第二章 极限与连续
§1. 数列的极限和无穷大量 一. 数列极限的定义
什么是数列? 一列无穷多个数 ,,,,,321n x x x x 按次序一个接一个的排列下去, 就构成一个数列. 其中第一个数是1x , 第二个数是2x ,…, 第n 个数是n x , 或这个数列的第n 项是n x . 也用函数的概念来定义. 定义: 函数
n
x n f n R
N f =→)(:
此函数称为数列,
n x 称为通项.
数列记为}{n x
}{n x 不是一个数,而是一串无穷多个数, 是一个变量. 数列极限的定义(称为数列极限的N -ε定义): 设}{n x 是一数列, a 是一个常数. 如果0>∀ε, 总∃自然数))((εN N 或,当
N n >时, 有ε<-a x n . 就称a 是数列}{n x 的极限, 或称数列
}{n x 收敛
(于a ). 记为 a x n n =∞
→lim 或)(∞→→n a x n 。 （读作: 当n 趋于无穷大时, n x 趋于a .）
极限定义可表示为:
0,,,lim n n n x a N n N x a εε→∞
∀>∃=∀>-⇔<有 ===================================
几何解释:
ε<-a x n 即 εε+<<-a x a n , 即 ),(εε+-∈a a x n
即}{n x 以a 为极限, 就是对任给的一个小区间),(εε+-a a , 第N
项以后的所有 ,,21++N N x x 全都落在这个小区间里, 在其外面,至多只有N (有限)项.
),(εε+-a a 称为a 的ε邻域, 记为 ),(εa O , 或)(a O ε
),(εa O x n ⊂与ε<-a x n 是等价的.
特别当0=a 时, }{n x 以零为极限, 这种数列称为无穷小量. 即“N ∃>∀,0ε, 当N n >时, ε }{n x 以a 为极限 }{a x n -⇔以零为极限 }{a x n -⇔为无穷 小量 (即要证}{n x 以a 为极限, 可证}{a x n -为无穷小量) 注意: 1. ε的任意性. ε的作用在于衡量n x 与a 的接近程度. ε越小, 接近得越好。但尽管ε有它的任意性，但当它一旦给 出, 就应暂时看作是固定不变的, 以便根据它来求N . 再者,ε既可是任何整数,那么εεεM ,3,2或2 ,2 ε ε 等等也是任何 正数,因此定义中的不等式右边的ε也可用2 ,,3,22εεεε来代替. 同样, 把不等式中的“<”换成“≤”也可，不影响定义的含义. 2. N 的相应性. N 一般随ε的变小而增大, 所以可写成 )(εN , 来强调N 是依赖于ε的. 但N 不是由ε唯一确定的. 因 为对给定的ε,100=N 能满足要求, ,1000,101=N 10000更能满足要 求. 其实在许多场合下, 最重要的是N 的存在性, 而不在于 它有多大. 另外,N n >写成 N n ≥也可. 3. 从定义可知, 收敛于a 的数列}{n x , 在a 任何邻域内都含有无穷多项, 而在其外只有有限项. 因此数列是否收敛, 只与它以后的无穷多项有关. 因此改变数列的任意有限项, 不会改变其收敛性和极限值. 没有极限的数列(不收敛的数列)称为发散的. 如}{2n .发散到无穷大; })1(1{1+-+n 无极限. 怎么用N -ε定义来验证考察数列的极限? 例1. 证明数列 } )1({1 n n +-以0为极限(无穷小量)或 0)1(lim 1=-+∞→n n n 证: 0>∀ε, 要找N , 使N n >时, ε<=-+n n n 1 )1(1. 易知当ε 1 >n 即可. 记1<ε,可取]1[ε =N ,则 ,2 1 ,11,12,11εεε ε<+<+>+>+N N N N ∴]1 [,0ε ε=∃>∀N . 当N n >时, 成立 ε<--+0)1(1 n n ∴0)1(lim 1 =-+∞→n n n 例2. 证明c c n =∞ →lim 证: 0>∀ε,取1=N ,当N n >时,ε<=-0c c , ∴c c n =∞ →lim . 例3. 证明当1 （这个数列在以后学无穷级数时将起很大作用,必须熟悉 它.） 证: 当0=q 时,显然成立.当10< q ,即 εln ln 由于 1 n ln ln ε> . 假设q <ε,可取 ]ln ln [ q N ε =. 0>∀ε, 取]ln ln [q N ε=. 当N n >时, ε<-0n q , ∴0∞ →→n n q . (对较复杂的式子,可先适当放大n n b a x ≤-,在解较简单的不等式ε )(εn n >来) 例4. 证明 34 3lim 22 =-∞→n n n 分 析: 由于 n n n n 12 4 123432 22≤-=-- (n n n n n >+≥-+=-2)2)(2(42) 要使ε ε12 ,12> 即可,]}12[,3max{ε =N 即可,一般也可简 单地取]12 [ε =N . 证: 0>∀ε, 取]12[ ε =N . 当N n >时, 有 n n n n 12 412343222≤ -=--ε<成立. ∴343lim 22 =-∞→n n n 例5. 证明 3 14232lim 22=-++-∞→n n n n n 分析：要使 ε<≤≤-++-=--++-n n n n n n n n n n 1 85)423(31053142322 222(书上取了∀ε要使ε
