(完整版)证明不等式的基本方法——比较法

4． 放缩法是在证明不等式或变形中， 将条件或结论或变换中的 式子放大或缩小进行求证的方法．放缩时要看准目标，做到 有的放矢， 注意放缩适度． 放缩法是证明不等式的常用技巧， 有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难 度．
比较法
(2010 年高考江苏卷试题)设 a、b 是非负实数，求证：a3 ＋b3≥ ab(a2＋b2)． 【思路分析】 先作差，再用不等式的基本性质解答．
不等式证明的基本方法
1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法，有两种： (1)求差法：a＞b⇔a－b＞0； a (2)求商法：a＞b＞0⇔b>1，(b>0)．
2．分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法． 综合法是以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直 到推出问题的结论为止，简而言之，就是“由因导果”． 分析法是从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐 步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件或已知事实吻合 为止，简而言之，就是“执果索因”．
分析法与综合法
如果 a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 【证法一】 (用分析法) 要证 a3＋b3≥a2b＋ab2， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b) ∵a＞0，b＞0，有 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2≥ab， 只需证(a－b)2≥0 显然(a－b)2≥0 成立，以上各步均可逆， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2
1．设 a>0，a≠1,0<x<1.求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
证明：方法一：(平方后作差)
2 log2 (1 － x ) － log a a(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]· [loga(1－x)－loga(1＋x)]＝ 1－x loga(1－x )· loga . 1＋x

讲末复习
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1.比较法证明不等式 作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据 是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件. 证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判 断结果的符号.
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2.综合法证明不等式 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理 的基本理论.证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个 重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先 考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不 等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中 “当且仅当……时，取等号”的题型研修
例 1 若 x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求证：b＋a cx2＋c＋b a
y2＋a＋c bz2≥2(xy＋yz＋zx).
证明 ∵b＋a cx2＋c＋b ay2＋a＋c bz2－2(xy＋yz＋zx)
＝bax2＋aby2－2xy＋bcy2＋bcz2－2yz＋acz2＋acx2－2zx＝
∴0＜ （n＋1）n22＋ ＋11＋ ＋（ n n＋1）＜1，即CCn＋n1＜1，
从而有 Cn＋1＜Cn.
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跟踪演练 2 若 a，b，m，n 都为正实数，且 m＋n＝1， 试证： ma＋nb≥m a＋n b. 证明 ∵a，b，m，n 均为正数，且 m＋n＝1， ∴( ma＋nb)2－(m a＋n b)2 ＝ma＋nb－m2a－n2b－2mn ab ＝m(1－m)a＋n(1－n)b－2mn ab ＝mn( a－ b)2≥0，又 ma＋nb＞0，m a＋n b＞0， ∴ ma＋nb≥m a＋n b.
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1.5.1 比较法学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据。

2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3。

通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用．教材整理1 比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．(1)作差比较法要证明a〉b，只要证明a－b〉0；要证明a〈b，只要证明a－b<0.这种证明不等式的方法，叫做作差比较法．（2）作商比较法若a〉0，b>0,要证明a〉b,只要证明ab>1；要证明b>a，只要证明错误!〉1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．教材整理2 比较法证明不等式的步骤比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先求差(商)，然后变形，最终通过比较作判断．1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( ）A．t＞s B．t≥sC．t＜s D．t≤s［解析] s－t＝（a＋b2＋1）－（a＋2b)＝（b－1)2≥0，∴s≥t.［答案] D2．已知P＝错误!，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的大小关系是( ）A．P＞0 B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q［解析］∵QP＝(a2－a＋1)（a2＋a＋1）＝(a2＋1）2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.∴P≤Q.［答案］D作差比较法证明不等式a b a b ab a b[精彩点拨] 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式,也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答］法一：化成几个平方和．∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝错误![(a－b）2＋（a－1）2＋（b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二：a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－（b＋1)a＋b2－b＋1。

对于a的二次三项式,Δ＝（b＋1)2－4（b2－b＋1）＝－3（b－1）2≤0，∴a2－(b＋1）a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b。

不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法包括：比较法；综合法；分析法；反证法；换元法等.下面，就不等式证明的常用方法作较为全面的归纳.【比较法】——是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种：1.作差比较法(1)应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法.(2)步骤：“作差----变形----判断符号”.(3)变形——判断符号的主要途径和方法：①配方，将差式变形为若干个非负(或非正)数(式子)和的形式后判断差式的符号.②因式分解，将差式变形为若干个因式积的形式，再根据所有因式积的符号判断差式的符号.③分成几项，然后说明各项均为正(或负)，判断差的符号.例1.已知a，b，c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc．证明：a3+b3+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2](a+b+c)，=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]=12∵ a，b，c∈R+，∴ a+b+c＞0．又∵(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2≥0，a+b+c>0，[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2](a+b+c) ≥0，即a3+b3+c3-3abc≥0，∴12∴a3+b3+c3≥3abc．(当且仅当a=b=c时取等号).例2.已知a，b∈R+，n∈N，求证：(a+b)(a n+b n)≤2(a n+1+b n+1)．证明：∵左边-右边=a n+1+ab n+a n b+b n+1-2a n+1-2b n+1=ab n+a n b-a n+1-b n+1=a(b n-a n)+b(a n-b n) =(b n-a n)(a-b)，①当a>b>0时，b n-a n<0，a-b>0，∴①<0；当b>a>0时，b n-a n>0，a-b<0，∴①<0；当a=b>0时，b n-a n=0，a-b=0，∴①=0．综上所述，有(a+b)(a n+b n)-2(a n+1+b n+1)≤0．(当且仅当a=b>0时取等号).即(a+b)(a n+b n)≤2(a n+1+b n+1)，当且仅当a=b 是去等号．2.作商比较法(1)应用范围：当要证的式子两端是乘积或幂、指数形式时，常用此法.(2)方法：要证A>B ，常分以下三种情况：若B>0，只需证明 AB >1；若B=0，只需证明A>0；若B<0，只需证明 AB <1.(3)步骤：作商-----变形-----判断商数与1的大小. 例3.已知a ，b ∈R +，求证a a b b ≥a b b a ．证明：∵ a ，b ∈R +，∴ a b b a ＞0，又∵ a a b ba b b a =(ab )a (ba )b =(ab )a−b . 当a>b>0时，ab>1，且a -b>0，故a ab b a b b a >1； 当b > a >0时，0<a b<1，且a -b<0，故a ab b a b b a>1；当a=b>0时，ab1，且a -b=0，故a ab b a b b a=1；综上所述，当a ，b ＞0是，都有a a b b ≥a b b a ．例4 .已知a ，b 均为正实数，且a ≠b.求证：a 3+b 3>a 2b+ab 2. 证明：∵ a ，b 均为正实数，且a ≠b ， ∵ a 3+b 3ab 2+a 2b =(a+b )(a 2−ab+b 2)ab(a+b)>2ab−ab ab=1,由于a 2b+ab 2>0，∵ a 3+b 3>a 2b+ab 2.说明：此题的常规证明方式为求差法.请读者自证.想一想①：证明下列不等式. 1.a 2+b 2≥2(a -b -1).2.已知a>2，b>2，求证：a+b<ab.【综合法】用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的演绎推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”推“可知”，逐步推出“结论”. 综合法属演绎推理范畴.例5.(1)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a+b 2+lg b+c 2+lg a+c2>lga +lgb +lgc .(2)已知a>2，求证log a (a -1)·log a (a+1)<1．证明:(1)∵ a ，b ，c ∈R +，∴a+b 2≥√ab >0，b+c 2≥√bc >0，a+c 2≥√ac >0，又a ，b ，c 为不全相等的正数，故有，a+b 2∙b+c 2∙a+c 2>abc ，∴ lga+b 2∙b+c 2∙a+c 2> lg abc.即lga+b 2+lg b+c 2+lga+c 2>lga +lgb +lgc .(2) ∵ a >2，∴log a (a -1)> 0，log a (a+1)> 0．又∵ log a (a -1)≠log a (a+1)，∴ √log a (a −1)∙log a (a +1)<log a (a−1)+log a (a+1)2=12log a (a 2−1)<12log a a 2=1，∴ log a (a -1)·log a (a+1)< 1．例6.已知a ，b ，c∈R +，求证：(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c 2)≥16abc . (2).3≥-++-++-+ccb a b bc a a a c b 证明：(1) ∵ ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，ab+ac+bc+c 2=(a+c)(b+c)．又∵a ，b ，c∈R +， ∴ ,021>≥+a a ,021>≥+b b ,02>≥+ac c a ,02>≥+bc c b于是有，,04)1)(1(>≥++ab b a ,04))((2>≥++abc c b c a ∴ (a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16abc . (当且仅当a=b=c=1时取等号). (2)法1.(利用二元均值不等式a+b ab 2≥).∵ .332223)()()(=-++≥-+++++=-++-++-+c b b c c a a c b a a b c c b a b b c a a a c b∴ .3≥-++-++-+cc b a bb c a aa cb (当且仅当a=b=c 时取等号).法2. (利用三元均值不等式a+b+c 33abc ≥).∵ .33333)()(=-+≥-+++++=-++-++-+ba cb ac ca bc ab cc b a bb c a aa c b∴ .3≥-++-++-+c c b a b b c a a a c b (当且仅当a=b=c 时取等号). 法3. (利用六元均值不等式a+b+c+d+e+f 66abcdef ≥).∵ .3363)(=-≥-+++++=-++-++-+cb ca bc ba ac ab cc b a bb c a aa c b∴ .3≥-++-++-+cc b a bb c a aa cb (当且仅当a=b=c 时取等号).例7.已知a 、b 、c ∈R +，求证：.23≥+++++a c b c b a b a c 有人给出了如下的证明：∵ a 、b 、c ∈R +，∴ .232223))()((333≥≥+++≥+++++ac bc ab abc a c c b b a abc a c b c b a b a c ∴.23≥+++++a c b c b a b a c (当且仅当a=b=c 时取等号). 你认为正确吗? 剖析：在上述的证明过程中，第二个“≥”，应为“≤”. 在不等式的基本性质中，只有同向的不等式才有传递性，此题的推证在第二个“≥”处，是传递不了的.正确的证明如下..233293))()((13))()((3213)]111)](()()[(213)111)(()1()1()1(33=-=-+++⋅+++⋅≥-++++++++++=-+++++++=-++++-++++-+++=+++++a c c b b a c a c b b a c a c b b a c a c b b a c a c b b a c b a ca cb ac b c b a b a c b a a c b c b a b a c∴.23≥+++++a c b c b a b a c (当且仅当a=b=c 时取等号). 说明:(1)用均值定理证明不等式时，要为运用定理对式子作适当变形，可把式子分成若干分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相乘． (2)在用不等式的基本性质“传递性”时，要注意只有“不等号同向”时，才能进行传递.在用同向不等式相乘时，一定要强调各个不等式均为正，否则会出错. 例8.已知a ，b ∈R +，且a+b=1，求证：ax 2+by 2≥(ax+by)2. 证明：法1.(求差法).∵ a ，b ∈R +，且a+b=1，∴ ax 2+by 2-(ax+by)2=a(1-a)x 2+b(1-b)y 2-2abxy=ab(x 2+y 2-2xy)=ab(x -y)2≥0， 即ax 2+by 2≥(ax+by)2. (当且仅当x=y 时取等号). 法2.(利用二元均值不等式).∵ a ，b ∈R +，且a+b=1，∴ ax 2+by 2=(a+b)( ax 2+by 2)=(ax)2+(by)2+ab(x 2+y 2) ≥(ax)2+(by)2+2abxy=(ax+by)2. 即ax 2+by 2≥(ax+by)2. 法3.(利用柯西不等式).∵ [22)()(b a +][22)()(y b x a +]≥(ax+by)2. 又∵a ，b ∈R +，且a+b=1，∴ ax 2+by 2≥(ax+by)2.想一想②：证明下列不等式1.求证：a 2+b 2+c 2+3≥2(a+b+c).2.设a ，b ，c 是不全等的正实数，求证：cab b ac a bc ++>a+b+c.3.已知0<x <1，求证：xb x a -+122≥2)(b a +.【分析法】分析法是指从需证的不等式出发，寻求使这个不等式成立的充分条件.其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”求“需知”，逐步靠拢“已知”.分析法一般用于综合法难以证明的不等式.通常表现为不等式的形式复杂，难以直接由一端过渡到另一端的问题. 例9.若0<a<c ，b<c. 求证：<<--a ab c c 2ab c c -+2.证明：要证<<--a ab c c 2ab c c -+2，只要证，<-<--c a ab c 2ab c -2， 即只要证 |a -c|<ab c -2，只要证 (a -c)2<c 2-ab ，即a 2-2ac<-ab ，∵ a>0，∴ 只要证a+b<2c. 由题设条件，显然有a+b<2c 成立.将每一步倒推回去， ∴ 原不等式成立.说明：分析法的书写方式是比较繁琐的.因此我们在实际做题时，往往用分析法“探路”，用综合法来书写表述.在探路时，也可以用“⇐”来表述. 例10.设 x>0，y>0，x≠y ，求证：21223133)()(y x y x +<+证明：∵ x>0，y>0，x≠y ，,)()(.)()(32233212231332y x y x y x y x +<+⇐+<+.0)()(2),(32222222233>-++⇐+<⇐y x y x y x y x y x ∴ 原不等式成立.想一想③：设0>>b a ，求证：.8)(28)(22bb a ab b a a b a -<-+<-【反证法】即要证明不等式A>B ，先假设A ≤B ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B.凡涉及到证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.反证法的逻辑原理是命题“P ”与它的否定“非P ”的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可.推出矛盾的四种途径：①推理的结果与基本定义、公理、定理等相矛盾——与基本结论相矛盾. ②推理的结果与已知条件相矛盾——与已知相矛盾. ③推出两个相互矛盾的结论——自相矛盾. ④推理的结果与假设相矛盾——与假设相矛盾.例11.对实数a ，b ，c ，A ，B ，C ，有20aC bB cA -+=，且20ac b ->.求证:20AC B -≤. 证明:假设AC -B 2>0， 则20AC B >≥，由已知有 20ac b >≥，相乘得 22aAcC b B >，∵ 2aC cA bB +=，∴ 222()44aC cA b B aAcC +=<， 整理得 2()0aC cA -< ， 这与“任何实数的平方非负”相矛盾(与基本结论相矛盾). ∴ 假设不成立，故20AC B -≤.例12.已知a>0，b>0，且a+b>2. 求证：1+b a与1+ab中，至少有一个小于2.证明：假设1+b a与1+a b都不小于2，则1+b a≥2且1+a b≥2，∵ a>0，b>0，∴ 1+b≥2a ，1+a≥2b ， 两式相加可得1+b+1+a≥2(a+b)，即a+b≤2，这与已知a+b>2矛盾( 与已知相矛盾). 故假设不成立， ∴1+b a与1+a b中，至少有一个小于2.例13.设0 < a ， b ， c < 1，求证：(1 - a )b ，(1 - b )c ，(1 - c )a 不可能同时大于14. 证明:假设(1 - a )b >14>0， (1 - b )c >14>0， (1 - c )a >14>0， 则三式相乘：(1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a >164. ①又∵0 < a ， b ， c < 1 ， ∴ 0<(1-a)a ≤[(1−a )+a 2]2=14， 同理：(1-b)b ≤14，(1-c)c ≤14 . 以上三式相乘： (1 - a )a •(1 - b )b •(1 - c )c ≤164. 与①矛盾(自相矛盾).∴ 原命题成立例14.已知数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，S n 是它的前n 项和.(1)用S n -1表示S n ；(2)是否存在自然数c 和k ，使得 12k k S c S c+->-成立.解:(1)由求和公式可得242nn S -=-，从而可得S n =.2211+-n S (2)假设存在符合条件的自然数c 和k ，则11242242kk k k S c c S c c-+----=>---，从而114320422kkc c ----⨯<--⨯. ① 令 4t c =-， 则由①式得 (t -3×21-k )(t -2×21-k )<0，即112232k kt --⨯<<⨯，∴ 1223k t -<⨯<，② ∵ c ，k 为自然数，知t 为整数，这样一来 ②式不成立. 故这样的自然数c 和k 不存在. 想一想④：已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a ，b ， c > 0.【换元法】在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，使其结构和关系变得更清晰、明朗，从而使证明过程变得简洁、明快.常用的换元有如下几种形式.(1)三角代换：多用于条件不等式的证明. 当所给条件中变量t 的取值在[-a ，a]时，可令t=acos θ，θ∈[0，π]或t=asin θ，θ∈[−π2，π2]；当变量t 为任意实数时，可令t=atan θ， θ∈[−π2，π2].例15.若x 2+y 2≤1，求证：|x 2+2xy -y 2|≤√2.证明:由x 2+y 2≤1，设x=rsin α，y=rcos α，|r|≤1，则|x 2+2xy -y 2|=|r 2cos 2α+2r 2cosαsinα−r 2sin 2α|=r 2|cos2α+sin2α|=√2r 2|sin(α+π4)| ≤√2r 2≤√2.(2)代数代换：若条件中有a >0，b >0，且a +b =1时，可令a=12+t ，b =12−t ，t ∈(−12，12)； 或a>0，b>0，c>0.且a+b+c=1时，可令a=13+t 1，b =13+t 2，c =13+3，t 1+t 2+t 3=0. 也可将其中的一部分作代换.例16.已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证：(a +1a )(b +1b )≥254.证法1：(代数代换) 设a =12+t ，b =12-t .∵ a +b =1，a>0，b>0，∴ |t |<12.∵ (a +1a )(b +1b )=2222222241)45(211)21(211)21(11t t t t t t t bb a a --+==-+-⋅+++=+⋅+ =42541162541231625242=≥-++t tt .(当且仅当t=0，即a=b=12时取等号). 即(a +1a )(b +1b )≥254.证法2. (三角换元法）∵ a>0，b>0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，). ∴ αααααααααα2244442222cos sin 1cos sin cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(+++=++=++b b a aαααααααααα2sin 416)2sin 4(2sin 4322sin 82sin 2sin 4)2cos sin 2cos (sin 1622222422244+-=+-=+-=. 又∵ 12sin 2≤α，∴ 2516)2sin 4(,3142sin 4222≥+-⇒=-≥-αα①.且 .412sin 412≥α②. 由①②可得，.4252sin 416)2sin 4(222≥+-αα 即 (a +1a)(b +1b)≥254..例17.证明：若a > 0，则√a 2+1a 2 -√2≥a +1a -2.证明：设x= a +1a ，y=√a 2+1a 2，a > 0，x ≥2，y ≥√2.则只需证明y −√2≥x −2,2π∵ x 2-y 2=( a +1a )2-(√a 2+1a 2)2=2，x+y=( a +1a )+ √a 2+1a 2≥2+√2， (当a = 1时取“=” ).∴ x -y=x 2−y 2x+y≤2+√2=2−√2. 即 y −√2≥x −2，∴ 原不等式成立.习题3.11.求证：a 2+b 2+1≥a+b -ab .2.已知a>b>0，求证：a a b b>(ab)a+b 2.3.已知0 < x < 1， 0 < a < 1，试比较|log a (1-x)|与|log a (1+x)|的大小.4.已知a>b>c ，求证1140a b b c c a++≥---.5.已知224x y +=，求证：|4y +≤.6.已知a ，b ，c 为正实数，且a 2+b 2=c 2.求证：a n +b n <c n (n 为大于2的整数).7.设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3.8.已知a>1，b>1，c>1. 求证：22212111a b c b c a ++≥---.参考答案想一想①：1.提示：求差后配方.2. 提示：求差或求商.1212111=+<+=+a b ab b a . 想一想②：提示：1.求差法，也可以用二元均值不等式. 2.用二元均值不等式. 3.仿例8.只有x+(1-x)=1.想一想③：要证原不等式成立，只需证：.8)(2)(8)(222bb a b a a b a -<-<-∵b a ≠只需证.4)(14)(22bb a a b a +<<+只需证bb a a b a 212+<<+，只需证b a a b <<1∵0>>b a 上式成立 ∴原不等式在0>>b a 时成立.想一想④：假设a < 0，∵ abc > 0， ∴ bc < 0. 又由a + b + c > 0，则b + c = -a > 0，∴ ab + bc + ca = a (b + c ) + bc < 0， 与题设矛盾. 又若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴ 必有a > 0. 同理可证：b > 0, c > 0.习题3.11.求差配方.2.求商分类讨论.3.作商或作差比较大小均可4.1140a b b c c a++≥---，.4)11)](()[(,411≥-+--+-⇐-≥-+-⇐c b b a c b b a c a c b b a5.三角代换.6.构造以a 、b 、c 为三边，且以c 为斜边的直角三角形. 令)900(sin cos 00<<==θθθc b c a ，.)2(cos cos 0sin sin 01cos 01sin 022><<<<<<<<n n n θθθθθθ，∴，，∵,nnnnnnnc c c b a =+<+=+)cos (sin )cos (sin 22θθθθ∴. 7.由不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+, 且b a c --2≤0， c b a --2≥0.∴1113--++--++--+=--++-++-+c b a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b ac b a b a c b a c c a b a c b c b a -+--+-+--+-+--=222≥0222=-+--+-+--+-+--ba cb ac b a c a c b b a c c b a ， ∴cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3.8.由1,1,1a b c >>>，可设1,1,1,0,0,0a x b y c z x y z >>>－＝－＝－＝.于是xz z y y x x z z y y x a c c b b a 222222222)2()2()2()1()1()1(111++≥+++++=-+-+- =1234)(43=⋅⋅⋅≥++xzz y y x x z z y y x .。