大气动力学方程组全局分析的研究进展_谢志辉 (1)

第14卷第2期1999年4月地球科学进展ADVANCEINEARTHSCIENCESVol.14　No.2Apr.,1999

大气动力学方程组全局分析的研究进展

谢志辉

(北京大学地球物理系,北京　100871)丑纪范

(北京气象学院,北京　100081)

摘　要:把天气预报问题提成初值问题的反问题,可以使用多时刻的历史资料去补充和完善数值预

报模式。借助于几何直观可以对大气动力学方程组的极限解集进行全局定性分析,运用胞映射的概念和方法可以对大气系统的数值模式的整体特征进行全局分析和借助概率论的语言进行统计描

述。还可以给出“气候”这个模糊概念的严格的数学定义及定量研究大气可预测性问题的途径。全

局分析是研究气候不同于简单初值问题的另外一条道路。综述了这方面研究的最新进展。

关键词:大气动力学;数值天气预报;大气方程组;多时刻资料;反问题;全局分析;统计描述中图分类号:P433　文献标识码:A　文章编号:1001-8166(1999)02-0133-07

短中期数值天气预报已经取得成功并投入业务使用,但在半个月以上的长期预测和短期气候的研

究中,却遇到很大的困难。针对这些困难,除了可以

继续沿着正问题的道路进行完善之外,还可以用反

问题的方法来补充数值预报模式。可以用非线性动力学的方法由微分方程本身来研究其解的性质,去

了解大气运动的总体宏观特征。

本文先从动力学方法中遇到的问题谈起,这是问题的由来,接着论述了初值问题的反问题,可以使

用多时刻的历史资料去补充和完善数值预报模式,

然后简单介绍在进行大气动力学方程组全局分析时

的数学方法和物理概念,并重点介绍这一方面的研究进展。

1　初值问题与演变问题

1.1　初值问题及其局限性

瑞士物理学家和数学家Euler(1755)写出了理

想流体动力学方程组,挪威气象学家Bjerknes(1904)

提出天气预报问题应提成大气运动方程组的初值问题,英国数学家和气象学家Richardson(1922)提出了

逐步数值积分求出数值解的思想〔1〕,Charney等〔2〕第一次用准地转一层模式使短期数值天气预报获得了成功。

在数学上把天气(气候)预报问题提成初值问

题,即用动力学的方法进行预报,从认识论上讲就是

把大气看成是确定论的系统,这在较短的时间尺度内是行得通的,而在时间较长的时候却是有问题的,

主要是大气运动是非线性、强迫和耗散的。由这三

大特点,可以得到一幅这样的图像:误差是随着时间呈指数增加的,初始场的作用随着时间是衰减的,必

须考虑能量的补充和耗散。Lorenz〔3〕发现了“蝴蝶效

应”,指的就是初始场微小的不确定性的指数放大。

这就提出了确定论预报的可预报性问题,中期数值天气预报逐日预报的可预报时限大约是两三周左右

的时间。

1.2　动力—统计相结合丑纪范〔4,5〕对长期预报为什么要走动力—统计

相结合的道路的必要性进行了论述。动力方法是确

定论的,它认为天气的未来状态是现在状态和制约

这种状态的变化规律所确定的必然结果。统计方法是概率论的,它承认天气的未来状态有不确定性,期

望依据天气的现在状态和近期的演变情况,对未来

国家科委攀登计划基础性研究重大关键项目“气候动力学和气候预测理论的研究”资助。　第一作者简介:谢志辉,男,1964年2月出生,工程师,主要从事天气学和气候学研究。　收稿日期:1998-04-28;修改稿:1998-08-17。作出概率的推断。然而现在作预报时却没有把这两

种方法的预报依据有机地结合起来加以利用。统计

方法利用了积累的大量观测资料,却没有利用或充分利用人们掌握了的物理知识。动力方法正巧相

反,它利用了物理知识,却没有利用或充分利用已有

的大量实际历史资料。把预报问题提成反问题,可

以取长补短。1.3　正问题与反问题

对三周以上的长期天气预报和短期气候预报问

题而言,一种作法是所谓的数值预报的正问题,即从完善中期数值模式本身(建立尽量精确的模式)来继

续长期预报问题的研究,如完善方程组、提高时空分

辨率、完善各种物理过程、建立耦合模式和利用更加

高速的计算机等,目前国际上的一个主要作法是用中期数值预报模式作长时间积分,即所谓的延伸预

报,对月以上的延伸预报,目前仍然达不到用相关系

数0.5作为业务预报的最低标准,特别是进入90年

代以来预报水平提高不大,所以目前业务化长期天气预报和短期气候预测仍然以经验方法和统计方法

为主〔6〕。而另一种作法是把天气(气候)预报的问题

提成反问题〔7～11〕,即认为初值是不精确的,是有误差的,模式也是不能完全反映实际大气的运动规律的,

需要求助于统计方法,可以利用多时刻的大气的历

史演变资料来订正初值和模式,补充瞬时初值问题

的不足。反问题是相对正问题而言的,如果在预报模式沿着正问题方向已经改进的基础上,再沿着反

问题方向改进模式,无疑就是对模式改进后的改进,

其效果是比较好的。一般的顺序是沿正问题方向改进模式的工作先行,沿反问题改进模式的工作随后,

后者总是跟踪前者。

1.4　用反问题的方法来补充数值预报模式

顾震潮〔7〕最早比较了用初值问题的方法作数值预报与用天气历史演变来作预报的不同之处,证明

了作为初值问题的天气形势数值预报与由地面天气

历史演变作预报是等价的。顾震潮〔8〕还提出了天气数值预报可以提成演变问题,从而可以使用过去的

历史资料。丑纪范〔9〕则进一步将微分方程的定解问

题转变为等价的泛函极值问题———变分问题,推广

了微分方程的解的概念,引进了新型的“广义解”,并利用希尔伯特空间(H空间)的理论,论证了“广义

解”是比原来意义下的“正规解”更接近方程所描述

的物理现象的“实况”。郭秉荣等〔12〕给出了一种以大气温压场连续演变表征下垫面热状况的长期天气数值预报方法。邱崇践等〔13,14〕对正压涡度方程的未知部分,用一种模式识别的扰动方法,进行了模拟试

验。邱崇践等〔15〕还针对模式中的敏感参数,认为可

以用近期大气演变的实况资料提供的信息修正模式参数,用简单的准地转正压模式进行了数值试验,结

果令人满意。黄建平等〔16〕以Lorenz模型为例进行了用观测资料反演模型的试验,郜吉东等〔17〕以一维

非线性平流扩散方程为例,用共轭方程的解法对反

问题进行了理想场的数值试验,表明共轭方程法非常有效。

至于如何利用以演变观点看问题的预报员经

验,丑纪范〔10,18〕提出了可利用预报员在历史天气图中找相似的方法,在此基础上,邱崇践等〔19,20〕建立了

相似—动力的准地转模式,黄建平等〔21,22〕建立了一个

相似—动力的季节预报模式,取得了较好的结果。许多学者先后从不同原理和准则提出了能容纳

多时次资料的模式,郑庆林等〔23〕给出了一个能够使用多时刻观测资料的准地转模式,丑纪范〔24〕提出了

用于寒潮预报的地转两参数中期数值预报多时刻模

式。曹鸿兴〔25,26〕从不可逆过程的记忆概念出发,建立了包含多时次观测资料的自忆性方程,给出了正

压无辐散模式和正压原始方程模式的自忆性方程,

能将现有的多时次数值预报模式统一在自忆性方程的框架中,随着记忆函数的不同求取方式,自忆性方

程可构成数值、统计—动力和多时刻模式。谷湘

潜〔27〕则把大气自忆原理引入了谱模式。多方面的数值试验研究,充分证实了这一从反

问题的角度改进预报的途径在理论上是可行的,且

模拟试验的效果是好的〔11〕。

2　进行全局分析的原因以及数学物理

基础

全局分析又叫全局渐近分析,研究的是确定论

系统的长期行为(渐近特征),是系统能够取到的所

有初值在时间趋向于无穷大时的长期行为〔28〕。以下数学方法和物理理论是进行大气动力学方程组全

局分析的基础。

2.1　几何理论由于叠加原理对非线性微分方程不成立,至今

非线性微分方程在数学上尚没有系统的解法(没有

解析解),摆脱困境的一种方法是建立了几何理论,这是上一个世纪由法国数学家Poincare发展起来的

定性分析理论。引进相空间的概念,用几何的语言

代替分析的语言,不仅增加了直观的理解,而且通过类比的直观想法使我们能够得到一些新的结果〔29〕。134 地球科学进展 第14卷2.2　胞映射理论

大气动力学方程组的空间变量和时间变量都是

连续的,有无穷个。这就必须进行离散化。偏微分方程化为有限阶的常微分方程是空间变量的离散

化,常微分方程取时间步长进行数值积分是时间变

量的离散化。Hsu〔30,31〕指出在电子计算机上进行数

值模拟时,实际上对状态变量本身也进行了离散化,他提出的胞映射概念是对非线性全局分析的重要贡

献。胞映射理论是研究非线性问题的一个有力工

具。计算机中的数只有有限的字长,舍入误差是不可避免的。设想将n维实空间(Rn)空间划分成一

个个n维小立方体,称为胞。任何数值模式,都将

状态变量离散化为Rn空间中的胞,经过一个时间

步长的积分变为另外的胞。所以任何数值模式并非是Rn空间中的点映射而是Rn空间中的胞映射。如

果数值模式中的变量是有界的话,则运算只涉及有

限个胞。

2.3　混沌理论及分形理论气候系统是非线性系统,其初值问题的数值解

是不确定的,研究气候状态的特征就要研究混沌态

的特征,研究气候系统的演变机制就要研究混沌态的变化。这就需要引进分形理论的知识,如分数维、

李亚普诺夫指数、标度指数和功率谱指数等,分别考

察、分析这些特征量随控制变量的变化〔11,32〕。

2.4　少数自由度的理论和无穷自由度的大气系统对于强迫、耗散的非线性系统,系统向外源的适

应,实际上是一个归并自由度的过程,耗散消耗掉大

量小尺度的较快的运动模式,使决定系统长期行为的有效自由度数目减少,许多自由度在演化过程中

成为“无关变量”,最终剩下支撑起吸引子的少数自

由度。

3　大气动力学方程组的全局分析

沿着把动力学理论研究与数值模型相结合的道

路所进行的全局分析,已经取得了以下主要成果:3.1　H空间的一个特殊方程———对方程进行简化

的准则

丑纪范〔33,34〕首先证明了大气运动方程组是H

空间中的一个非常特殊的算子方程,然后用H空间的算子理论和微分方程的几何理论研究了大气运动

方程组的长期行为在不同近似情况下的根本差别,

证明了如下结论:把大气简化为绝热无摩擦系统,则总能量守恒,渐近态的能量等于初始状态的能量,初始影响不衰减地一直延续下去;把大气简化为强迫耗散线性系统,则渐近态是唯一的并且与初值无关,初值影响随时间衰减至零;而对于强迫耗散非线性

系统,则初值随时间衰减但渐近态仍可能与初值有关,由此发生多态、突变和混沌。进行大气动力学的

研究和模拟时不可避免地要对大气动力学方程组进

行各种简化。进行数值计算时,还必须离散化。简

化和离散化意味着状态空间的改变,相应地算子方程由一个空间变为另一个空间。丑纪范〔33,34〕指出,

为了不破坏系统作为耗散结构这一特征,在方程简

化或离散化时保持算子的性质不变,就是不要歪曲物理本质,产生虚假的“源”或“汇”,这是进行正确简

化的一个准则。

3.2　向外源的非线性适应———耗散结构理论

对大气动力学方程组的全局分析的一个重要成果是揭示了系统向外源的非线性适应过程。用最新

颖的数学方法揭示出强迫耗散的非线性大气动力学

方程组的整体和全局行为,证明了系统向外源的非

线性适应。Folas等〔35〕证明了Navier-Stokes方程的吸引子维数是有限的,汪守宏等〔36〕、Lions等〔37〕对简化

形式的大尺度大气动力学方程组进行了研究,证明

该方程组的初值问题的解存在唯一,在H中存在一个不变点集A,它是有界的极限解集,它的豪斯道夫