简称为一阶前差，一阶后差，一阶中心差，统称为(一阶)有限差，其中)0(>h 表自变量的有限增量，称为步长，∇∆,和δ分别成为(一阶)前差算子、(一阶)后差算子和(一阶)中差算子，统称为(一阶)有限差算，仿此，可以定义高阶有限差，例如，二阶前差记作)(2x f ∆，定义为[]).()()()(2x f h x f x f x f ∆-+∆=∆∆=∆ (1.10) 于是，有).()(2)2()(2x f h x f h x f x f ++-+=∆ (1.11) n 阶前差记作)(x f n ∆，定义为[]).()()()(111x f h x f x f x f n n n n ---∆-+∆=∆∆=∆ (1.12) 同样，二阶后差)(2x f ∇和n 阶后差)(x f n ∇分别定义为[])()()()(2h x f x f x f x f -∇-∇=∇∇=∇ (1.13)和[]).()()()(111h x f x f x f x f n n n n -∇-∇=∇∇=∇--- (1.14) 二阶中心差 )(2x f δ 和n 阶中心差)(x f n δ分别定义为[],22)()(2⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+==h x f h x f x f x f δδδδδ (1.15)和[].22)()(111⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+==---h x f h x f x f x f n n n n δδδδδ (1.16)我们规定0()()f x f x ∆=, 0()()f x f x ∇=, 0()()f x f x δ=.有限差有下列一下性质：（1）常数的有限差恒为零．（2）有限差算子为线性算子，即对任意的实数α,β恒有()),()()()(x g x f x g x f ∆+∆=+∆βαβα (1.17) ()),()()()(x g x f x g x f ∇+∇=+∇βαβα (1.18)()).()()()(x g x f x g x f βδαδβαδ+=+ (1.19)（3）用函数值表示高阶有限差：()),)((1)(0h i n x f C x f ni in i n -+-=∆∑= (1.20)()),(1)(0ih x f C x f n i in i n --=∇∑= (1.21)()),)2((1)(0h i hx f C x f n i i n i n -+-=∑=δ (1.22)其中 .!)1()1(i i n n n C i n +-⋅⋅⋅-= （4）用有限差表示函数值 .)()(0∑=∆=+n i i i nx f C nh x f (1.23)第２章 非线性方程求解的不动点迭代算法2.1不动点迭代算法的基本思想首先讨论解非线性方程)(x g x = (2.1) 的问题. 方程(2.1)的解又称为函数g 的不动点. 为求g 的不动点，选取一个初始值0x ，令⋅⋅⋅==-,2,1),(1k x g x k k (2.2) 已产生序列}{k x . 这一类迭代法称为不动点迭代. )(x g 又被称为迭代函数， 很显然，若迭代序列}{k x 收敛，即有,lim p x k k =∞→ (2.3) 且)(x g 连续，则p 是g 的一个不动点．例2.1[2] 方程042)(23=-+=x x x f 在区间[]2,1中有唯一跟. 我们可以用不同的方法将它化为方程：（1）;42)(231+--==x x x x g x（2）;22)(212⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x x g x （3）;22)(2133⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x g x （4）;212)(214⎪⎭⎫ ⎝⎛+==x x g x （5）,4342)(2235xx x x x x g x +-+-== 等等.取初始值5.10=x ，分别用式(2.2)的迭代格式计算，结果如下表．表2.1 例2.1迭代公式计算结果从表2.1中可以看到，选取迭代函数为)(4x g ，)(5x g ，分别12次和4次，得到方程的近似根1.130395435．若选取)(3x g 作为迭代函数，则k 为奇数时迭代子序列单调增加，k 为偶数时迭代子序列单调减小，迭代120次得到近似根1.130395436． 若选取)(1x g 作为迭代函数，则迭代序列不收敛， 若选取)(2x g 为迭代函数，则出现了负数开方，因而无法继续进行迭代．2.2 不动点迭代算法的收敛性通过例2.1，可以总结出，对于同一个非线性方程的求解问题，在转化为迭代方程时应该要使其解的迭代次数达到最小，且得到的解应该最精确. 在选择迭代函数)(x g 的基本原则是，首先必须保证不动点迭代序列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,21k x x x 在)(x g 的定义中，以使迭代过程不至于中断；其次要求迭代序列}{k x 收敛且尽可能收敛得快.定理2.1[2] 假设)(x g 为定义在有限区间[]b a ,上的一个函数，它满足以下条件 （1）对任意[]b a x ,∈有[];,)(b a x g ∈ (2.4) （2）)(x g 的导数)(x g '在[]b a ,上有界，且存在正数1<L 使得对一切[]b a x ,∈有 ,1|)(|<≤'L x g (2.5) 那么对于任意初始值[]b a x ,0∈由不动点迭代(2.2)产生的序列都收敛于g 在[]b a ,的唯一不动点p ，并且有误差估计式|,|1||01x x LL e kk --≤,1≥k (2.6) 其中p x e k k -=.证明 首先证明g 的不动点存在且唯一. 令 ).()(x g x x h -= (2.7)据条件(1),0)()(≤-=a g a a h .0)()(≥-=b g b b h又据条件(2)，在)(x g '上存在，因此)(x g 在[]b a ,上连续，从而)(x h 在[]b a ,上也连续，因此方程0)(=x h 在[]b a ,上至少有一个跟．现假设方程0)(=x h 在[]b a ,上有两个根q p q p ≠,,，则由Lagrange 中值定理知，在p 与q 之间存在ξ使得|,||)(||))((||)()(|||q p g q p g q g p g q p -'=-'=-=-ξξ 再由(2.5).|||||||)(|q p q p L q p g -<-≤-'ξ这就得到矛盾式：.||||q p q p -<- 因此q p =，即0)(=x h 在[]b a ,中的根是唯一的．其次证明由不动点迭代格式(2.2)产生的序列}{k x 是收敛于p 的．根据定理条件(1)[]b a x k ,∈，⋅⋅⋅=,2,1,0k ，因此不动点迭代过程不会中断．由(2.5)式有).()(1p g x g p x k k -=-- (2.8) 应用Lagrange 中值定理，并根据(2.5)式有|||||)(||)()(|||111p x L p x g p g x g p x k k k k -≤-'=-=----ξ.||0p x L k -≤⋅⋅⋅≤ (2.9) 因为10<<L ，所以,0||lim ||lim 0=-≤-∞→∞→p x L p x k k k k即.lim p x k k =∞→ (2.10)最后，推导估计式(2.6)．应用收敛性的证明过程，有|||)()(|||111-++-+++++-≤-=-j k j k j k j k j k j k x x L x g x g x x|,|01x x L j k -≤⋅⋅⋅≤+ (2.11) 于是()∑∑-=+++-=++++-≤-=-11101||m j j k j k m j j k j k k m k x x x xx x||1)1(||010110x x LL L x x Lm k m j jk ---=-≤∑-=+.||101x x LL k--≤ (2.12)在上式中令∞→m ，得.1||||01x x L L p x e kk k --≤-= (2.13) (2.6)式得证．例2.2[2] 讨论例2.1中不动点迭代⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--,2,1,22)(213113k xx g x k k k (2.14) 的收敛性. 为使解的近似值的误差不超过810-，试确定迭代次数．解 迭代法(2.14)的迭代函数为.22)(2133⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x g )(3x g 的定义域为]4,(3-∞．取初始值5.10=x ，由不动点迭代(2.21)得559016994.01=x ，因此取区间[][]5.1,5.0,=b a ．由于,02243)(22133<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='-x xx g [],5.1,5.0∈x 因此)(3x g 在[]5.1,5.0上单调减小． 而[],559.0)5.1()(min 335.1,5.0≈=∈g x g x[],399.1)5.0()(max 335.1,5.0≈=∈g x g x于是，当[]5.1,5.0∈x 时，[]5.1,5.0)(3∈x g ，但,04432243)(232333<⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=''-x x x xx g [],5.1,5.0∈x )(3x g '在[]5.1,5.0上单调减小，因此 [][]{}3330.5,1.50.5,1.5max |()|max |(0.5)|,|(1.5)|x x g x g g ∈∈'''=.019.3)5.1(3≈'=g 因此，定理2.1的条件(2)不成立．从表2.1看到，取133074649.130=x 作为初始值0x ，128116321.131=x 作为1x ．当[]3031,x x x ∈时，[]303132,31,x x x x ∈从而[]30313,)(x x x g ∈．又由于[]313033,|()|max |()|x x x g x g x ∈''≤{}331330max |()|,|()|g x g x ''= ,1853541077.0)(303<=≈'=L x g因此定理2.1的条件成立．故迭代过程收敛[]3031,x x 中任意取初值，为使解p 的近似值k x 的误差不超过810-，根据误差估计式(2.6)|,|1||01x x L L p x kk --≤- 只要.10||1801-<--x x L L k因此，k 应取为810||lg10lg1lg x x L k L ---->853541077.0lg 146458923.0128116321.1133074649.1lg 8⎪⎭⎫⎝⎛---≈.69977.137≈取138=k ．于是迭代138+30=168次必可使近似解的误差不超过810-． 实际上，从表2.1中可以看到，只要迭代110次便可达到所要求解的精度．(2.6)式右端是最大可能的误差界． 就本例来说，估计的迭代次数偏大了.2.3 不动点迭代算法的收敛速度定理2.2[2] 在定理2.1的假设条件下，再设函数)(x g 在区间[]b a , 上)2(≥m 次连续可微，且在方程(2.1)的跟p 处,0)()(=p g j ,1,,1-⋅⋅⋅=m j ,0)()(≠p g m (2.15) 则不动点迭代为m 阶收敛.证明 据定理2.1知，方程（2.1）在[]b a ,上有唯一根p ．且对任意初始值[]b a x ,0∈，不动点迭代序列{}k x 收敛于p 由于),()()()(11p g e p g p g x g p x e k k k k -+=-=-=++ (2.16) 据Taylor 公式和定理条件有()mkk k m m k m k k k e e p g m e p g m e p g e p g e )(!1)()!1(1)(!21)()(1121θ++-+⋅⋅⋅+''+'=--+ ,)(!1)(mk k k m e e p g m θ+=其中10<<k θ. 易知，对于充分大的k ，若 01≠-k e ，则 ),1,(0⋅⋅⋅+=≠k k i e k ，从而()).(!1lim 1p g m e e m m k k k =+∞→ (2.17）故证得不动点迭代为m 阶收敛．关于不动点的迭代，还有下面的局部收敛定理.定理2.3[2] 设p 是方程(2.1)的一个根，)(x g 在p 的某领域内m 次连续可微，且 ,0)()(=p g j ,1,,1-⋅⋅⋅=m j ,0)()(≠p g m ),2(≥m则当初始值0x 充分接近p 时（存在正数r ，对一切[]r p r p x +-∈,0），不动点迭代序列{}k x 都收敛于p ，且收敛阶数为m .证明 由于假设()x g '在p 的某领域内连续且()0='p g ，因此必存在0>r 使得对一切[]r p r p x +-∈, 有.1|)(|<≤'L x g 又据Lagrange 中值定理，有),)(()()(p x g p g x g -'=-ξ ξ在x 与p 之间，从而,|||||)(||)()(|r p x p x g p g x g ≤-<-'=-ξ 即.|)()(|r p g x g <- (2.18) 因此当[]r p r p x +-∈,时，[]r p r p x g +-∈,)(．据定理2.2和定理2.3知，对于任意初始值[]r p r p x +-∈,0，不动点迭代收敛，且收敛阶数为m ．2.4 加速不动点迭代算法及其收敛性一个收敛的迭代过程将产生一个收敛序列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n x x x ，如p x n n =∞→lim ．这样，只要迭代足够多次，即n 充分大时，如m n =，则可取m x p ≈．但若迭代过程收敛缓慢，则会使计算量变得很大，因此需要加速收敛过程．假设一个序列{}n x ：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n x x x ，线性收敛于p (收敛缓慢)，即有λ=--+∞→p x px n n n 1lim ().0≠λ (2.19) 于是当n 足够大时，有,121px px p x p x n n n n --≈---++ 即),)(()()221p x p x p x n n n --≈-++亦即.)(22222121p p x x x x p p x x n n n n n n ++-≈+-++++ (2.20) 解得nn n n n n x x x x x x p +--=++++12212222221121222n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x ++++++-+--=-+.2)(1221nn n n n n x x x x x x +---=+++ 定义⋅⋅⋅=+---=++++,2,1,0,2)(~12211n x x x x x x x nn n n n n n ， (2.21)(2.21)称为Aitken 加速公式（方法）．Aitken 加速方法得到的序列{}n x ~：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,~,,~,~21n x x x 较原来的序列{}n x 更快地收敛于p . 有下面的定理．定理 2.4[2] 设序列}{n x 是线性收敛于p 的，并且对于所有足够大的整数n 有0))((1≠--+n n x p x ，则由Aitken 加速方法(2.21)产生的序列{}n x ~有.0~lim 1=--+∞→p x px n n n (2.22) 证明 由假设序列}{n x 线性收敛于p ，即有,lim 1λ=--+∞→p x px nn n ，0≠λ.记,1λ---=+px px q n n n (2.23) 则有 0lim =∞→n n q ，0lim 1=+∞→n n q ． 据(2.21)式，()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----=--++++p x x x x x x p x p x p x nn n n n n n n n 1221121~2121()1()(2)n n n n n n x x x p x x x +++-=---+21221212111[()]()1()[2()]111..21n n n n n n n n n n n n n n n x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p ++++++++----=-----+-⎡⎤-=--⎢⎥-⎡⎤---⎣⎦-+⎢⎥---⎣⎦ .1)(2))((1)1(112++-++⋅-+-=+λλλλn n n n q q q q (2.24)因此有.012)1(1~lim 221=+---=--+∞→λλλp x p x nn n在绪论中有讲到一阶前差：,1n n n x x x -=∆+ ⋅⋅⋅=,2,1,0n 二阶前差：,2)(122n n n n x x x x x +-=∆∆=∆++ .,2,1,0⋅⋅⋅=n 于是，Aitken 加速公式(2.21)可改写成,)(~221n n n n x x x x ∆∆-=+ .,2,1,0⋅⋅⋅=n (2.25)由于这个缘故，Aitken 加速方法又称为Aitken 2∆加速方法．例2.3[2] 设nx n 1cos =，则1lim =∞→n n x . 由于,111cos 111cos lim 11lim 1=--+=--∞→+∞→nn x x n n n n 因此序列{}nx 收敛于1． 由序列{}nx 应用Aitken 加速方法计算得{}nx ~的开头几项列表如下（表2.2）．{}n x ~确实比{}n x 更快的收敛于1．第3章 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法与比较在第2章中主要介绍了求解非线性方程的不动点迭代法，其要求是迭代函数要满足收敛定理假定条件，而在现实生活中，明确满足这些条件的迭代函数是很少见的，本章对于迭代函数不满足收敛条件的情况，提出了几类处理方法.3.1 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法一个方程的迭代格式不是唯一的，且迭代也不都是收敛的，其收敛性取决于迭代函数)(x g 和初值0x ，关于不动点迭代函数的收敛性，上一章已经进行了讨论， 但假若[]b a x ,∈时，1)(>≥'L x g ，就不满足定理2.1的条件(2)了，于是下面分别介绍了反函数法、牛顿迭代法、Steffensen 迭代法和松弛法这四中处理方法.3.1.1 反函数法因为)(x g x =，有[])(1)(1x g x g '='-，则当[]b a x ,∈时，[]11)(1<≤'-Lx g ，所以方程)(x g x =可写成等价形式)(1x g x -=，从而构造迭代格式)(11k k x g x -+=, ),1,0(⋅⋅⋅=k (3.1) 很明显，)(11k k x g x -+=满足收敛条件.对于)(x g 简单情况, 其反函数)(1x g -容易得到.3.1.2 牛顿迭代法对于迭代格式)(x g x =的情形，采用Newton 迭代格式有 ,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+ ),1,0(⋅⋅⋅=k (3.2)3.1.3 Steffensen 迭代法根据Aitken 加速算法，对迭代格式)(1k k x g x =+,),1,0(⋅⋅⋅=k ，进行如下修改：),(k k x g y = ),(k k y g z =[]kk k k k k k k k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+)(2))(()())(())((2)(221 (3.3)其中⋅⋅⋅=,1,0k .3.1.4 松弛法将)(x g x =化成等价形式)()1(x wg x w x +-= , 称w 为松弛因子, 从而构造迭代格式),()1(1k k k x wg x w x +-=+ (3.4)其迭代函数为)()1()(x wg x w x g +-= . 记)(min minx g g bx a '='≤≤，)(max max x g g bx a '='≤≤，得到如下结论:（1）当1)(>≥'L x g 时，w 取01)(2max <<-'-w x g 时，)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛；（2）当1)(-<-≤'L x g 时，w 取)(120minx g w '-<< 时，)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛；（3）当1)(<≤'L x g 时，w 取)(1)(11minminx g x g w '-'+<< 时，迭代格式)()1(1k k k x wg x w x +-=+比迭代格式)(1k k x g x =+收敛快． 推导如下：（1）当1)(>≥'L x g 时，由01)(2max<<-'-w x g 得到2)(max->-'w x g w ，其迭代函数为)()1()(x wg x w x f +-=． 因为()()()()()()()max1111111f x w wg x w wg x f x w wg x w g x '''=-+≥-+>-'''=-+=+-<所以有1)(<'x g ，从而)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛.（2）当1)(-<-≤'L x g 时, 由)(120min x g w '-<<得到2)(min->'+-x g w w . 因为()()()()()()()min111,1111f x w wg x w wg x f x w wg x w g x '''=-+≥-+>-'''=-+=+-<所以有1)(<'x f , 从而)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛.（3）当1)(<≤'L x g 时, w 取)(1)(11min minx g x g w '-'+<<，由1>w 得到[]0)(1)1(<'--x g w ,()()()()()1(1)1f x w wg x w g x g x g x '''''=-+=--+<⎡⎤⎣⎦ 由)(1)(1minminx g x g w '-'+<得到0)()(1min min>'+-'+x g w w x g .()()min()11f x w wg x w wg x '''=-+≥-+()()()()minmin 1w wg x g x g x g x ''''≥-++->-所以有)()(x g x f '<', 从而迭代格式)()1(1k k k x wg x w x +-=+ 比迭代格式)(1k k x g x =+收敛快.3.2 数值实例通过以上四种方法都可以解决非收敛不动点迭代格式的问题，现对上述四种给出几个不满足不动点迭代收敛定理的实例，并对结果进行分析和比较. 例3.1 求方程033=--x x 在区间[]2,1内的根，要求精度为510-．解 对于方程033=--x x ，将它化为33-=x x ，所以3)(3-=x x g ，则当[]2,1∈x 时，13)(2>='x x g ，不满足定理2.1的条件(2),因此不能由(2.2)的迭代格式计算.下面分别用反函数方法、牛顿（Newton ）迭代法、Steffensen 迭代法、松弛法对迭代函数进行修改，得到相应新的迭代函数，并用C 语言编程上机计算. (1)反函数法：迭代格式为),(11k k x g x -+= 即.)3(311+=+k k x x 取初值5.10=x ，运用程序见附录1．(2)牛顿（Newton ）迭代法：迭代格式为,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+即.133231)3(23231-+=----=+k k k k k k k x x x x x x x 取初值5.10=x ，运用计算程序见附录二； (3) Steffensen 迭代法：迭代格式为),(k k x g y = ),(k k y g z = [][].)(2))(()())(())((2221kk k k k k kk k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+即,33-=k k x y,3)3(33--=k k x z[].)3(23)3()3(3)3(3)3(3332333331kk k k kk k x x x x xx x +-----------=+ 取初值5.10=x ，运用如下程序可以得到结果： (4)松弛法：迭代格式为),()1(1k k k x wg x w x +-=+ 即),3()1(31-+-=+k k k x w x w x当[]2,1∈x 时，13)(2>='x x g ，且3)(min='x g ，12)(max ='x g ，所以w 的取值范围为01122>>--w ，现取5.10=x ，15.0-=w ，运用C 语言编程可得到起结果． 以上这四种方法的计算结果见表(3.1)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快.例 3.2 求方程0124=--x x 在区间[]2,1内的根，要求精度为510-.解 对于方程0124=--x x ，将它化为21214-=x x ，所以2121)(4-=x x g ，则当[]2,1∈x 时，14)(3>='x x g ，因此不满足不动点迭代收敛条件，为求此次方程的解，下面同样分别用本章介绍的四种方法求解此方程. (1)反函数法：迭代格式为),(11k k x g x -+= 将方程变为迭代格式为().12411+=+k k x x取初值5.10=x ，运行附录5的相应程序即可得计算结果. (2)牛顿（Newton ）迭代法:迭代格式为,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+代人例题中的数据.12212321212134341-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+k k k k k k k x x x x x x x 取初值5.10=x ，运行附录6的程序即可的计算结果. (3)Steffensen 迭代法：迭代格式为),(k k x g y =),(k k y g z = [][].)(2))(()())(())((2221kk k k k k kk k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+代入例题中的数据有,21214-=k k x y ,2121212144-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k x z.2121221212121212121212121212121214442444441k k k k k k k x x x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+ 取初值5.10=x ，运行附录7即可算得计算结果. (4)松弛法：迭代格式为),()1(1k k k x wg x w x +-=+ 代入例题中的数据有.2121)1(41⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+x w x w x k k当[]2,1∈x 时，14)(3>='x x g ，13224)(3max>=⨯='x g ，所以w 取值在01322<<--w ，现取05.0-=w ，初值5.10=x ，运行附录8的程序即可得到计算结果.以上这四种方法的计算结果见表(3.2)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快．例3.3 求方程032=-+x e x 在区间[]1,0内的根，要求精度为510-.解 将方程化为等价形式x e x 23-=，那么此时x e x g 23)(-=.当[]1,0∈x 时，12)(>-='x e x g ，因此不满足不动点迭代收敛条件.按下面这四种方法处理可以得到近似解.(1)反函数法：首先由反函数处理方法可得到迭代格式,223ln 1⎪⎭⎫⎝⎛-=+k k x x取初值5.00=x ，运用程序见附录9.(2)牛顿（Newton ）迭代法：由牛顿迭代法得到迭代格式,21321kk x x k k k e e x x x +-+-=+ 取初值5.00=x ，运用程序见附录10.(3)Steffensen 迭代法：由Steffensen 迭代法得到迭代格式,23k x k e y -= ,2322⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k x e k e z()()[](),)23(223232323223231kx e e e k x e e e e x kkx kx kx +------=---+ 取初值5.00=x ，运用程序见附录11. (4)松弛法：由松弛法得到迭代格式为(),23)1(1x k k e w x w x -+-=+当[]1,0∈x 时，122)(-<-≤-='x e x g ，e x g 2)(min-='，所以w 取ew 2120+<<之间的值，现取2.0=w ，初值5.00=x ，运用程序见附录12.以上这四种方法的计算结果见表(3.2)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件定理的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快．结 论非线性代数问题的解法是现代计算数学的一个重要研究课题，而不动点迭代算法是求解非线性方程近似根的一个重要方法.本文通过搜集大量资料了解了非线性方程求解的不动点迭代算法的的研究背景，以及研究价值，然后通过介绍不动点迭代法的基本思想，对不动点迭代法的收敛性、收敛速度以及加速不动点迭代算法的收敛性进行了研究，并结合实例经行了比较分析，对于不满足收敛条件的情况，本文通过翻阅大量资料和文献，归纳总结出了四种处理方法，分别为反函数法、牛顿（Newton)迭代法、Steffensen 迭代法、松弛法，使得不满足收敛不动点迭代格式的非线性方程的求解得到了解决，同样也给出了相关实例进行了比较和验证.具体来说，对于一般的非线性方程，只要满足第2章定理2.1中的条件(1)和条件(2)，那么对于任意的初始值[]b a x ,0∈，则由不动点迭代⋅⋅⋅==-,2,1),(1k x g x k k 产生的迭代序列都收敛于g 在[]b a ,的唯一不动点p ，那么要考虑的是光是收敛还不能很好的解决一个迭代效率问题，于是本文还致力研究了不动点迭代法的收敛速度，以及加速不动点迭代法.而对于一般不满足第2章定理2.1中的条件（1）或者条件（2）的情况，那么有不动点迭代算法产生的迭代序列不是收敛的，就不能求出函数的近似解，那么本文通过阅读大量的资料以及文献，总结出了四种比较好用的处理方法，并且通过3个实例，可以发现这几种方法不仅能得到收敛的迭代序列，而且收敛的速度也比较快，通过分析比较这四种方法，牛顿迭代法的迭代效果最好.这也是本文的亮点所在.由于诸多条件限制，本文也有很多不足之处，比如说没有足够多的实例来充分的证明第2章的定理2.2与定理2.3，并且对于第3章给出的3个实例中的精度要求较低，有待于继续研究，若有条件，可以更深层次的研究非线性方程组的不动点算法及其应用.参考文献[1] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008,32(2)：3-8[2] 林成森.数值分析[M].北京：科学出版社，2007,18(1):133-135,255-265[3] 王则柯．单纯不动点算法[J]．广州：中山大学数学系，1988,12(12)：113-127[4] 许炎．Banach空间中的不动点迭代逼近[J]．苏州：苏州科技学院数理学院，2010，13(2)：1-44[5] 李素红．非线性算子的不动点迭代逼近[J]．天津工业大学学报，2006，16(1)：51-58[6] 孙俊萍，徐裕生．非线性算子的不动点定理[J]．长春大学学报，2000，10(5)：30-31[7] 宋娜娜．几类非线性算子的不动点定理[J]．长春工程学院学报（自然科学版），2003,4(3)：1-4[8] 段华贵．几类非线性算子的不动点定理及应用[J]．哈尔滨师范大学自然科学学报，2004，20(4)：31-33[9] 秦小龙．非线性算子方程的迭代算法[J]．科学技术与工程研究简报，2010，10(13)：3169-3170[10] 王公俊．非线性方程的迭代法研究[J]．河北大学学报（自然科学版），2000，20(3)：228-231[11] 张卷美．一类不动点迭代法的求解[J]．燕山大学学报，1998，22(2)：140-142[12] 高尚.不动点迭代法的一点注记[J]．大学数学．2003,19(4):30-37[13] 代璐璐．非线性方程组的迭代解法[J]．合肥工业大学学报，2012，5(4):1-57[14] Halikias, Galanis, Karcanias, Milonidis.Nearest common root of polynomials,approximate greatest common divisor and the structured singular value[J].IMA Journal of Mathematical Control & Information,2013，30(4)：423-442附录附录1（反函数处理法）：%main()为主函数%用途：用反函数法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut (double x,int k){double f;int i;for(i=0;i<k;i++){f=pow(x+3,1.0/3.0);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf("\n input k(k>0):");scanf("%d",&k);for(i=1;i<=k;i++){printf("\n x=%6.5lf\n",solut(x0,i));}}附录2（牛顿(Newton)迭代法）：%main()为主函数%用途：用牛顿(Newton)迭代法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut(double x,int k){double f;int i;for(i=0;i<k;i++){f=x-(pow(x,3)-x-3)/(3*pow(x,2)-1);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf("\n input k(k>0):");scanf("%d",&k);for(i=1;i<=k;i++){printf("\n x=%6.5lf\n",solut(x0,i));}}附录3（Steffensen迭代法）：%main()为主函数%用途：用Steffensen迭代法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut(double x ,int k){double f,f1,f2;Int i;for(i=0;i<k;i++){f1=pow(x,3)-3;f2=pow(f1,3)-3;f=f2-(pow(f2-f1,2)/(f2-2*f1+x);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf(“\n input k(k>0):”);scanf(“%d”,&k);for(i=1;i<=k;i++){printf(“\n x=%6.5lf\n”,solut(x0,i);}｝附录4（松弛法）：%main()为主函数%用途：用松弛法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>。

第一章 绪论概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分。

随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。

这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。

而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。

历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”。

因其遗著《猜度术》于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年。

伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。

1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。

之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。

切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。

切比雪夫在1866年发表的论文《论均值》中，提出了著名的切比雪夫大数定律。

该论文给出如下三个定理[1]：定理1.1：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则对任何α， +++z y x 落在----+++++++222111c b a c b a c b a α和----+++-+++222111c b a c b a c b a α之间的的概率总小于211α-定理1.2：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则不论t 取何值，N 个量 ,,,z y x 的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过Nc b a N c b a t+++-+++2221111 的概率对任何t 都将大于Nt 21-。

福建师范大学现代远程教育毕业论文题 目： 浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法学习中心： 灌 云 奥 鹏 专 业： 数学及应用数学 年 级（入学批次）： 201103 学 号： ************ 学生姓名： * * 导师姓名： 严 晓 明2013 年 3月 15 日装 订 线浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法201103896627 刘明 指导老师：严晓明摘要： 最值问题是中学数学的重要题型之一。

以最值问题为载体，可以考查中学数学的几乎所有知识点，可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。

解决最值问题，从方法上来说，它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。

本文就高中数学的要求，结合一些典型试题进行分析和探讨，说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。

关键词：高中数学 最值 解题方法1、引言在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。

例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题，其题型多样，解法灵活，在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现，是历年高考重点考查的知识点之一，几乎每年的高考试题中都有出现。

2、最大（小）值及其几何意义一般地，设)(x f y =的定义域为A ，如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值，记为)(0max x f y =；如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≥，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值，记为)(0min x f y =.其几何意义是：函数图象上最高（低）点的纵坐标。

4 双线性函数与辛空间及对偶空间…………………………………………………………6
4.1双线性函数与辛空间………………………………………………………………7
4.2双线性函数与对偶空间…………………………………………………………10
5双线性函数的应用领域…………………………………………………………………13
6结束语……………………………………………………………………………………14
参考文献……………………………………………………………………………………14
致谢…………………………………………………………………………………………15
双线性函数及其应用
摘要：在以往的密码学研究当中,双线性配对函数(Weil配对和Tate配对)通常被用在密码分析学中:通过使用配对函数,可以将某些椭圆曲线上的离散对数问题约减到有限域上的离散对数问题。近些年来,密码学家发现,如果对配对函数进行适当的改动,并应用在某些合适的椭圆曲线上,就可以构造出低带宽的、可证明安全的(provable secure)、基于双线性配对函数的加密、签名和密钥协商等协议。这些突破性的工作为密码协议的构造开辟了新的思路:由于双线性配对函数所具有的特性,可以用来设计一些具有特殊性质的密码协议,这些协议一般很难用其他方法实现,或者即使可以实现,其效率也没有基于双线性配对函数的高。例如短签名、三方一轮的密钥协商协议、基于身份的加密方案等。本文主要研究双线性配对函数在构造新的密码协议方面的应用。主要研究内容包括:(1)总结了双线性配对函数的概念、所具有的特性,并介绍了Diffie-Hellman难题以及双线性配对函数在密码学中的应用;(2)提出了一个使用双线性配对函数的前向安全的数字签名方案:在一个基于双线性配对函数的签名方案的基础上构造了一个前向安全的签名方案。文中对方案的安全性进行了分析,并与已有的一些前向安全的签名方案进行了比较,结果表明该方案在效率和签名长度上有一定的优势;(3)本文对这样一种情况提出了解决方案:多个用户将加密数据(使用Alice的公钥)发送到不完全可信的数据存储服务器上(例如邮件服务器和文件服务器等)。如果Alice想让服务器能够查询加密文档是否含有某些单词并反馈结果,但同时又不希望给予服务器解密数据的能力。在这种情况下,需要特殊的技术来处理。本文构造了一个可查询的、基于公钥并与流密码结合的、使用双线性配对函数的加密系统,它能让服务器进行查询,而又不失数据的机密性。在该方案中,服务器并不能了解比查询结果更多的关于明文的信息;且当只给定密文时,不被信任的服务器不能得到关于明文的信息。(4)提出了一个盲聚合签名方案,它结合了盲签名和聚合签名两者的优点,使生成的盲签名聚合为一个聚合签名,节省了时间和存储空间,也降低了对传输带宽的要求。

又因为 所以有 所以
,故命题成立.
例6设函数 在闭区间 上连续且单调递减,求证:当 时
证明:把闭区间 划分成两个区间 和 ,则有
从而有 由积分中值定理可得:存在 使得: ,由于 在闭区间 上单调递减 ,知 ,则
即 ,因此有
1.4利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式
分析:设 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则存在 使得:
1.5利用分部积分法来证明不等式
分部积分法:若 与 可导,不定积分 存在,则 也存在,并且有:
利用分部积分法来证明不等式,实质上是利用分部积分法证明一个等式,然后在给出积分估计来实现证明的
例9:设 在 上具有连续导数, ,且 ,
求证:
证明: ,又因为
, ,故命题得证.
例10:设 在闭区间 上具有二阶导数并且导数连续, , 求证:
本科毕业论文（设计）
摘
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.积分不等式的证明方法灵活多样,而且技巧性和综合性也比较强.研究积分不等式的证明方法,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.本文综述了证明积分不等式的若干方法,通过对例题的分析,总结了求积分不等式的一般方法.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明:利用定积分的定义,利用积分的性质,利用拉格朗日中值定理、利用积分中值定理、利用泰勒公式 、利用二重积分等多种方法来证积分不等式及研究了杨格 不等式的证明,推广及应用和柯西——施瓦兹 不等式的证明,改进及应用.
(1-3)
同理 (1-4)
(1-3ห้องสมุดไป่ตู้(1-4)相加整理得

数学毕业论文(精选3篇)数学是所有理工科学科的基础，大学生中数学专业的人也很多，读书是学习，摘抄是整理，写作是创造，这里是小编给家人们分享的数学毕业论文【精选3篇】，仅供借鉴。

大学数学研究论文篇一【摘要】本研究以高职院校单招班级为调查对象，通过问卷调查法研究高职单招学生对高等数学课程分层教学的看法，采用有效的分层次教学形式，培养学生的学习能力、激发学生学习的内动力，进而为分层教学的具体实施提供参考。

【关键词】高等数学；分层次教学；教学改革高职单招的生源较为复杂，其中一类对象是中职生，其特点是在进入高等职业教育前具有相应专业课的理论知识，并具备一定的职业技能素养，但在公共文化课程方面与统招生相比，存在一定的差距。

目前来看，部分高职院校将高考统招生源和单招生源放在同一个班级上课，造成学生接收程度不一、教学效果不佳等问题。

本文将根据高职部分单招生源在高中时期数学基础薄弱的事实，对其教学方法及课程设置进行合理的分层教学探索[1]。

1分层教学改革的原因高职生源与本科生源在高等数学课程教学上的区别高等数学课程具有较强的工具性和实用性，是学生提高自身能力和素质的载体。

从教学内容来看，高职版虽然基本上是本科版的压缩，但是高职高等数学的教材和课堂结构、教学模式和教学方法应与本科高校不同，须改变传统的以教师讲授为主的满堂灌，改变课堂教学模式的单一性，寻找优质的适合高职生源的课程资源、教材及教学方法以满足学生的学习需求及毕业后的岗位需求。

用教学改革的办法推进高职单招班高等数学分层教学的课堂教学结构战略性调整，增强应对不同生源学生需求的适应性和灵活性，提高课堂教学的效率，改变满堂灌的课堂教学模式。

高职不同生源学生在学习高等数学时的基础差异高职院校主要招生形式是高考统招和对口单招。

生源结构的复杂性和生源素质的差异性对高职院校的教育教学工作带来了极大的考验和挑战。

不同生源的同层教学会让高职单招生源中原本基础不好的学生跟不上进度，进而造成部分学生缺乏独立学习能力和探索精神。

本科数学毕业论文题目毕业论文主要目的是培养学生综合运用所学知识和技能，理论联系实际，独立分析，解决实际问题的能力，你知道本科数学论文题目都有哪些吗?接下来店铺为你推荐本科数学毕业论文题目，仅供参考。

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编号：本科毕业论文题目:中值定理在不等式证明中的应用系院：数学科学系姓名: 王长普学号：专业：小学教育（数学方向)年级：2008级指导教师：钟铭职称：副教授完成日期：2012年5月摘要本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍.关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式AbstractThis paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function. in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point. And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality. And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussedKey words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals目录摘要 (I)Abstract (I)1 引言 (1)2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (2)2.1 拉格朗日中值定理 (2)2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 (2)2.2.1 直接公式法 (2)2.2.2 变量取值法 (4)2.2.3 辅助函数构造法 (5)3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用 (7)3.1 泰勒中值定理 (7)3.2 利用泰勒公式证明不等式 (7)3.2.1 中点取值法 (7)3.2.2 端点取值法 (9)3.2.3 极值取值法 (9)3.2.4 任意点取值法 (11)4 柯西中值定理在不等式证明中的应用 (14)4.1 柯西中值定理 (14)4.2 利用柯西中值定理证明不等式 (14)5 积分中值定理在不等式证明中的应用 (16)5.1 积分中值定理 (16)5.2 利用积分证明不等式 (16)结束语 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1 引言不等式也是数学中的重要内容，也是数学中重要方法和工具.中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也称微分中值定理)为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广.利用中值定理证明不等式，是比较常见和实用的方法.人们对中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态.此外，在极值问题中有重要的实际应用.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现.特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇.不等式的证明不仅形式多种多样，而且证明方式多变，常见的方法有：利用函数的单调性证明，利用微分中值定理证明，利用函数的极值或最值证明等，在众多方法中，利用中值定理证明不等式比较困难，无从下手，探究其原因，一是中值定理的内容本身难理解，二是证明不等式，需要因式而变，对中值定理的基础及灵活性要求较高.我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一，我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展.2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用2.1 拉格朗日中值定理拉格朗日（grange ，，法国数学家，力学家，文学家）.拉格朗日中值定理 设函数在闭区间[]上连续，在开区间内可导，则在开区间()内至少存在一点，使得(1)或 . (2)拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，即罗尔定理是拉格朗日定理当时的特殊情形.拉格朗日定理中，由于，因而可将表示为，. 这样（1）式还可表示为，. (3) 若令，则有，. （4） 一般称式（1）、（2）、（3）、（4）式为拉格朗日公式. 2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 2.2.1 直接公式法例2.1 证明不等式成立.分析 首先要构造一个辅助函数； 由欲证形式构成“形似”的函数区间. 运用拉格朗日公式来判断.证明 设.由拉格朗日公式（2）可得 ，. 等式两边同取绝对值，则有()2121-'sin sin x x f x x ⋅=-δ. 而 ()δδδcos 'sin ===x x f . 又因为 . 因此，就得到. 证毕.评注 此题如果单纯地应用初等数学的方法来证明，会难以得出结论，而应用了拉格朗日公式，再利用三角函数的简单知识，问题就游刃而解了.例2.2 证明不等式，（）成立.分析 此题利用反三角函数的有关知识，构造一个辅助函数，再利用拉格朗日中值定理就可以轻轻松松地解出此题.证明 设,在上满足拉格朗日定理的全部条件，因此有（），.因为，可得.例2.3[3] 证明())0,1(,)(11>->-<-<---b a p b a pa b a b a pb p p p p .证明 设函数，，则，．不难看出在区间上满足拉格朗日定理条件，于是存在，使. 由于，所以，上式为. 因为当时为单调增函数，，所以 . 两边同时乘以，则得)()()(111b a pa b a p b a pb p p p -<-<----ξ，即)()(11b a pa b a b a pb p p p p -<-<---， 证毕. 2.2.2 变量取值法例2.4 证明不等式成立，其中.分析 （1）根据题中式子构造一个相似函数，和定义区间.（2）利用对数的四则运算法则，将对数式整理成拉格朗日中值定理所满足的形式，从而得出结论.证明 设，.由拉格朗日公式（3），则有()θa b a ab a b a b --ln -ln ln +==. （1） 由不等式，可推得及. 代入（1），即 . 证毕.评注 解此题关健在于观察要证明的不等式中把对数式拆开成，再利用拉格朗日的公式来轻松地得出结论.例2.4 证明不等式，对一切，成立.分析 此题首先利用对数的有关知识，构造了一个辅助函数，再利用拉格朗日中值定理解出此题.证明 由拉格朗日公式（4），令，.则有 ()()hh h h ⋅+=+=+θ11ln -1ln 1ln ，. （1）当时，由不等式 ，可推得及. （2）当时，由不等式，可知 .由于， 可推（2）式成立，将（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.评注 证明此种不等式的关健是构造一个辅助函数，再利用初等数学的有关知识来证明不等式.例2.5 证明若，则.证明 令，则在R 上连续、可导，且.情形一 当时，由拉格朗日定理知使 . 整理有.因为，所以有.情形二 当时，由拉格朗日中值定理知，使 . 整理有.因为此时，三边同时乘以， 所以成立.综上所述，当时，成立.从以上例题可以发现：灵活构造“”的取值，不仅可使证明过程简单，有时甚至是解题的关键. 2.2.3 辅助函数构造法例2.6[4] 设函数在上连续，在内可导，又不为形如的函数．证明至少存在一点，使.证明 做辅导函数)()()()()(a x ab a f b f a f x g ---+=，则为形如的函数．因为不为形如的函数，所以至少存在一点，使)()()()(),()(b g b f a g a f c g c f ==≠，但.情形一 ，此时ab a f b f ac a f a c a b a f b f a f a c a g c g a c a f c f --=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=-->--)()()()()()()()()()()(.即 . 因为，所以由中值定理知，使 ， 从而有 .情形二 ，此时ab a f b f a b ac a b a f b f a f b f c b c g b g c b c f b f --=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=-->--)()()()()()()()()()()(， 即 .因为，所以由拉格朗日中值定理，使得 ， 从而有.综上所述，在内至少有一点使原式成立. 证毕. 许多证明题都不能直接应用定理进行证明．利用拉格朗日中值定理证明问题时，如何构造辅助函数，是证明的关键.3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用3.1 泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函数在含有的开区间内有直到阶导数，则对任一点，有10)1(02000)()!1()()(!))(()(!2)(''))((')()(++-++-+⋅⋅⋅+-+-+=n n n o o o x x n f x x n x n f x x x f x x x f x f x f ξ 其中是与之间的某个值，上式称为按的幂展开的阶泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函数展开点的不同情况来证明不等式. 3.2 利用泰勒公式证明不等式 3.2.1 中点取值法选区间中点展开是较常见的一种情况，然后在泰勒公式中取为适当的值，通过两式相加，并对某些项进行放缩，便可将多余的项去掉而得所要的不等式.下面以实例说明.例3.1[5] 设在区间内， > 0，试证：对于内的任意两个不同点和，有. 证明 将分别在及处展开，得()()()()()()20000!2'''x x f x x x f x f x f -+-+=ξ， 其中是与之间的某个值. 上式中分别取及，()()()()()()0120110101,,!2'''x x x x f x x f x f x f ∈-+-+=ξξ；()()()()()()()20202202002,,!2'''x x x x f x x x f x f x f ∈-+-+=ξξ. 上面两式相加，得()()()()()()()20222011021!2''!2''2x x f x x f x f x f x f -+-+=+ξξ.因为，所以，，即 .注 (1)若题中条件“”改为“”，而其余条件不变，则结论改为 .(2)若例1的条件不变，则结论可推广如下： 对内任意个不同点及，，且，有 .例3.2 设函数在区间[a ，b]上二阶连续可导，且，证明 其中.证明 将在处展开，得()()()()()()20000!2'''x x f x x x f x f x f -+-+=ξ. 其中是与之间的某个值. 因为，所以有()()()()()2000!2'''x x f x x x f x f -+-=ξ，上式在作定积分，然后取绝对值()()()()()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=ba abdx x x f x x x f dx x f 2000!2'''ξ ()()()()3220-24-2-''21a b M dx x x M dx x x f ba ba=≤=⎰⎰ξ. 即. 3.2.2 端点取值法当条件中出现，而欲证式中出现厂，展开点常选为区间两端点然后在泰勒公式中取为适当的值，消去多余的项，可得待证的不等式.例 3.3 函数在区间[a ，b]上二阶可导，且，证明：在内至少存在一点，使得.证明 将分别在及处展开，得()()()()()()()x a a x f a x a f a f x f ,,!2'''121∈-+-+=ξξ； ()()()()()()()b x b x f b x b f b f x f ,,!2'''222∈-+-+=ξξ. 上面两式中取，()()()212!2''2'2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛+a b f a b a f a f b a f ξ；()()()222!2''2'2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+a b f a b b f b f a b f ξ.上面两式相减，并由，得()()()()()()()()122122''''8)(''''8ξξξξf f a b f f a b a f b f +-≤--=-. 记()()(){}21''''max ''ξξξf f f ⋅=. 其中，. 于是，有()()()()()()()()224'',''4a b a f b f f f a b a f b f --≥-≤-ξξ即.3.2.3 极值取值法当题中不等式出现函数的极值或最值项，展开点常选为该函数的极值点或最值点.例3.4[6] 设函数)在区间内二阶可导，且存在极值及点，使，试证：至少存在一点，使.证明 将在处展开，得()()()()()()22'''c p f c x c f c f x f -+-+=！ξ，其中， 介于与之间. 上式取，并由，得，其中介于与之间. 两边同乘以，得()()()()()()22!2''c p c f f c fc f p f -+=ξ， （1）当时，上式取，得()()()()()()02200,,''8!2''x a f a b x a f x f ∈-≤-=ξξξ. 即.（2）当时，上式取，同理可得()()()()b x x f a b f ,,8''002∈-≥ξξ.由(1)及(2)得，存在，使得.再由的连续性，得[]()()[]()x f a b x f b a x b a x ,2,max 8''max ∈∈-≥.注 (1)当题中条件“连续”去掉，而其他条件不变时，结论可改为在内至少存在一点 ，使得成立(2)当题中条件添加时，结论可改为：在内至少存在一点，使得成立. 3.2.4 任意点取值法当题中结论考察的关系时，展开点常选为该区间内的任意点，然后在泰勒公式中取为适当的值，并对某些项作放缩处理，得所要的不等式.例3.5[7] 函数在区间上二阶可导，且≤A ，≤ B ，其中A ，B 为非负常数， 试证：，其中.证明 将在处展开，()()()()()()20000!2'''x x f x x x f x f x f -+-+=ξ，其中介于与之间. 上式中分别取及，()()()()()()()01201000,,!2'''x a x a f x x x f x f a f ∈-+-+=ξξ； ()()()()()()()b x x b f x x x f x f b f ,,!2'''02202000∈-+-+=ξξ. 上面两式相减，得()()()()()()()()[]2012020''''21'x a f x b f a b x f a f b f ---+-=-ξξ. 即()()()()()()()()[]2012020''''21'x a f x b f a b a b a f b f x f -------=ξξ.故()()()()()()()()()[]2012020''''211'x a f x b f a b a f b f a b x f -+--++-≤ξξ ()()()[]202022a x x b a b Ba b A -+--+-≤ .即，再由的任意性， 故有，其中.例3.6 函数在区问上二阶可导，且，，试证. 证明 将在处展开，()()()()()()2!2'''t x f t x t f t f x f -+-+=ξ，其中车于与之间. 上式中分别取及，()()()()()()()t a t a f t x t f t f a f ,,!2'''121∈-+-+=ξξ；()()()()()()()b t t b f t x t f t f b f ,,!2'''222∈-+-+=ξξ. 上边两式相加，得()()()()()()()[]2221''''412'21t b f t a f t b a t f t f -+---+-=ξξ. 上式两端在上对作积分，()()()()()()()[]⎰⎰⎰-+---+-=b ab a badt t b f t a f dt t b a t f dt t f 2221''''412'21ξξ()()()()()[]d t t b f t a f dt t f b ab a ⎰⎰-+---=2221''''41ξξ.于是有()()()()()[]d t t b f t a f dt t f b ab a⎰⎰-+--=2221''''81ξξ，()()()[]()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤⎰⎰⎰bab a badt t b f dt t a f dt t f ]''[''812221ξξ()()()128322a b M dt t b dt t a M bab a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤⎰⎰. 即.注 从不等式的特点出发，应用实际范例给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点，已知区间的两端点，函数的极值点或最值点，已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好地运用泰勒中值定理证明不等式.4 柯西中值定理在不等式证明中的应用4.1 柯西中值定理柯西中值定理 设函数，满足 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3）对任一有， 则存在， 使得=.4.2 利用柯西中值定理证明不等式例4.1 设函数在内可微，，证明：在内，.证明 引入辅助函数在[][]()()()0,,1,1x x o x ∈-或上应用柯西中值定理，得 因为()()()00,00,1,f g f x '==≤且所以()()()()1 1.f x f f x x g x ξ'=≤⇒≤≤ 例4.2[8] 证明不等式()()221ln 110.x x x x x +++>+> 证明 令()()()22ln 1,11,f x x x x g x x =++=+-则上式转化为由于上应用柯西中值定理，得()()()()()()()()0,0f x f x f f g x g x g g ξξ'-=='-于是又转化为.因为()()()()22222ln 111ln 111f g ξξξξξξξξξξξξ+++++++'==+'+而当()22101ln 10,x ξξξξξ>>+++>时，所以()()()()()()1,f f g f x g x g ξξξξ'''>⇒>⇒>' 即()221ln 11.x x x x +++>+例4.3[9] 若，求证：()21112cos cos .x x x e e x x e ->-证明 证明()21112cos cos x x x e e x x e ->-，实际上只需证，设()()()()[]12,cos ,,,t f t e g t t f t g t x x ==则在上，满足柯西中值定理条件， 所以 . 即 .()()()2111212121cos cos cos cos cos cos sin x x x cc e e x x e x x e x x e c-=->->-. 其中用到是单调增加函数.5 积分中值定理证明不等式5.1积分中值定理定理5.1(积分第一中值定理) 若在区间上连续，则在上至少存在一点使得()()().,a b a a b f dx x f b≤≤-=⎰ξξ定理5.2(推广的积分第一中值定理) 若在闭区间上连续，且在上不变号，则在至少存在一点，使得()()()()b a dx x g f dx x g x f baba≤≤=⎰⎰ξξ,.5.2 利用积分中值定理证明不等式例5.1[11] 证明.证明 估计积分的一般的方法是:求在的最大值和最小值，又若，则()()()()dx x g M dx x g x f dx x g m bab ab a⎰⎰⎰≤≤.本题中令()()()100,119≤≤≥=+=x x x g xx f ，. 因为.所以1011212101109109109=<+<=⎰⎰⎰dx x dx xx dx x . 例5.2 证明.证明 在区间上求函数的最大值和最小值. ，令，得驻点.比较，，知为在上的最小值，而为在上的最大值.由积分中值定理得()()0202220412-≤≤-⎰--e dx e ex x ，即.注 由于积分具有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如1和2例题时，可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.结束语中值定理是一条重要定理，它在微积分中占有重要的地位，起着重要的作用， 深入挖掘渗透在这一定理中的数学思想，对于启迪思维，培养创造能力具有重要 意义.伟大的数学家希尔伯特说“数学的生命力在于联系” ．数学中存在着概念之间的亲缘关系，存在着理论结构各要素之间的联系，存在着方法和理论之间的联系， 存在着这一分支邻域与那一分支邻域等各种各样的联系，因此探索数学中各种各样的联系乃是指导数学研究的一个重要思想．实际上，具体地分析事物的具体联系，是正确认识和改造客观世界必不可少的思维方式在一定的意义上说，数学的真正任务就在于揭示数学对象之间、数学方法之间的内在固有联系，这一任务的解决不断推动数学科学向前发展．中值定理在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明.今后应当注重研究中值定理各定理之间的联系，更好的应用中值定理解决不等式的证明.参考文献[1] 高尚华.华中师范大学第三版.数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社，2001，(06).[2] 董焕河、张玉峰.高等数学与思想方法[M].陕西:西安出版社，2000，(09).[3] 高崚峰.应用微分中值定理时构造辅助函数的三种方法[J].四川:成都纺织高等专科学校学报.2007，(07):18-19.[4] 张太忠、黄星、朱建国.微分中值定理应用的新研究[J].江苏:南京工业职业技术学院学报.2007，(8):12-14.[5] 张元德、宋列侠.高等数学辅导30讲[M]. 清华大学出版社，1994，(6).[6]AI Jing- of Convex Function[J].Journal of Kaifeng University， Vol.17，No.2，Jun.2003:.[7] 钟朝艳.Cauchy中值定理与Taylor定理得新证明[J].云南:曲靖师专学报.1998，(9):9.[8] 荆天.柯西中值定理的证明及应用[J].北京:科技信息(学术版).2008，(06):14.[9] 葛健牙、张跃平、沈利红.再探柯西中值定理[J].浙江:金华职业技术学院学报.2007，(06):23.[10]刘剑秋、徐绥、高立仁.高等数学习题集(上)[M].天津:天津大学出版社，1987，(07).[11] 刘法贵、左卫兵.证明积分不等式的几种方法[J].高等数学研究，2008，(06).[12] 蔡高厅.高等数学[M].天津大学出版社，1994，(06).[13] W. 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题 目：函数一致连续性的判断及应用目：函数一致连续性的判断及应用目：函数一致连续性的判断及应用毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

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论文题目：函数一致连续性的判断及应用作者单位：数学与统计学院作者签名：2014年 5月17日目 录摘 要要 (4)引言 (5)1. 1. 函数连续与函数一致连续的关系函数连续与函数一致连续的关系 (6)1.1函数连续性与函数一致连续性的区别函数连续性与函数一致连续性的区别............................. .............................6 1.2 1.2 函数连续性与函数一致连续性的联系函数连续性与函数一致连续性的联系............................ 8 2. 2. 一元函数一致连续的判断和应用一元函数一致连续的判断和应用 .. (9)2.1 2.1 一元函数在有限区间上的一致连续性一元函数在有限区间上的一致连续性........................... 9 2.2 2.2 一元函数在无限区间上的一致连续性一元函数在无限区间上的一致连续性......................... 11 2.3 2.3 一元函数在任意区间上的一致连续性一元函数在任意区间上的一致连续性......................... 13 3. 3. 二元函数一致连续性二元函数一致连续性 ................................................18 3.1 3.1 二元函数一致连续的概念二元函数一致连续的概念.................................... 18 3.2 3.2 二元函数的一致连续性的判断及应用二元函数的一致连续性的判断及应用.......................... 18 结束语.. (19)参考文献 (19)致谢 (21)函数一致连续性的判断与应用摘 要：本文从函数连续和一致连续的概念和关系出发，对函数的一致连续的定义进行了深入的分析，之后主要对一元函数在不同类型的区间进行了探讨、总结和应用，还将部分一元函数的一致连续的判定方法推广到二元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识. .关键词：连续；一致连续；连续函数连续；一致连续；连续函数The judgment and Application of Uniformly ContinuousFunctionAbstract: This article from the concept of uniformly continuousfunction is continuous and relation. the definition of uniformlycontinuous of function carried on the thorough analysis, then we researchthe methods of decisions of uniformly continuous function in differentkinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to functionof two variables in different region.Key words : Continuity; Uniformly Continuity; Continuity Function引言函数一致连续性是数学分析的一个重要概念，理解函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．函数一致连续不仅仅是闭区间上连续函数黎曼可积的基础，而且与以后的含参量积分、函数项积分等概念有着密切的联系．所以，找出函数一致连续性的条件是数学分析中的一个重要内容重要内容..因此，本文探讨了函数一致连续性的判定方法，基本性质及其应用，并且对函数一致连续性的判定方法，基本性质及各个应用进行了深入研究，目的是使读者能更好的掌握函数的一致连续性．使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识面的理解和认识. .数学概念对数学的发展是不可估量的，函数的概念对于数学发展的影响，可以说是贯穿古今．函数概念的发展历史，不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且能帮助我们领悟数学概念及数学的学习有很大帮助．脉认识的清晰度，而且能帮助我们领悟数学概念及数学的学习有很大帮助．1717世纪中叶，世纪中叶，笛卡尔引入变数的概念，笛卡尔引入变数的概念，笛卡尔引入变数的概念，制定了解析几何学，制定了解析几何学，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程从而打破了局限于方程的未知数的理解；的未知数的理解；1919世纪中期，法国数学家黎曼吸收了莱布尼茨，达郎贝尔和欧拉的成果，第一次提出了函数的定义；随后，牛顿，莱布尼茨分别独立的建立了微分学说．这期间，随着数学的发展，各种函数大量出现，但函数还没有给出一个一般的定义．国内的主要理论成书于十九世纪．它逐步形成一门逻辑严密，系统完整的学科，而且在各个方面获得了十分广泛的应用，成为处理有关连续量基础的强有力的工具．文献1,2,5作为论文的基础，主要是参考了函数一致连续的概念和几个基本的判别方法。

太原师范学院本科毕业论文题目：对中考压轴题的探究学院：数学系专业：数学与应用数学年级：2013级 1班******指导教师：杨*完成日期：2017年 x月xx日摘要压轴题，顾名思义，在最后面才会出现的题，在数学这门学科的正规考试中会有压轴题，这一类题占分值多，难度也大点，具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难寻、解法灵活这些特点，主要考查学生的综合思维能力，学生想要解出题来拿到分数不是一件容易的事，所以通常学生们会从内心抗拒做压轴题，得分率也都很低甚至有人根本不得分，要想从这道题获得好的收获，不仅仅需要有扎实的基础和灵活应用的能力，还要对压轴题进行一点研究，不能因为它难就不去碰它。

俗语说“家中有粮，心里不慌。

”其实如果对历年中考的压轴题做一些分析，就会发现，其实也不难，也有其规律可循。

这篇论文就是对最近几年中考压轴题的题型，提问方式，解法做了一些研究，希望能帮助学生理解题意，做好中考数学的压轴题。

关键字：中考数学;压轴题；题型；解法Contents of the abstract．Key Words：Write Criterion；目 录摘 要 ................................................................................................................................... II Abstract . (II)引 言 (1)1 正文格式说明 (1)1.1 论文格式基本要求 (1)1.1.1 页面设置 (1)1.2 论文页眉页脚的编排 (1)1.3 论文正文格式 (2)2 图表及公式的格式说明 (2)2.1 图标格式说明 (2)2.2 数学符号公式的说明 (2)结 语 (2)参考文献 (2)致 谢 (4)注：在该页面中点击鼠标右键，选择“更新域…”，在弹出窗口中选择“更新整个目录”，确定。

毕业论文题目积分中值定理在数学分析中的应用学生姓名李正邦学号0609014168 所在院(系) 数学系专业班级数学与应用数学专业2006级5班指导教师李金龙完成地点陕西理工学院2010年 5月 30日积分中值定理在数学分析中的应用优秀论文范慕斯（云南师范大学数学学院数学与应用数学专业20111级2班）指导老师：成龙[摘 要] 本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用,这些应用主要是：一.求函数在一个区间上的平均值;二.估计定积分的值;三.求含有定积分的极限;四.确定积分的符号;五.证明中值ξ的存在性命题;六.证明积分不等式;七.证明函数的单调性.[关键词] 积分;中值;定理;应用1 引言积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,有较高的理论价值和广泛应用.本文就其在解题中的应用进行讨论.2 预备知识定理 2.1[1](积分第一中值定理) 若()x f 在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ使得()()()b a a b f dx x f b≤≤-=⎰ξξ,a.证明 由于()x f 在区间[a,b]上连续,因此存在最大值M 和最小值m .由()],[,b a x M x f m ∈≤≤,使用积分不等式性质得到()()()a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰,或()()M dx x f a b m b a≤-≤⎰1.再由连续函数的介值性,至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()().1dx x f ab f ba ⎰-=ξ 定理 2.2[1](推广的积分第一中值定理) 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且()x g 在[]b a ,上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ,使得()()()().,b a dx x g f dx x g x f baba≤≤=⎰⎰ξξ证明 推广的第一中值积分定理不妨设在[]b a ,上()0≥x g 则在[]b a ,上有()()()()，x Mg x g x f x mg ≤≤其中m ,M 分别为()x f 在[]b a ,上的最小值和最大值,则有()()()(),dx x g M dx x g x f dx x g m bab ab a⎰⎰⎰≤≤若()0=⎰dx x g ba ,则由上式知()()0=⎰dx x g x f ba,从而对[]b a ,上任何一点,定理都成立.若()0≠⎰dx x g ba则由上式得()()(),M dxx g dx x g x f m b aba≤≤⎰⎰则在[]b a ,上至少存在一点ξ,使得()()()(),⎰⎰=b abadxx g dx x g x f f ξ 即()()()().,b a dx x g f dx x g x f baba≤≤=⎰⎰ξξ显然,当()1≡x g 时,推广的积分第一中值定理就是积分中值定理3 积分中值定理的应用由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理.在使用积分中值定理时要注意以下几点：(1)在应用中要注意被积函数在区间[]b a ,上连续这一条件,否则,结论不一定成立.例如显然()x f 在0=x 处间断. 由于()()()()⎰⎰⎰⎰⎰=+-=+=--40440444,0cos cos ππππππxdx dx x dx x f dx x f dx x f但⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ在上,()0≠x f ,所以,对任何⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ都不能使 ()()ξππf dx x f 244=⎰-.(2) 定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉. 例如 令()(),2,2,sin ,sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈==ππx x x g x x f由于()()()0|cos sin 21sin 2222222=-==---⎰⎰ππππππx x x xdx dx x g x f ,但()⎰⎰--==2222,0sin ππππxdx dx x g所以,不存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππξ, 使()()()().2222dx x g f dx x g x f ⎰⎰--=ππππξ(3) 定理中所指出的ξ并不一定是唯一的,也不一定必须是[]b a ,的内点.例如令()[]b a x x f ,,1∈=,则对[],,b a ∈∀ξ都有()()()a b f dx x f ba-=⎰ξ,这也说明了ξ未必在区间[]b a ,的内点. 下面就就其应用进行讨论.3.1 求函数在一个区间上的平均值例1 试()x f sin x =求在[]π,0上的平均值. 解 平均值().2|cos 1sin 100πππξππ=-==⎰x xdx f例2 试求心形线()πθθ20,cos 1≤≤+=a r 上各点极经的平均值.解 平均值()()().|sin 2cos 1212020a a d a r =+=+=⎰ππθθπθθπϕ注 在解某区间上一个函数的平均值时,我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分,然后积分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一中值定理,所以求解其类问题时,一定要理解积分中值定理的定义. 3.2 估计定积分的值例3 估计dx xx ⎰+1036191的值.解 由推广的积分第一中值定理,得,112011113611936103619ξξ+=+=+⎰⎰dx x x x 其中[]1,0∈ξ 因为,10≤≤ξ所以,11121363≤+≤ξ即，201112012201363≤+≤ξ 故.201122011036193≤+≤⎰dx x x例 4 估计dx x ⎰+π20cos 5.011的值.解 因为()xx f cos 5.011+=在[]π2,0上连续,且[]2)(max 2,0=x f π,[]32)(min 2,0=x f π, 所以由积分第一中值定理有πππππ422cos 5.0112324320=⋅≤+≤⋅=⎰dx x.在估计其类积分的值时,首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值,然后再利用积分中值定理就迎刃而解了.例 5 估计dx x x ⎰+191的值.解 因为()xx x f +=19在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()()()238121718x x x x f ++='在()1,0内无解,即()[]1,0,0∈≥'x x f ,等号仅在0=x 时成立.故()x f 在[]1,0内严格单调增, 即()()()21100=<<=f x f f ,所以由积分第一中值定理有211019<+<⎰dx xx .在估计其类积分的值时,首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续,在开区间上可导,然后判断函数在积分区间上的单调性,最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了.综上,在利用积分中值定理估计积分的值时,我们要根据不同的题型给出不同的解决方法,这也是我们在学习过程中逐渐要培养的,积累的好习惯. 3.3 求含有定积分的极限例6 求极限n p dx xxpn n n ,,sin lim⎰+∞→为自然数.解 利用中值定理,得因为()xxx f sin =在[]p n n +,上连续,由积分中值定理得[]p n n p dx x x pn n+∈⋅=⎰+,,sin sin ξξξ当∞→n 时,∞→ξ,而|ξsin |1≤. 故dx xxpn nn ⎰+∞→sin lim =p .sin limξξξ∞→=0. 例7 求xdx n n ⎰+∞→2sin limπ.解 若直接用中值定理xdx n n ⎰+∞→20sin limπ=ξπn sin 2,因为20πξ≤≤而不能严格断定x nsin 0→,其症结在于没有排除,故采取下列措施xdx nn ⎰+∞→2sin limπ=xdx n⎰-ξπ20sin +xdx n ⎰-22sin πξπ.其中ξ为任意小的正数.对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有xdx n n ⎰-+∞→ξπ2sin lim.=0sin 2lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ξξπn n ,⎪⎭⎫ ⎝⎛<-≤≤220πξπξ. 而第二个积分⎰-22sin πξπxdx n≤dx x n⎰-22sin πξπ≤⎰-22πξπdx =ε,由于ε得任意性知其课任意小. 所以xdx nn ⎰+∞→2sin limπ=xdx n⎰-ξπ20sin +xdx n ⎰-22sin πξπ=0.注 求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值ξ不仅依赖于积分区间,而且还依赖于根式中自变量n 的趋近方式. 3.4 确定积分的符号例8 确定积分dx e x x ⎰-333的符号.解dx e x x⎰-333=dx e x x⎰-033+dxx e x x⎰33=()()t d e t t ----⎰330+dx e x x ⎰303=dt e t t -⎰033+dx e x x ⎰33=-dt e t t -⎰33+dx e x x ⎰33=()dx e e x x x --⎰303利用积分中值定理,得dx e x x ⎰-333=()ςςς--e e 33≥0.(其中30≤≤ς)又xe x 3在[]3,3-上不恒等于0,故0333>⎰-dx e x x .注 在解决其类题时,我们常常会以0作为上下限的中介点,然后把原积分写成以0为中介点的两个积分的和,积分化就成两个以0为中介点且上下限一样的积分相加,最后利用积分中值定理确定积分的符号.这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性. 3.5 证明中值ξ的存在性命题例9 设函数()x f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()()⎰=13203f dx x f ,证明()1,0∈∃ξ,使()0='ξf ,证明 由积分中值定理得()()()()ηηf f dx x f f =⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰321330132,（其中132≤≤η）又因为()x f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导.故()x f 在[]η，0上满足罗尔定理条件,可存在一点()()100，，⊂∈ηξ,使()0='ξf . 注 在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时,一般应用积分中值定理求解,掌握积分中值定理在解此类问题时至关重要,是我们必须要好好掌握的. 3.6 证明不等式例10 求证.201122011036193<+<⎰dx x x证明.11201111336119361619ξξ+=+=+⎰⎰dx x dx x x其中[]1,0∈ξ,于是由11121363≤+≤ξ即可获证.例 11 证明21232102<-+<⎰x x dx . 证明 估计连续函数的积分值()dx x f ba⎰的一般的方法是求()x f 在[]b a ,的最大值M 和最小值m ,则()()()a b M dx x f a b m b a-<<-⎰.因为2321492222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+≤x x x []()1,0∈x , 所以21232102<-+<⎰x x dx . 例 12 证明.1011210119<+<⎰dx xx 证明 估计积分()()dx x g x f b a⎰的一般的方法是:求()x f 在[]b a ,的最大值M 和最小值m ,又若()0≥x g ,则()()()()dx x g M dx x g x f dx x g m bab ab a⎰⎰⎰≤≤.本题中令()()0,119≥=+=x x g xx f ()10≤≤x .因为11121≤+≤x[]()1,0∈x所以1011212101191919=<+<=⎰⎰⎰dx x dx xx dx x . 例13 证明2241222e dx e exx≤≤⎰--.证明 在区间[]20，上求函数()xx e x f -=2的最大值M 和最小值m .()()xxe x xf --='212,令()0='x f ,得驻点21=x . 比较⎪⎭⎫⎝⎛21f ,()0f ,()2f 知4121-=⎪⎭⎫⎝⎛e f 为()x f 在[]20，上的最小值,而()22e f =为()x f 在[]20，上的最大值.由积分中值定理得()()0202220412-≤≤-⎰--e dx e ex x ,即2241222e dx e exx≤≤⎰--.注 由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时,也常考虑用积分中值定理,以便去掉积分符号,若被积函数是两个函数之积时,可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如11和12例题时,可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.3.7 证明函数的单调性例 14 设函数()x f 在()∞+，0上连续,()()()dt t f t x x F k⎰-=02,试证:在()∞+，0内,若()x f 为非减函数,则()x F 为非增函数.证明 ()()()()()dt t tf dt t f x dt t f t x x F kk k ⎰⎰⎰-=-=00022,对上式求导,得()()()()()(),20x xf dt t f x xf x xf dt t f x F kk -=-+='⎰⎰利用积分中值定理,得()()()()()[]()x x f f x x xf xf x F ≤≤-=-='ξξξ0,,若()x f 为非减函数,则()()0≤-x f f ξ, 所以()0≤'x F ,故()x F '为非减函数.综上所述,积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化.因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.在使用该定理时,常与微分中值定理或定积分的其他一些性质结合使用,是所求问题迎刃而解.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.217-219. [2]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990.92-95.[3] 刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义[M].第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47. [4]刘鸿基.数学分析习题讲义[M].江苏:中国矿业大学出版社,1999.85-92.[5]石建成,李佩芝,徐文雄.高等数学例题与习题集[M].西安:西安交通大学出版社,2002.168-170. [6]李惜雯.数学分析例题解析及难点注释[M].西安:西安交通大学出版社,2004.311-313. [7]白永丽,张建中.略谈积分中值定理及应用[J].平顶山工业职业技术学院.(2003) 01-03. [8]刘开生,王贵军.积分中值定理的推广[J].天水师范学院. Vol.26,No.2,(2006) 02-0023-02. [9]周建莹,李正元.高等数学解题指南[M].北京:北京大学出版社,2002.212-214. [10]刘剑秋,徐绥,高立仁.高等数学习题集(上)[M].天津:天津大学出版社,1987.254-255 [11]吴炯圻.数学专业英语[M].第二版.北京:高等教育出版社,2009.285-309.[12]AI Jing-hua.Characters Equal Definitions and application of Convex Function[J].Journal of Kaifeng University, V ol.17,No.2,Jun.2003.122-164.[13] W. Rmdin, Principle of Mathematical Analysis （Second edition ）, Mc Graw-Hill , New York, 1964.96-102.Mean Value Theorem in Mathematical AnalysisLi Zhengbang(Grade06,Class5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li JinlongAbstract: This paper describes the mean value theorem in mathematical analysis application note and a fewof the major applications.These applications are mainly:1. Demand function in an interval on the average;2. The estimated value of definite integral;3. Order to contain the limits of definite integrals;4.Define integral ofsymbol;5. Proof of the existence of the value proposition ;6. To prove integral inequality,7. To provemonotonicity of a function.Key words:intergral;average-value;theory;applied.。