第2课时 直线方程的两点式和一般式
1．直线方程的两点式、截距式、一般式
预习交流1
直线的两点式方程能用y －y 1x －x 1＝y 2－y 1
x 2－x 1
(x 1≠x 2，y 1≠y 2)代替吗？
提示：方程y －y 1x －x 1＝y 2－y 1
x 2－x 1
所表示的图形不含点(x 1，y 1)，不能表示整条直线，故不能用其
代替两点式方程．
预习交流2
我们已经学习了直线方程的五种形式，在解题时应如何选择方程的形式？ 提示：一般地，直线方程形式的选择技巧如下： (1)已知一点，通常选择点斜式； (2)已知斜率，通常选择斜截式或点斜式； (3)已知截距，通常选择截距式； (4)已知两点，通常选择两点式． 预习交流3
直线方程的几种形式是如何转化的？ 提示：
1．直线的两点式和截距式方程
已知△ABC 的顶点A (1，－1)，线段BC 的中点为D ⎝⎛⎭
⎫3，32. (1)求BC 边上的中线所在直线的方程；
(2)若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC 所在直线的方程．
思路分析：先利用两点式求出直线AD 的方程，然后利用所给条件求出直线BC 在x 轴、y 轴上的截距，用截距式表示出直线BC 的方程．
解：(1)∵线段BC 的中点坐标为D ⎝⎛⎭
⎫3，3
2，
△ABC 的顶点坐标A (1，－1)，由两点式得直线AD 的方程y ＋13
2＋1＝x －1
3－1，即BC 边上的中
线所在直线的方程为5x －4y －9＝0.
(2)设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ， 由题意得a ＋b ＝9，①
直线BC 的截距式方程为x a ＋y
b ＝1，
∵点D ⎝⎛⎭⎫3，32在直线BC 上，∴3a ＋3
2b ＝1， ∴6b ＋3a ＝2ab .②
由①②可得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0， 解得a ＝9
2
或a ＝6.
因此，所求直线BC 在两坐标轴上的截距为⎩⎨⎧
a ＝9
2，
b ＝9
2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6，
b ＝3，
∴直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y
3＝1，
即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0.
1．求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2，－3)，B (－5，－6)； (2)过点A (－3，－4)，B (－3,10)；
(3)在x 轴上的截距为－2，在y 轴上的截距为2； (4)在x 轴，y 轴上的截距都是4.
解：(1)y －(－3)－6－(－3)＝x －(－2)
－5－(－2)，整理得x －y －1＝0.
(2)∵直线与x 轴垂直， ∴方程为x ＝－3.
(3)x －2＋y
2
＝1，整理得x －y ＋2＝0.
(4)x 4＋y
4
＝1，整理得x ＋y －4＝0. 2．求过点A (3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程． 解：(1)当直线l 在坐标轴上截距互为相反数且不为0时， 设直线l 的方程为x a ＋y
－a ＝1.
又l 过点A (3, 4)，
∴3a ＋4
－a
＝1，解得 a ＝－1. ∴直线l 的方程为x －1＋y
1
＝1，即x －y ＋1＝0.
(2)当直线l 在坐标轴上截距均为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，将(3,4)代入得k ＝4
3，
∴直线l 的方程为y ＝4
3
x ，即4x －3y ＝0.
已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程；
若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程；若利用条件能求出x 轴、y 轴上的截距时，可用截距式表示方程，但不论用何种方法，最后结果通常化为一般式．
2．直线方程的一般式
设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：
(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.
思路分析：(1)要使直线在x 轴上的截距为－3，可令y ＝0，得x ＝2m －6
m 2－2m －3＝－3，但
需m 2－2m －3≠0；
(2)当斜率为－1时，有－m 2－2m －3
2m 2＋m －1
＝－1，但需注意2m 2＋m －1≠0.
