如何合理构建反例
- 格式：pdf
- 大小：130.66 KB
- 文档页数：3
分析 由题 设 ， 列 ｛ 、 ｂ ｝ 数 ａ ｝ ｛ 均为 等 比数列先试验前三项能否成等 比， 则可取 ａ
＝
谈如何合理地构建反例，仅供参考 ． １ 从题设 出发构建反例
（ ）利用极端位置构建 １
例 １ （１ ０ 年全国 高考第 １ 改编 ） ９题 Ｐ Ｑ为过抛物线 ｙ ＝２ ｘ焦点 Ｆ的一 条弦 ， ２ ｐ
见， 移项平方后所得 的一元二次方程最好缺 少常数项 ， ｃ以取 ０或 １ 故 ， 为好 ． 试验一 当 ｃ ０时， 简得 （ ） ＝ 化 ａ —１
＝
例子难以起到的效果 ． ２ 结合整个推理过程来构建反例 反例构建是猜想、试验、推理等多重并
举的一项综合性、创造性活动 ，是培养学生 创新精神，提高学生创造能力的一种很好 的
≥Ｏ时， ［ ， 在 ０ ＋∞） 为增 函数 ； 口 一１ 上 当 ≤ 时 ， ［， 在 Ｏ ＋∞） 上为减 函数 ． 问： 一１ 试 当 ＜ａ
在区间［ ， ０ ＋∞） 上不是单调 函数 ． ３ 从命题的结论出发构建反例
先作出与命题结论相 反的假设 ， 再在否
定这个假设 的过程 中来寻求反例 ， 从而证 明
思维品质． 尝试画出反例的直观 图（ 如图 ２ ， ）
可 知 ， ｐ 是 一 条 Ｐ 动 弦， 以用 特 殊 所
位置先 进 行 试 验 ， 如 图 １ 尸 为通 径 ，Ｏ
，’
这倒有一定 的效果 ． 点评 这样 的
模型显然与作为棱 柱的模 型有很大 区Ｅ 别 ， 给人 们 以柱 不 图１
载体．但反例往往是伴随着命题 的推广 、正 面证明失效后产生的，不是凭空而来 的，所
以反例构建不能就事论事、为举反例而举反
１ ・ａ ，． 一１ ． － ＜０ 方程 无解 ．
试验二
当 ｃ 时， 简得 （ 一ａ ） ＝１ 化 １ ＞ｏ 反例 ，
＋ 口 ｏ解得 Ｘ ＝０ Ｘ ＝ ２ ＝ ， ｌ ，２ 构建成功 ． 因此 当 Ｘ ＝ ， ２ ｌ ０Ｘ ＝
原命题是正确的． 例 ６ 证明 （ ＝Ｉ ｎ ＋ＩｏｘＩ ） ｘＩ ｔ 的 ｔ ａ ｃ
＜ 时 ， Ｏ ＋∞） ０ 在［ ， 上是单调函数吗？
分： —— 一
最小正周期是詈．
分析 当 ≠ （ ∈ｚ 时都有 后 ）
图２
ａ＋ ｃ
，
ｋ ＝ ’ ， ≠Ａ Ａ 詈 Ｐ ｋ Ｍ Ｍ故
２ ・ ０
维普资讯
２０ ０ ６年 第 １ 期
河北理科 教 学研 究
问题 讨论
识， 强化对概念的理解 ， 这样往往能起到正面
为使方程￣ ＋１ ｘ＝ｃ ／ ＋ａ 求解方便起
２
时 ， Ｐ 一ｃ－ ） 则 （ ， ， ｏ
Ｑ（ Ｃ －ｂ ） － ， ２ ，
ｋ
・
－ａ ０ ， ， ）
＿ ａ
＿
，
一
ｃ
等， 相平行 ” ， ， 为反例 的模 型 ） 的特征 因此 把它作
使用 ， 十分直 观 ， 利于 澄清 学生 的片 面认 有
体 的形 象 ， 具 有 不 “ 余各 面 每 相 邻 其 两条 的公共边都互
分析 大多数学生认为正确 ， 有些学生
２
２
Ｄ一
圆 ＋ ＝１ 左焦点 Ｆ 的一条弦 ，ＭＱ 平
８
行 轴并 交左准线于 ，Ａ为左顶点 ，则
Ｐ、Ａ、 分析 三点共线吗？ 由题设
不知如何考虑 ． 仅仅从定义去分析 ， 若举不出 反例 ， 难以使学生信服 ， 也不利于培养学生 的
延伸等等 ，这时反例也常会有用武之地．但 对学生来说 ，因习惯了长期 的正面推证 ，对 构建反例普遍感到陌生甚至为难 ， 以在教 所 学中对反例构建方法的指导很有必要．本文 从研究命题 的题设 、结论及解题过程人手谈
数列 ｛ 、ｂ ｝ 口 ｝ ｛ 均为等差数列时， 数列 ｛ ｝ ｃ 也 为等差数列 ； 当数 列 ｛ 、 ｂ ｝ 为等 比数 ａ ｝ ｛ 均 列时 ， 数列 ｛ ｝ Ｃ 也必为等比数列吗？
例，而是要把问题的产生过程 ，构造反例的 思维过程充分展现给学生 ， 反例构建与整 使
个推理过程有机地结合 、自然地融合 ，让学
时 ， Ｘ） （ １ ＝
（ ） ， ２ ＝１所以当 一１ ＜０时， ＜口 函数 （ ）
生感到构建过程合情合理．
例 ５ （０ ０ ２０ 年全 国高考第 １ 题改编 ） ９ 设函数 厂 ） ＋１ ｘ 易证明 ： 口 （ ＝√ ＋ａ ， 当
１ ｂ ＝２ ， ｃ ＝３ ｃ ＝５ ｃ ＝ ， ， 则 ｌ ，２ ，３ ９ 显然不
成等 比数列． （） ３利用特形构建
ＭＱ平行 轴并交准线于 ，易证 Ｐ 、０、 三点 共线 ．若作 如下类 比 ：Ｐ 为过 椭 ９
．
例３ “ 有两个面互相平行 ， 各面都 其余 是平行 四边形的凸多面体是棱柱” ．
结论会有什么影响？能否将命题的结论推广
Ｐ、 Ｍ 三点不共线 ． Ａ、 ‘ 由上述反例 的启 示 ， 否有 ｋ． ＝ｅ＾ 是 Ａ 】 ｋＰ ｌ ｆ 呢？（ 留给读者思考 ） ．
（） ２ 利用特值构建 例 ２ （０ ０年全 国高考第 ２ ２０ ０题改编 ）
有数列 ｛ 、 ｂ ｝记 Ｃ ＝ａ ａ ｝ ｛ ， ＋ｂ ， 易证 ： 当
维普资讯
２０ 年第 １ ０６ 期
河北理科教 学研 究
问题讨论
如 何 合 理 构 建 反 例
浙江省宁波镇海 中兴 中学 陈 斌 ３ ５０ １２ １
当学习一 个新 的数学 命题 （ 义、定 定
理、公式等）时 ，常常可用反例去加深对命 题的理解 ；若要否定一个命题 ，最简单的方 法是找一个反例 ；当命题 的条件改变一下 ，
使得 １ ２ｆ １一 （ ２ ＝ ￣ ０ ｌ ＜ ． （ ） ｆ ） （ １＋ ＋ ／
＝
谈如何合理地构建反例，仅供参考 ． １ 从题设 出发构建反例
（ ）利用极端位置构建 １
例 １ （１ ０ 年全国 高考第 １ 改编 ） ９题 Ｐ Ｑ为过抛物线 ｙ ＝２ ｘ焦点 Ｆ的一 条弦 ， ２ ｐ
见， 移项平方后所得 的一元二次方程最好缺 少常数项 ， ｃ以取 ０或 １ 故 ， 为好 ． 试验一 当 ｃ ０时， 简得 （ ） ＝ 化 ａ —１
＝
例子难以起到的效果 ． ２ 结合整个推理过程来构建反例 反例构建是猜想、试验、推理等多重并
举的一项综合性、创造性活动 ，是培养学生 创新精神，提高学生创造能力的一种很好 的
≥Ｏ时， ［ ， 在 ０ ＋∞） 为增 函数 ； 口 一１ 上 当 ≤ 时 ， ［， 在 Ｏ ＋∞） 上为减 函数 ． 问： 一１ 试 当 ＜ａ
在区间［ ， ０ ＋∞） 上不是单调 函数 ． ３ 从命题的结论出发构建反例
先作出与命题结论相 反的假设 ， 再在否
定这个假设 的过程 中来寻求反例 ， 从而证 明
思维品质． 尝试画出反例的直观 图（ 如图 ２ ， ）
可 知 ， ｐ 是 一 条 Ｐ 动 弦， 以用 特 殊 所
位置先 进 行 试 验 ， 如 图 １ 尸 为通 径 ，Ｏ
，’
这倒有一定 的效果 ． 点评 这样 的
模型显然与作为棱 柱的模 型有很大 区Ｅ 别 ， 给人 们 以柱 不 图１
载体．但反例往往是伴随着命题 的推广 、正 面证明失效后产生的，不是凭空而来 的，所
以反例构建不能就事论事、为举反例而举反
１ ・ａ ，． 一１ ． － ＜０ 方程 无解 ．
试验二
当 ｃ 时， 简得 （ 一ａ ） ＝１ 化 １ ＞ｏ 反例 ，
＋ 口 ｏ解得 Ｘ ＝０ Ｘ ＝ ２ ＝ ， ｌ ，２ 构建成功 ． 因此 当 Ｘ ＝ ， ２ ｌ ０Ｘ ＝
原命题是正确的． 例 ６ 证明 （ ＝Ｉ ｎ ＋ＩｏｘＩ ） ｘＩ ｔ 的 ｔ ａ ｃ
＜ 时 ， Ｏ ＋∞） ０ 在［ ， 上是单调函数吗？
分： —— 一
最小正周期是詈．
分析 当 ≠ （ ∈ｚ 时都有 后 ）
图２
ａ＋ ｃ
，
ｋ ＝ ’ ， ≠Ａ Ａ 詈 Ｐ ｋ Ｍ Ｍ故
２ ・ ０
维普资讯
２０ ０ ６年 第 １ 期
河北理科 教 学研 究
问题 讨论
识， 强化对概念的理解 ， 这样往往能起到正面
为使方程￣ ＋１ ｘ＝ｃ ／ ＋ａ 求解方便起
２
时 ， Ｐ 一ｃ－ ） 则 （ ， ， ｏ
Ｑ（ Ｃ －ｂ ） － ， ２ ，
ｋ
・
－ａ ０ ， ， ）
＿ ａ
＿
，
一
ｃ
等， 相平行 ” ， ， 为反例 的模 型 ） 的特征 因此 把它作
使用 ， 十分直 观 ， 利于 澄清 学生 的片 面认 有
体 的形 象 ， 具 有 不 “ 余各 面 每 相 邻 其 两条 的公共边都互
分析 大多数学生认为正确 ， 有些学生
２
２
Ｄ一
圆 ＋ ＝１ 左焦点 Ｆ 的一条弦 ，ＭＱ 平
８
行 轴并 交左准线于 ，Ａ为左顶点 ，则
Ｐ、Ａ、 分析 三点共线吗？ 由题设
不知如何考虑 ． 仅仅从定义去分析 ， 若举不出 反例 ， 难以使学生信服 ， 也不利于培养学生 的
延伸等等 ，这时反例也常会有用武之地．但 对学生来说 ，因习惯了长期 的正面推证 ，对 构建反例普遍感到陌生甚至为难 ， 以在教 所 学中对反例构建方法的指导很有必要．本文 从研究命题 的题设 、结论及解题过程人手谈
数列 ｛ 、ｂ ｝ 口 ｝ ｛ 均为等差数列时， 数列 ｛ ｝ ｃ 也 为等差数列 ； 当数 列 ｛ 、 ｂ ｝ 为等 比数 ａ ｝ ｛ 均 列时 ， 数列 ｛ ｝ Ｃ 也必为等比数列吗？
例，而是要把问题的产生过程 ，构造反例的 思维过程充分展现给学生 ， 反例构建与整 使
个推理过程有机地结合 、自然地融合 ，让学
时 ， Ｘ） （ １ ＝
（ ） ， ２ ＝１所以当 一１ ＜０时， ＜口 函数 （ ）
生感到构建过程合情合理．
例 ５ （０ ０ ２０ 年全 国高考第 １ 题改编 ） ９ 设函数 厂 ） ＋１ ｘ 易证明 ： 口 （ ＝√ ＋ａ ， 当
１ ｂ ＝２ ， ｃ ＝３ ｃ ＝５ ｃ ＝ ， ， 则 ｌ ，２ ，３ ９ 显然不
成等 比数列． （） ３利用特形构建
ＭＱ平行 轴并交准线于 ，易证 Ｐ 、０、 三点 共线 ．若作 如下类 比 ：Ｐ 为过 椭 ９
．
例３ “ 有两个面互相平行 ， 各面都 其余 是平行 四边形的凸多面体是棱柱” ．
结论会有什么影响？能否将命题的结论推广
Ｐ、 Ｍ 三点不共线 ． Ａ、 ‘ 由上述反例 的启 示 ， 否有 ｋ． ＝ｅ＾ 是 Ａ 】 ｋＰ ｌ ｆ 呢？（ 留给读者思考 ） ．
（） ２ 利用特值构建 例 ２ （０ ０年全 国高考第 ２ ２０ ０题改编 ）
有数列 ｛ 、 ｂ ｝记 Ｃ ＝ａ ａ ｝ ｛ ， ＋ｂ ， 易证 ： 当
维普资讯
２０ 年第 １ ０６ 期
河北理科教 学研 究
问题讨论
如 何 合 理 构 建 反 例
浙江省宁波镇海 中兴 中学 陈 斌 ３ ５０ １２ １
当学习一 个新 的数学 命题 （ 义、定 定
理、公式等）时 ，常常可用反例去加深对命 题的理解 ；若要否定一个命题 ，最简单的方 法是找一个反例 ；当命题 的条件改变一下 ，
使得 １ ２ｆ １一 （ ２ ＝ ￣ ０ ｌ ＜ ． （ ） ｆ ） （ １＋ ＋ ／
