2017届高考物理二轮复习测试十、带电粒子在组合场、复合场中的运动：及解析

一、带电粒子在复合场中的运动专项训练1．如图所示，在坐标系Oxy 的第一象限中存在沿y 轴正方向的匀强电场，场强大小为E ．在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里．A 是y 轴上的一点，它到坐标原点O 的距离为h ；C 是x 轴上的一点，到O 的距离为L ．一质量为m ，电荷量为q 的带负电的粒子以某一初速度沿x 轴方向从A 点进入电场区域，继而通过C 点进入磁场区域．并再次通过A 点，此时速度方向与y 轴正方向成锐角．不计重力作用．试求： （1）粒子经过C 点速度的大小和方向； （2）磁感应强度的大小B ．【来源】2007普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ)理综物理部分 【答案】（1）α＝arctan2h l（2）B 2212mhEh l q+【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）以a 表示粒子在电场作用下的加速度，有qE ma ＝①加速度沿y 轴负方向．设粒子从A 点进入电场时的初速度为0v ，由A 点运动到C 点经历的时间为t ， 则有：212h at =② 0l v t =③由②③式得02a v h＝ 设粒子从C 点进入磁场时的速度为v ，v 垂直于x 轴的分量12v ah ＝⑤ 由①④⑤式得：22101v v v +＝()2242qE h l mh+⑥设粒子经过C 点时的速度方向与x 轴的夹角为α，则有1v tan v α＝⑦ 由④⑤⑦式得2h arctanlα＝⑧（2）粒子从C 点进入磁场后在磁场中作速率为v 的圆周运动．若圆周的半径为R ，则有qvB ＝m 2v R⑨设圆心为P ，则PC 必与过C 点的速度垂直，且有PC ＝PA R ＝．用β表示PA 与y 轴的夹角，由几何关系得：Rcos Rcos h βα=+⑩Rsin l Rsin βα=－解得222242h l R h l hl++＝由⑥⑨式得：B 2212mhEh l q+2．两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。

1．如图1所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场．在该区域中，有一个竖直放置的光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球．O点为圆环的圆心，a、b、c、d为圆环上的四个点，a点为最高点，c点为最低点，b、O、d三点在同一水平线上．已知小球所受电场力与重力大小相等．现将小球从环的顶端a点由静止释放，下列判断正确的是()图1A．小球能越过d点并继续沿环向上运动B．当小球运动到d点时，不受洛伦兹力C．小球从d点运动到b点的过程中，重力势能减小，电势能减小D．小球从b点运动到c点的过程中，经过弧bc中点时速度最大答案BD2．如图2甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xOy平面垂直的匀强磁场．在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度为v0的带电微粒．(已知重力加速度为g)图2(1)当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动．求电场强度E和磁感应强度B的大小和方向．(2)调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在xOy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第Ⅰ象限，如图乙所示．现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证电场强度E和磁感应强度B的大小和方向不变的条件下，求出符合条件的磁场区域的最小面积．答案 (1)E ＝mg q ，沿y 轴正方向 B ＝mv 0qR ，垂直纸面向外 (2)(π2－1)R 2解析 (1)微粒沿x 轴正方向运动，即带电微粒所受重力与电场力平衡． 设电场强度大小为E ，由平衡条件得：mg ＝qE 解得：E ＝mgq由于粒子带正电，故电场方向沿y 轴正方向带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且半径r ＝R . 设匀强磁场的磁感应强度大小为B . 由牛顿第二定律得：qv 0B ＝m v 20R解得B ＝mv 0qR，磁场方向垂直纸面向外．(2)沿y 轴正方向射入的微粒，运动轨迹如图所示：3．如图3所示，在矩形区域CDNM 内有沿纸面向上的匀强电场，场强的大小E ＝1.5×105 V/m ；在矩形区域MNGF 内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B ＝0.2 T ．已知CD ＝MN ＝FG ＝0.60 m ，CM ＝MF ＝0.20 m ．在CD 边中点O 处有一放射源，沿纸面向电场中各方向均匀地辐射出速率均为v 0＝1.0×106 m/s 的某种带正电粒子，粒子质量m ＝6.4×10－27kg ，电荷量q ＝3.2×10－19C ，粒子可以无阻碍地通过边界MN 进入磁场，不计粒子的重力．求：图3(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；(2)边界FG 上有粒子射出磁场的范围长度；(3)粒子在磁场中运动的最长时间．(后两问结果保留两位有效数字) 答案 (1)0.2 m (2)0.43 m (3)2.1×10－7s(2)设粒子沿垂直于电场方向射入时，出电场时水平位移为x ，则由平抛规律得：⎩⎪⎨⎪⎧d ＝12·qE m ·t2x ＝v 0t解得x ＝2315m离开电场时，sin θ1＝v 0v ＝12，θ1＝30°.由题意可知，PS ⊥MN ，沿OC 方向射出粒子到达P 点，为左边界，垂直MN 射出的粒子与边界FG 相切于Q 点，Q 为右边界，QO ″＝r ，轨迹如图．范围长度为l ＝x ＋r ＝(2315＋0.2) m≈0.43 m.(3)T ＝2πm qB ，由分析可知，OO ′方向射出的粒子运动时间最长，设FG 长度为Lsin θ2＝12L －r r ＝12，θ2＝30°带电粒子在磁场中运动的最大圆心角为120°，对应的最长时间为t max ＝13T ＝2πm 3qB≈2.1×10－7 s4．如图4甲所示，水平直线MN 上方有竖直向下的匀强电场，场强大小E ＝π×103 N/C ，MN 下方有垂直于纸面的磁场，磁感应强度B 随时间t 按如图乙所示规律做周期性变化，规定垂直纸面向外为磁场正方向．T ＝0时将一重力不计、比荷q m＝106 C/kg 的正点电荷从电场中的O 点由静止释放，在t 1＝1×10－5 s 时恰通过MN 上的P 点进入磁场，P 点左方d ＝105 cm 处有一垂直于MN 且足够大的挡板．图4求：(1)电荷从P 点进入磁场时速度的大小v 0； (2)电荷在t 2＝4×10－5 s 时与P 点的距离Δx ；(3)电荷从O 点出发运动到挡板所需时间t 总． 答案 (1)π×104 m/s (2)20 2 cm (3)1.42×10－4 s故电荷从t ＝0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图所示．在t ＝0到t 2＝4×10－5 s 时间内，电荷先沿直线OP 运动t 1，再沿大圆轨迹运动T 14，紧接着沿小圆轨迹运动T 2，t 2＝4×10－5 s 时电荷与P 点的距离Δx ＝2r 1＝20 2 cm解得t 总＝856×10－5 s≈1.42×10－4 s.5． 如图1所示，P 、Q 是相距为d 的水平放置的两平行金属板，P 、Q 间有垂直于纸面向里、磁感应强度为B 1的匀强磁场，MN 是竖直放置的两平行金属板，用导线将P 与M 相连，将Q 与N 相连，X 是平行于M 和N 的竖直绝缘挡板，Y 是平行于M 和N 的荧光屏，X 、M 、N 、Y 的中间各有一个小孔，所有小孔在同一水平轴线上，荧光屏的右侧有垂直于纸面向外、磁感应强度为B 2的匀强磁场，现有大量的等离子体(等离子体中的正负离子电荷量的大小均为q ，质量均为m )以相同的速度垂直于磁场水平向右射入金属板P 、Q 之间．现忽略电场的边缘效应，不计等离子体的重力，两对极板间形成的电场均可视为匀强电场．求：图1(1)若在荧光屏Y 上只有一个亮点，则等离子体的初速度v 0必须满足什么条件；(2)若等离子体以初速度v 0射入磁场，且在荧光屏上有两个亮点，则正、负两种电荷形成的亮点到荧光屏上小孔的距离之比是多少？答案 (1)v 0≤2dB 1qm(2)mv 20＋2dB 1qv 0mv 20－2dB 1qv 0解析 (1)由于带电粒子偏转，P 、Q 极板上将带上电荷，设电压为U ，则极板M 、N 间的电压也为U ，当带电粒子在P 、Q 极板间做匀速运动时有qv 0B 1＝Udq若在荧光屏Y 上只有一个亮点，则负电荷不能通过极板，M 、N 板间应满足 qU ≥12mv 20解得v 0≤2dB 1qm设做圆周运动的半径为R 2，则 qv 2B ＝mv 22R 2得R 2＝m mv 20－2dB 1qv 0q 2B 22所以，正、负两种电荷形成的亮点到荧光屏上小孔的距离之比为d 1d 2＝2R 12R 2＝mv 20＋2dB 1qv 0mv 20－2dB 1qv 06． 如图2所示，在xOy 平面内，第Ⅲ象限内的直线OM 是电场与磁场的边界，OM 与x 轴负方向成45°角．在x <0且OM 的左侧空间存在着沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ＝50 N/C ，在y <0且OM 的右侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B ＝0.2 T ．一不计重力的带负电的微粒，从坐标原点O 沿y 轴负方向以v 0＝4×103 m/s 的初速度进入磁场，已知微粒所带电荷量为q ＝－4×10－18C ，质量为m ＝1×10－24kg.求：图2(1)带电微粒第一次经过磁场边界时的位置坐标及经过磁场边界时的速度方向； (2)带电微粒最终离开电、磁场区域时的位置坐标；(3)带电微粒在电、磁场区域运动的总时间(结果可以保留π)．答案 (1)(－5×10－3 m ，－5×10－3 m) 速度方向与OM 夹角为45°，与电场平行 (2)(0,3.0×10－2 m)(3)(5＋π4)×10－5 s(2)如图所示，微粒从C 点沿y 轴正方向进入电场，做类平抛运动，设其加速度为a ，运动时间为t 1，则有a ＝qE m解得a ＝2.0×108 m/s 2 Δx ＝12at 21＝2r解得t 1＝1×10－5 sΔy ＝v 0t 1代入数据解得Δy ＝0.04 my ＝Δy －2r ＝(0.04－2×5×10－3) m ＝3.0×10－2 m微粒离开电场时的位置D 的坐标为(0,3.0×10－2 m)t ＝t 1＋t 2＋t 3＝(5＋π4)×10－5 s7． 如图3所示，真空室内竖直条形区域Ⅰ存在垂直纸面向外的匀强磁场，条形区域Ⅱ(含Ⅰ、Ⅱ区域分界面)存在水平向右的匀强电场，电场强度为E ，磁场和电场宽度均为L ，高度足够大，M 、N 为涂有荧光物质的竖直板．现有P 、Q 两束质子从A 处连续不断地射入磁场，入射方向都与M 板夹角成60°且与纸面平行，两束质子束的速度大小都恒为v .当Ⅰ区中磁场较强时，M 板上有一个亮斑，N 板上无亮斑．缓慢改变磁场强弱，M 板和N 板上会各有一个亮斑，继续改变磁场强弱，可以观察到N 板出现两个亮斑时，M 板上的亮斑刚好消失．已知质子质量为m ，电量为e ，不计质子重力和相互作用力，求：图3(1)N 板上刚刚出现一个亮斑时，M 板上的亮斑到A 点的距离x ； (2)N 板上恰好出现两个亮斑时，区域Ⅰ中的磁感应强度B ； (3)N 板上恰好出现两个亮斑时，这两个亮斑之间的距离s . 答案 (1)233L (2)mv2eL(3)2L ＋v2mLeE解析 (1)N 板上恰出现一个亮斑时，两束质子的轨迹如图甲所示，设轨迹的半径为R .有R ＋R sin 30°＝L 由几何关系知x ＝3R 联立解得x ＝233L(2)N 板上恰好出现两个亮斑时，两束质子的轨迹如图乙所示．设轨迹半径为r ，有r sin 30°＝L evB ＝mv 2r解得B ＝mv2eL8． 电子扩束装置由电子加速器、偏转电场和偏转磁场组成．偏转电场的极板由相距为d 的两块水平平行放置的导体板组成，如图4甲所示．大量电子由静止开始，经加速电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间OO ′射入偏转电场．当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为2t 0；当在两板间加最大值为U 0、周期为2t 0的电压(如图乙所示)时，所有电子均能从两板间通过，然后进入竖直宽度足够大的匀强磁场中，最后打在竖直放置的荧光屏上．已知磁场的磁感应强度为B ，电子的质量为m 、电荷量为e ，其重力不计．图4(1)求电子离开偏转电场时的位置到OO ′的最小距离和最大距离； (2)要使所有电子都能垂直打在荧光屏上，求：①匀强磁场的水平宽度L ；②垂直打在荧光屏上的电子束的宽度Δy .答案 (1)3U 0et 202dm U 0et 22dm (2)①U 0t 0dB ②U 0e dmt 20(2)①设电子从偏转电场中射出时的偏向角为θ，由于电子要垂直打在荧光屏上，所以电子在磁场中运动半径应为：R ＝Lsin θ设电子离开偏转电场时的速度为v 1，垂直偏转极板的速度为v y ，则电子离开偏转电场时的偏向角为：sin θ＝v y v 1，式中v y ＝U 0e dmt 0 又：R ＝mv 1Be解得：L ＝U 0t 0dB②由于各个时刻从偏转电场中射出的电子的速度大小相等，方向相同，因此电子进入磁场后做圆周运动的半径也相同，都能垂直打在荧光屏上．由第(1)问知电子离开偏转电场时的位置到OO ′的最大距离和最小距离的差值为：Δy 1＝y max －y min Δy 1＝U 0e dm t 20所以垂直打在荧光屏上的电子束的宽度为：Δy ＝Δy 1＝U 0e dm t 209．如图1所示，电压为U 的两块平行金属板MN ，M 板带正电．x 轴与金属板垂直，原点O 与N 金属板上的小孔重合，在O ≤x ≤d 区域存在垂直纸面的匀强磁场B 1(图上未画出)和沿y 轴负方向大小为E ＝23U 3d的匀强电场，B 1与E 在y 轴方向的区域足够大．有一个质量为m ，带电荷量为q 的带正电粒子(粒子重力不计)，从靠近M 板内侧的P 点(P 点在x 轴上)由静止释放后从N 板的小孔穿出后沿x 轴做直线运动；若撤去磁场B 1，在第四象限x >d 的某区域加上左边界与y 轴平行且垂直纸面的匀强磁场B 2(图上未画出)，为了使粒子能垂直穿过x 轴上的Q 点，Q 点坐标为(72d,0)．求：图1(1)磁感应强度B 1的大小与方向；(2)磁感应强度B 2的大小与方向；(3)粒子从坐标原点O 运动到Q 点所用的时间t .答案 (1)1d2Um 3q ，方向垂直纸面向里 (2)2d2mU 3q ，方向垂直纸面向里 (3)(1＋36π)d 2m qU(2)撤去磁场B 1，粒子在0≤x ≤d 区域内的电场中运动的时间t ＝d v 0设粒子离开电场时偏向角为θ有：v y ＝at ，a ＝qE mtan θ＝v y v 0＝33，θ＝30° 粒子离开电场时速度大小v ＝v 0cos θ＝233v 0依题意，粒子运动轨迹如图所示，设在x >d 的某区域磁场中半径为r ，可得：FO ′＝2r2r ＋r ＝OQ －OF ＝3d解得r ＝d由洛伦兹力提供向心力： qvB 2＝mv 2r 得：B 2＝2d 2mU 3q，方向垂直纸面向里10．如图2所示，x 轴上方有竖直向下的匀强电场，x 轴下方有垂直纸面向外的匀强磁场．矩形OACD 的边长分别为h 和2h ，一个带正电的粒子，质量为m ，电荷量为q ，以平行于x 轴的某一初速度从A 点射出，经t 0时间粒子从D 点进入磁场，再经过一段时间后粒子又一次经过A 点(粒子重力忽略不计)．求：图2(1)电场强度E 的大小；(2)磁感应强度B 的大小；(3)若仅改变粒子初速度的大小，求粒子以最短时间由A 运动到C 所需的初速度大小v x .(2)由v x ＝2h t 0v y ＝at 0＝2h t 0＝v x 得v ＝22h t 0④ 由R ＝mv qB得：22mh qBt 0＝22h ⑤ 则B ＝m qt 0⑥ (3)设速度大小为v x ，运动轨迹第一次与x 轴相交时，交点处速度方向与x 轴夹角为θ，v y ＝2h t 0，合速度为v ，交点坐标为x 2＝v x t 0sin θ＝v y v⑦v x ＝3h t 0。

专题7 带电粒子在复合场中的运动说明：1．本卷主要考查带电粒子在复合场中的运动。

2．考试时间60分钟，满分100分。

一、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～8题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1．(2017·北京东城区模拟)如图所示，一束质量、速度和电荷量不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为A 、B 两束，下列说法中正确的是( )A ．组成A 束和B 束的离子都带负电B ．组成A 束和B 束的离子质量一定不同C ．A 束离子的比荷大于B 束离子的比荷D ．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外【解析】由左手定则知，A 、B 离子均带正电，选项A 错误；两束离子经过同一速度选择器后的速度相同，在偏转磁场中，由可知，半径大的离子对应的比荷小，但离子的质量不一定相同，选项B 错误、C 正确；速度选择器中的磁场方向应垂直纸面向里，选项D 错误。

【答案】C2．(2017·湖南长沙模拟)如图所示，一个理想边界为PQ 、MN 的匀强磁场区域，磁场宽度为d ，方向垂直纸面向里。

一电子从O 点沿纸面垂直PQ 以速度v 0进入磁场。

若电子在磁场中运动的轨道半径为2d 。

O ′在MN 上，且OO ′与MN 垂直。

下列判断正确的是( )A ．电子将向右偏转B ．电子打在MN 上的点与O ′点的距离为dC.电子打在MN 上的点与O ′点的距离为3dD.电子在磁场中运动的时间为πd 3v0【解析】电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示，选项A 错误；设电子打在MN 上的点与O ′点的距离为x ，则由几何知识得x ＝r －r2－d2＝2d －（2d ）2－d2＝(2－3)d ，选项B 、C 错误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得sin θ＝d 2d ＝0.5，得θ＝π6，则电子在磁场中运动的时间为t ＝θr v0＝πd 3v0，选项D 正确。

专题七带电粒子在复合场中的运动高考对该部分内容的考查主要是：(1)考查带电粒子在组合场中的运动问题；(2)考查带电粒子在复合场中的运动问题；(3)考查以带电粒子在组合场、复合场中的运动规律为工作原理的仪器在科学领域、生活实际中的应用．知识点一、带电粒子在组合复合场中的运动“电偏转”和“磁偏转”的比较垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)情景图受力F B ＝qv 0B 大小不变，方向总指向圆心，方向变化，F B 为变力F E ＝qE ，F E 大小、方向不变，为恒力运动规律匀速圆周运动r ＝mv0Bq ，T ＝2πm Bq 类平抛运动vx ＝v0，vy ＝Eq m t x ＝v0t ，y ＝Eq 2mt2运动时间t ＝θ2πT ＝θm Bqt ＝L v0，具有等时性动能不变变化知识点二、带电粒子在叠加复合场中的运动高考物理二轮复习：带电粒子在复合场中的运动知识点解析与专题练习高频考点一带电粒子在叠加场中的运动分析例1、（2018年全国II卷）一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xoy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xoy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条形区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。

一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。

不计重力。

（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；（2）求该粒子从M点射入时速度的大小；（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。

【方法技巧】带电粒子在叠加场中运动的处理方法1．弄清叠加场的组成特点．2．正确分析带电粒子的受力及运动特点．3．画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止．例如电场与磁场中满足qE ＝qvB ；重力场与磁场中满足mg ＝qvB ；重力场与电场中满足mg ＝qE .(2)若三场共存时，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F ＝qvB 的方向与速度v 垂直．(3)若三场共存时，粒子做匀速圆周运动，则有mg ＝qE ，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB ＝m v 2r.(4)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．【变式探究】如图1所示，位于竖直平面内的坐标系xOy ，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ＝0.5T ，还有沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ＝2N/C.在其第一象限空间有沿y 轴负方向的、场强大小也为E 的匀强电场，并在y >h ＝0.4m 的区域有磁感应强度也为B 的垂直于纸面向里的匀强磁场．一个带电荷量为q 的油滴从图中第三象限的P 点得到一初速度，恰好能沿PO 做匀速直线运动(PO 与x 轴负方向的夹角为θ＝45°)，并从原点O 进入第一象限．已知重力加速度g ＝10m/s 2，问：图1(1)油滴在第三象限运动时受到的重力、电场力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷；(2)油滴在P 点得到的初速度大小；(3)油滴在第一象限运动的时间．【变式探究】如图2，水平地面上方有一底部带有小孔的绝缘弹性竖直挡板，板高h ＝9m ，与板上端等高处水平线上有一P 点，P 点离挡板的距离x ＝3m ．板的左侧以及板上端与P 点的连线上方存在匀强磁场和匀强电场．磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B ＝1T ；比荷大小q m＝1.0C/kg 可视为质点的小球从挡板下端处小孔以不同的速度水平射入场中做匀速圆周运动，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电量不变，小球最后都能经过位置P ，g ＝10m/s 2，求：图2(1)电场强度的大小与方向；(2)小球不与挡板相碰运动到P 的时间；(3)要使小球运动到P 点时间最长应以多大的速度射入？高频考点二带电粒子在组合场中的运动分析例2、（2018年天津卷）如图所示，在水平线ab 的下方有一匀强电场，电场强度为E ，方向竖直向下，ab 的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，磁场中有一内、外半径分别为R 、的半圆环形区域，外圆与ab 的交点分别为M 、N 。