一阶偏导数基本公式

dQ Q dQ Q α β −1 α −1 β = cβK L = β . = cα K L = α . dL L dK K 该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不 变的条件下，对另一个变量的变化率. 变的条件下，对另一个变量的变化率.
1. 二元函数的偏增量和全增量
（1）函数的偏改变量（偏增量） 函数的偏改变量（偏增量）
∆ y z = f ( x 0 , y ) − f ( x 0 , y0 )
z
沿此曲线计 算的函数在 点 P 处的增 量为偏增量
z = f ( x, y)
• ∆xz
∆x
P( x0 , y0 , z0 )
∆xz
x
y0
O
D
y
•Q( x0 , y0 ,0)
函数的全改变量（全增量） （2） 函数的全改变量（全增量）
f ( x 0 + ∆x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆x → 0 ∆x
存在, 则称此极限值为 存在 则称此极限值为z=f (x,y)在点 0,y0)处对 的 偏导数. 在点(x 处对x的 偏导数 在点 处对
∂z , 记为 f x ( x0 , y0 ) 或z x ( x0 , y0 ), ∂x ( x0 , y0 )
一 、偏导数
在西方经济学中，柯布引例 在西方经济学中，柯布-道格拉斯生产函 数为Q = cK α Lβ , 这里 c , α , β为常数， > 0, K > 0 分 L 为常数， 别表示投入的劳动力数量和资本数量， 表示产量. 别表示投入的劳动力数量和资本数量， 表示产量 Q表示产量 当劳动力投入不变时,产 当劳动力投入不变时,产 量对资本投入的变化率为 当资本投入不变时， 当资本投入不变时，产 量对劳动力投入的变化率

定积分求偏导基本公式- 设函数F(x)=∫_a(x)^b(x)f(x,t)dt，则根据莱布尼茨公式F^′(x)=f(x,b(x))· b^′(x)-f(x,a(x))· a^′(x)+∫_a(x)^b(x)(∂ f(x,t))/(∂ x)dt。

- 当a和b为常数时，设F(x)=∫_a^bf(x,t)dt，此时F^′(x)=∫_a^b(∂ f(x,t))/(∂x)dt。

2. 例题讲解。

- 例1：设F(x)=∫_x^x^{2}sin(xt)dt，求F^′(x)。

- 这里a(x) = x，b(x)=x^2，f(x,t)=sin(xt)。

- 根据莱布尼茨公式，a^′(x)=1，b^′(x) = 2x。

- 首先f(x,b(x))=sin(x· x^2)=sin(x^3)，f(x,a(x))=sin(x· x)=sin(x^2)。

- 然后F^′(x)=sin(x^3)·(2x)-sin(x^2)·(1)+∫_x^x^{2}(∂sin(xt))/(∂ x)dt。

- 对于(∂sin(xt))/(∂ x)=tcos(xt)，所以F^′(x)=2xsin(x^3)-sin(x^2)+∫_x^x^{2}tcos(xt)dt。

- 例2：设F(x)=∫_1^2e^x + tdt，求F^′(x)。

- 这里a = 1，b = 2为常数，f(x,t)=e^x + t。

- 根据公式F^′(x)=∫_1^2frac{∂ e^x + t}{∂ x}dt。

- 因为frac{∂ e^x + t}{∂ x}=e^x + t，所以F^′(x)=∫_1^2e^x +tdt=e^x∫_1^2e^tdt。

- 计算∫_1^2e^tdt=e^2-e^1，所以F^′(x)=e^x(e^2-e^1)=(e^2-e^1)e^x。

3. 总结。

- 在使用定积分求偏导公式时，首先要确定积分的上下限是常数还是关于变量x的函数。

△x f(x 0,y 0)=f(x 0+△x,y 0)－f(x 0,y 0)(或△y f(x 0,y 0)=f(x 0,y 0+△y)－f(x 0,y 0)并引进偏导数的概念，即若极限 xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000(4 - 2 1)存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x,y)处对自变量x 的偏导数，记作 ),(00/y x f x ,,y0)(x0,xz ',),(00y x xf∂∂y0)(x0,x z∂∂．类似地，函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数可定义为 记作),(00/y x f y ,,y0)(x0,yz ',),(00y x yf ∂∂y0)(x0,yz ∂∂,若函数z=f(x,y)在区域D 内每一点(x,y)处对的偏导数都存在，则此偏导数就是x,y 的函数，称为f(x,y)对的偏导函数，记作),(/y x f x ,x z ',x f ∂∂,xz∂∂. 类似地，在D 内对变量的偏导函数记为),,(/y x f y y z ',y f ∂∂,yz ∂∂. 偏导数的定义可知，二元函数对一个自变量的偏导数，就相当于把另一个自变量看作常数，仍旧用一元函数的求导方法.例25 求函数z=x 3+2xy+y 3在点(1,2)处的两个偏导数. 解 把y 看作常数,对x 求导得,232y x z x +='再把x 看作常数,对y 求导得.322y x z y +=' 将点(1,2)代入,得7)2,1(='x z.14)2,1(='yz例26 求z=e 2x sin3y 的两个偏导数. 解xz∂∂=2e 2x sin3y ,yz∂∂=3e 2x cos3y . 例27求z=x y 的两个偏导数.解 ,1-='y x yxz .ln x x z y y ='偏导数的概念及计算方法可以推广到二元以上的多元函数,这里不再细述.对二元函数z=f(x,y)也有高阶导数的概念.若x z ∂∂=),(/y x f x , yz ∂∂=).,(/y x f y 这两个函数对x,y 的偏导数也存在,则称它们为函数z=f(x,y)的二阶偏听偏导数．二阶偏导数有以下四个：),,()(22y x f x z x z x xx ''=∂∂=∂∂∂∂),,()(2y x f yx zx z y xy''=∂∂∂=∂∂∂∂),,()(2y x f x y z y z x yx ''=∂∂∂=∂∂∂∂ ).,()(22y x f yzy z y yy''=∂∂=∂∂∂∂ 其中xyf ''与yx f ''称为二阶混合偏导数. 类似地,还可有更高阶的偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高偏导数.例28 设求z=3x 2y －2xy 2+ｘ3+4y 3．求．z z z z yy yx xy xx '''''''',,, 解 ,32622x y xy ｚx +-=' ,124322y xy x z y +-='yx z y x z y x z y x x y z yy xy yx xx 244,46,46),(666+-=''-=''-=''+=+=''例28中二个混合偏导数是相等的,即,而且在一般情况下,这也是正确的,即在导函数连续时,有yx xyf y x f ''=''),((x,y). 习作题6.41. f(x,y)=5x －３ｙ，求f x (1,0).2. f(x,y)=x 8y 3,求f x (1,0),f y (1,1)3. 设u=e y sinx,求.,)0,1()1,0(yu xu ∂∂∂∂4. 设z=yx,求.,yz x z ∂∂∂∂ 5. 若f(x,y)=x+(y －1)lnsin,yx求f x (x,1).6. 设u=(x+2y+3z)2,求.,,zu y u x u ∂∂∂∂∂∂ 第五节 全 微 分本节类比一元函数的微分，介绍二元函数的全微分概念及其在近似计算国的应用.一、全微分的概念定义 设有二元函数z=f(x,y),对于自变量在点（x,y ）处的改变量△x, △y ，函数z=f(x,y)有相应的全改变量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y),如果它可以表示为△z=A △x+B △y+o(ρ), 其中A 、B 只与x, y 有关，与x,y 无关，ρ=22)()(y x ∆+∆,o(ρ)是当ρ→0时比ρ=22)()(y x ∆+∆高阶的无穷小，则称二元函数z=f(x,y)在点（x,y ）处可微，并称A△x+B △y 是z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分.记作dz= A △x+B △y例如,若边长为x 和y 的矩形的边长分别取得改变量△x, △y, 则面积s 相应地有改变量△ s= (x+△x)( y+△y)-xy=y △x+x △y+△x △y上式右端的y △x+x △y 是△x, △y 的线性函数, △x △y 在△x →0, △y →0时是一比ρ=22)()(y x ∆+∆高阶的无穷小量,它比要小得多(图6-15).据全微分的定义有ds=y △x+x △y,即s=xy 的全微分表达式ds=y △x+x △y 中的A=y,B=x.那么,一般地,若二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微,其全微分表达式中的A 与B 分别是什么?若z=f(x,y)在点(x,y)处可微,则有△ z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)= A △x+B △y+o(ρ). 在上式中, 令△y=0，则有偏改变量△x z=f(x+△x,y)-f(x,y)=A △x+o (∣△x ∣) 两端除以△x ，并令△x →0，有A x x o A x z x x x =∆∆+=∆∆→∆→∆))((lim lim即 A=xz∂∂. 同理，可得 B=yz ∂∂.由此可得结论：若z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则x z ∂∂,yz ∂∂存在，且 dz=x z ∂∂△x+yz ∂∂△y. 注意，对于一元函数y=f(x)来说，可微性与导数存在是一致的，且可导必然连续，但对二元函数z=f(x,y)就不是这样，即使x z ∂∂,yz∂∂都存在，函数z 也不一定可微，也未必连续.但可以证明,若x z ∂∂,yz ∂∂都连续,则z=f(x,y)在(x,y)一定可微,且可微必然连续.最常碰到的函数都是有连续偏导数的,因此也是可微的.本书只讨论具有连续偏导数的函数,所以他们总是可微的.与一元函数类似,当x,y 是自变量时,我们规定dx =△x .dy=△y.于是,二元函数的全微分有更为对称整齐的形式:dz=x z ∂∂dx+yz ∂∂dy. 由全微分定义,若z=f(x,y)可微,则可先求得x z ∂∂,yz∂∂,然后再写出全微分dz=x z ∂∂dx+yz ∂∂dy.即可.当然,也可直接利用一元函数的微分法则来求得二元函数的全微分.例1 求z=x 3y 4的全微分. 解法一 因为x z ∂∂=3x 2y 4,yz∂∂=4x 3y 3所以 dz=x z ∂∂dx+yz ∂∂dy=3x 2y 4dx+4x 3y 3dy 解法二 dz=y 4d(x 3)+x 3d(y 4)= 3x 2y 4dx+4x 3y 3dy二、全微分在近似计算中的应用由二元函数的全微分的定义可知,若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,且∣△x ∣、∣△y ∣很小时,则 △z=f(x+△x.y+△y)≈dz=x z ∂∂dx+yz∂∂dy . 或f(x+△x.y+△y)≈f(x,y)+x z ∂∂dx+yz∂∂dy .用这两个公式可以计算二元函数的近似值. 例2 利用全微分公式求(1.01)2..99的近似值.解 设函数z=f(x,y)=x y,则 f x=(x,y)=yxy -1,f y =(x,y)=x y lnx取x=1,△x=0.01,y=3,△y=-0.01,于是 (1.01)2. 99=f(1.01,2.99)=f(1+0.01,3-0.01)≈f(1,3)+f x (1,3)*0.01+f y (1,3)*(-0.01) =13+3*12*0.01+13*ln1*(-0.01) =1.03.例3 设某产品的生产函数为Q=4L 43K 41,其中Q 是产量,L 是劳力投入,K 是资金投入.现在劳力投入由256增加到258,资金投入由10000增加到10500，问产量大约增加多少?解 由41413K L LQ -=∂∂,4343==∂∂K K Q ，得 于是,当L=256，△L=2，K=10000，△K=500 时△Q ≈dQ=47500*10000*2562*10000*256*343434141_=+-即产量大约增加47个单位. 习作题6.51． 设z=xlny,试用两种方法求dz 2． 设z=xy,当x=2,y=1,△x=0.1,△y=-0.2,求△z 及dz. 3． 求z=x 2y 2+x 3+y 4,求dz.4． 求u=ln(2x+3y+4z)的全微分 5． 利用全微分求(0.98)2.03得近似值.4.5.2二元函数的极值设二元函数z=f(x,y)在包含点(x 0,y 0)的某个区域有定义，若对异于(x0,y0)的邻近点(x,y)，其函数值恒成立f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),则称点(xo,y0)为f(x,y)的极大值点（或极小值点）,而称f(x0,y0)为f(x,y)的极大值（或极小值）。

第二节
偏 导 数
一、偏导数
二、偏导数几何意义
及与连续的关系 三、高阶偏导数 四、小结、思考题
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
_______;
2.
z xy z e ( x y ), 则 x
z y
________.
2 2x csc , y y
2x 2x 2 csc y y
e xy ( xy x 2 1)
e ( xy y 1)
xy 2
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x
的偏导数，记为
zx z f ， ， x0 x x0 x x x y y y y
0 0
2 3
f x 0,1 , f x 1, 0 , f y 0, 2 , f y 2, 0 .
解： f
x y 2 x, f x 0,1 1, f x 1, 0 2;
f x 3 y2 , y
f y 0, 2 12,
f y 2, 0 2
三、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z f x ( x, y ) , x
z f y ( x, y ) y
则称它们是z = f ( x , y ) 若这两个偏导数仍存在偏导数， 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 2 2 z z z z f x y ( x, y ) ( ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x