2021年高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程1.双曲线及其性质课时练理

第十章 圆锥曲线 第1节 椭圆及其性质 题型113 椭圆的定义与标准方程 1.（2014 大纲理 6）已知椭圆C：

22

221xyab0ab的左、右焦点为1F，2F，离心

率为33，过2F的直线l交C于A，B两点，若1AFB△的周长为43，则C的方程为（ ）. A．22132xy B．2213xy C．221128xy

D．

221124xy

2.（2014 安徽理 14）设

21,FF

分别是椭圆E： 2221yxb01b的左、右焦点，

过点1F的直线交椭圆E于A，B两点，若113AFBF，2AFx轴，则椭圆E的方程为 .

3.（2014 辽宁理 15）已知椭圆C：

22194xy，点M与C的焦点不重合.若M关于C

的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则ANBN .

4.（2014 福建理 19）（本小题满分13分）

已知双曲线2222:10,0xyEabab的两条渐近线分别为1:2lyx，

2:2lyx.

（1）求双曲线E的离心率； （2）如图所示，O为坐标原点，动直线l分别交直线21,ll于BA,两点（BA,

分别在第一，四象限），且OAB△的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由. 5.（2016北京理19（1））已知椭圆的离心率为，，

，，的面积为1.求椭圆的方程； 5.解析 可先作出本题的图形：

由题设，可得 解得.所以椭圆的方程是. 6.（2016山东理21（1））平面直角坐标系中，椭圆： 的离

心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点.求椭圆的方程； 6.解析 由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以

，所以椭圆的方程为. 7.（2016天津理19（1））设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知

，其中为原点，为椭圆的离心率.求椭圆的方程. 7.解析 由，即，可得. 又，所以，因此，所以椭圆的方程为 8.（2017浙江2）椭圆的离心率是（ ）.

c e＝ ＝
a
c2 a2＝
a2 ＋ b2 a2 ＝ 2.
13.[2016 ·枣强中学热身
] 双曲线
能力组 x2 y2 C： a2－ b2＝ 1( a>0， b>0) 与抛物线
y2＝ 2px( p>0) 相交
于 A， B 两点，公共弦 AB恰好过它们的公共焦点 F，则双曲线 C的离心率为 ( )
A. 2
C．
x
2
－
y2 8＝
1(
x>0)
D．
x
2
－
y2 10＝
1(
x>1)
答案 A
解析 如图所示，设两切线分别与圆相切于点
S、 T，则 | PM| － | PN| ＝(| PS| ＋| SM|) －
(| PT| ＋ | TN|) ＝ | SM| －| TN| ＝ | BM| － | BN| ＝ 2＝ 2a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与
| bc－ a×0| 1 b2＋ a2 ＝ 4×２c，所以 c＝ 2b， a＝
c2－ b2＝
c 2 23
3b，所以 e＝ a＝
＝ 3
3.
x2 y2 12．[2016 ·衡水中学预测 ] 双曲线 a2－ b2＝ 1( a>0， b>0) 的左、右焦点分别为
F1 和 F2，
左、右顶点分别为 A1 和 A2，过焦点 F2 与 x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为
上， | PF1| ＝ 2| PF2| ，则 cos ∠ F1PF2＝ (
)
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A.
B.
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【与名师对话】2021高考数学一轮温习 双曲线课时作业 理（含解析）新人教A版一、选择题1．(2021·吉林市期中温习检测)设双曲线y 29－x 2a 2＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±4y ＝0，那么双曲线的离心率为( )解析：由双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0知a 2＝16，双曲线的离心率为e ＝9＋163＝53，应选B. 答案：B2．(2021·北京朝阳期末考试)已知双曲线的中心在原点，一个核心为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，那么此双曲线的方程是( )－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1－y 23＝1 －y 22＝1 解析：由题可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，画图可得P (5，4)，故可得双曲线方程为x 2－y 24＝1.答案：B3．(2021·湖北武汉高三调研测试)已知椭圆x 2m＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的核心F 1、F 2，P 是它们的一个交点，那么△F 1PF 2的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m 、n 转变而转变解析：如图，对椭圆x 2m＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对双曲线x 2n－y 2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ，(2c )2＝2(m ＋n )，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2， ∴△F 1PF 2是直角三角形．选B. 答案：B4．(2021·山东滨州模拟)圆锥曲线C 的两个核心别离为F 1，F 2，假设曲线C 上存在点P 知足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，那么曲线C 的离心率为( )或32 或2 或2或32解析：不妨设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，假设此曲线为椭圆，那么有|PF 1|＋|PF 2|＝6x ＝2a ，|F 1F 2|＝3x ＝2c ，因此离心率为e ＝2c2a ＝3x 6x ＝12，假设此曲线为双曲线，那么有|PF 1|－|PF 2|＝2x ＝2a ，现在离心率e ＝2c2a ＝3x 2x ＝32，应选D.答案：D5．(2021·马鞍山第一次质检)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，那么双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(1，3)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线的性质知b a>3，即得c 2－a 2>3a 2，e >2.答案：D6．(2021·河北沧州质量监测)已知双曲线的方程为x 2m －y 24＝1，且右极点到直线y ＝x －4的距离为22，那么双曲线的离心率等于( )或215或295解析：双曲线的右极点为(m ，0)，它到y ＝x －4的距离为d ＝|m －0－4|2＝22，解得m ＝25或9.∴a ＝5或3，∴e ＝ca ＝133或295.答案：D7．(2021·郑州第二次质量预测)如下图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个核心，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点别离为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，那么双曲线的离心率为( )＋1 ＋1 C.2＋12解析：连接OA ，AF 1，|OA |＝|OF 2|＝c ，因△AF 2B 为等边三角形，∴∠AF 2O ＝∠F 2AO ＝30°，∠AOF 2＝120°，|AF 2|＝3c ，△AF 1O 为等边三角形，∴|AF 1|＝c ，|AF 2|－|AF 1|＝3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1，选B.答案：B8．(2021·重庆市模拟)已知A 是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左极点，F 1、F 2别离为双曲线的左、右核心，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，假设GA →＝λPF 1→，那么双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．与λ的取值有关解析：由已知GA →＝λPF 1→知GA ∥PF 1，即△OAG ∽△OF 1P ，得OGOP ＝OAOF 1＝a c ＝13得e ＝ca＝3，应选B.答案：B二、填空题9．(2021·茂名市第一次模拟)已知双曲线x2－ky2＝1的一个核心是(5，0)，那么其渐近线方程为________．解析：由方程知a 2＝1，b 2＝1k ，∴c 2＝5＝1＋1k ，∴k ＝14，即b 2＝4，∴渐近线方程为y＝±bax ＝±2x .答案：y ＝±2x10．(2021·浙江五校第二次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有交点，那么该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：渐近线与圆有交点，即圆心(2,0)到直线y ＝b ax 的距离小于等于半径r ，那么d ＝2ba 2＋b 2≤2⇒c 2≤2a 2⇒1<e ≤2.答案：(]1，211．(2021·温州市高三第二次适应性测试)已知F 1，F 2别离是双曲线x 2－y 2b 2＝1的左、右核心，A 是双曲线上在第一象限内的点，假设|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°.延长AF 2交双曲线右支于点B ，那么△F 1AB 的面积等于________．解析：由题知a ＝1，依照双曲线概念|AF 1|－|AF 2|＝2a 因此|AF 1|＝4，|BF 1|－|BF 2|＝2，∴|BF 1|＝2＋|BF 2|由图知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|∴|BA |＝|BF 1|，△ABF 1为等腰三角形，又因∠F 1AF 2＝45°，因此∠ABF 1＝90°，那么△ABF 1为等腰直角三角形，因此|AB |＝|BF 1|＝2 2.因此S△F 1AB ＝12×22×22＝4.答案：4 三、解答题12．已知双曲线的中心在原点，核心F 1，F 2在座标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2面积． 解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.13．(2021·江西红色六校高三第二次联考)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，BD ＝3DC ，△ABC 的周长为12.假设一双曲线E 以B 、C 为核心，且通过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 假设一过点P (m,0)(m 为非零常数)的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线极点的两点M 、N ，且MP →＝λPN →，问在x 轴上是不是存在定点G ，使BC →⊥(GM →－λGN →)？假设存在，求出所有如此定点G 的坐标；假设不存在，请说明理由．解：(1)设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么B (－c,0)，D (a,0)，C (c,0)．由BD ＝3DC ，得c ＋a ＝3(c －a )，得c ＝2a .∴⎩⎪⎨⎪⎧|AB |2－|AC |2＝16a 2，|AB |＋|AC |＝12－4a ，|AB |－|AC |＝2a .解之得a ＝1，∴c ＝2，b ＝ 3.∴双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设在x 轴上存在定点G (t,0)，使BC →⊥(GM →－λGN →)． 设直线l 的方程为x －m ＝ky ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由MP →＝λPN →，得y 1＋λy 2＝0. 即λ＝－y 1y 2①∵BC →＝(4,0)，GM →－λGN →＝(x 1－t －λx 2＋λt ，y 1－λy 2)， ∴BC →⊥(GM →－λGN →)⇔x 1－t ＝λ(x 2－t )． 即ky 1＋m －t ＝λ(ky 2＋m －t )．②把①代入②，得2ky 1y 2＋(m －t )(y 1＋y 2)＝0③把x －m ＝ky 代入x 2－y 23＝1并整理得(3k 2－1)y 2＋6kmy ＋3(m 2－1)＝0其中3k 2－1≠0且Δ>0，即k 2≠13且3k 2＋m 2>1.y 1＋y 2＝－6km3k 2－1，y 1y 2＝3m 2－13k 2－1.代入③，得6k m 2－13k 2－1－6km m －t3k 2－1＝0，化简得kmt ＝k ，当t ＝1m时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，使BC →⊥(GM →－λGN →)．[热点预测]14．(1)(2021·南平质检)已知双曲线Γ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过双曲线Γ的左核心F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点别离为A、B，那么∠AFB＝( ) A．45° B．60° C．90° D．120°(2)(2021·石家庄质检(二))F1，F2别离是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右核心，过F1的直线l与双曲线的左、右两支别离交于A 、B 两点．假设△ABF 2是等边三角形，那么该双曲线的离心率为( )A ．2解析：(1)双曲线的离心率为2，因此c ＝2a ，由题可得如图，因此∠AFB ＝60°.(2)画出图形，由双曲线的概念得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，又∵△ABF 2为等边三角形，∴|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，|BF 2|＝|BA |＝4a ，|BF 1|＝6a ，△BF 1F 2中|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.∴由余弦定理可得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，离心率e ＝c a ＝7，应选B. 答案：(1)B (2)B。

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。