定积分总结
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定积分讲义总结 内容一 定积分概念
一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x ∆(b a
x n
-∆=
),在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=,作和式:1
1
()()n n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果x ∆无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为:()b
a
S f x dx =
⎰
其中()f x 成为被积函数,x 叫做积分变量,[,]a b 为积分区间,b 积分上限,a 积分下限。 说明:(1)定积分
()b
a
f x dx ⎰
是一个常数,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时)称为()b
a
f x dx ⎰,而不是n S .
(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:n 等分区间[],a b ;②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈;③求和:
1()n
i i b a f n ξ=-∑;④取极限:()1()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 例1.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力()F x kx =(k 为常数,x 是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功.
分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解. 解: 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ,则所作的功为W F x =⋅. 1.分割
在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点,将区间[]0,1等分成n 个小区间:
0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2,b b n n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,…,()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n
n -⎡⎤
⋅=⎢
⎥⎣⎦,其长度为()1i b i b b
x n n n
-⋅∆=
-= 把在分段0,
b n ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦,2,b b n n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,…,()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上所作的功分别记作:1W ∆,2W ∆,…,n W ∆ (2)近似代替 有条件知:()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅ ⎪
⎝⎭
(1,2,,)i n =
(3)求和
()1
1
1n n
n i i i i b b W W k n
n
==-=∆=⋅⋅∑∑
=()()22222
110121122n n kb kb kb n n n n -⎛⎫
+++
+-==-⎡⎤ ⎪⎣
⎦⎝⎭
从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫
≈=- ⎪⎝⎭
(4)取极限22
1
1lim lim lim 122n
n i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为:
22kb
内容二 定积分的几何意义
从几何上看,如果在区间[,]a b 上函数()f x 连续且恒有0)(≥x f ,那么定积分
dx x f a
b
⎰
)(表示由直线
0),(,=≠==y b a b x a x 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分
dx x f a
b
⎰
)(的几何意义。
说明:一般情况下,定积分
()b
a
f x dx ⎰
的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面
积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积去负号。
分析:一般的,设被积函数()y f x =,若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+
+∆
不妨设1(),(),
,()0i i n f x f x f x +<
于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆+
+-∆
⎰
=∴a
b
dx x f )(阴影A 的面积—阴影B 的面积(即x 轴上方面积减x 轴下方的面积)
例2.计算定积分
2
1
(1)x dx
+⎰
分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为52
。 即:2
1
5(1)2
x dx +=
⎰
1
2
y
x
o
内容三 定积分的性质
性质1 a b dx b
a
-=⎰1
性质2 ⎰⎰
=b
a
b
a dx x f k dx x kf )()( (其中k 是不为0的常数) (定积分的线性性质)
性质3
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰(定积分的线性性质)
性质4
()()()()b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
a c
b =+<<⎰⎰⎰其中 (定积分对积分区间的可加性)
说明:①推广:1212[()()()]()()()b
b
b
b
m m a
a
a a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±
±=±±
±⎰
⎰⎰⎰
②推广: 12
1
()()()()k
b
c c b
a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++
+⎰
⎰⎰⎰
内容四 微积分基本定理
一般地,如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数,并且)()('x f x F =,那么()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
这个结论叫做微积分基本定理。
基本积分公式:
(1)⎰-≠∈+=
+b
a b
a m m m Q m x m dx x )1,(1
11; (2)⎰=b
a b a x dx x
ln 1
; (3)
⎰
=b
a
b a
x x e dx e ; (4)⎰=
b
a b a
x
x
a
a dx a ln ;
(5)⎰
=b
a b a x xdx sin cos ;
(6)
⎰-=b
a
b
a
x
xdx cos sin
例3 求
.12
dx x
x b
a
⎰
+
解 因为
22
1222===1122
2212(1)(1)2x C x C ++=++ 即
1
22
20
(1)1x +=1
22
(1)x +,所以
2
⎰
=1
2
22
(1)
1x +=
内容五 定积分的简单应用