2021-2022学年四川省宜宾市普通高中高三上学期一诊数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x2−x−2≤0}，B={x|−1≤x<2}，则A∩B=()A. {x|−1≤x<2}B. {x|0≤x<2}C. {0,1}D. {−1,0,1,2}2.已知i是虚数单位，复数z=2+1+i1−i，则|z|=()A. √5B. √3C. 2D. 13.北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神州十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭的质量(除燃料外)m(单位：kg)的函数关系是ν=2000ln(1+Mm).当火箭的最大速度达到11.5km/s时，则燃料质量与火箭质量之比约为()(参考数据：e5.75≈314)A. 314B. 313C. 312D. 3114.已知向量m⃗⃗⃗ =(−7,2+a)，n⃗=(a+13,−6)，若n⃗=λm⃗⃗⃗ ，则λ=()A. −2或73B. −2或37C. −2D. 375.二项式(1+2x)7的展开式中含x3项的系数为()A. 35B. 70C. 140D. 2806.某工厂响应“节能降耗”的号召，积极进行技术改造．技术改造过程中某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(千瓦)的几组对应数据如表：产量x(吨)1020304050生产能耗y(千瓦)62m758189根据上表提供的数据，由最小二乘法求得回归直线方程为ŷ=0.67x+54.9，那么表中m的值为()A. 69B. 68C. 67D. 667. 函数y=ex3e x−e−x(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()A. B.C. D.8. 若a=0.50.6，b=0.60.5，c=log93，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a9. 已知过坐标原点O的直线l与函数y=|sinx|的图象有且仅有三个公共点，若这三个公共点的横坐标的最大值为α，则下列等式成立的是()A. α+cosα=0B. α+sinα=0C. α+tanα=0D. α−tanα=010. 电影院每排的座位号分单双号分布，每一排的中间是小号，往两边依次变大，如，中间开始，往左边座位号分布为1→3→5→⋯，往右边座位号分布为2→4→6→⋯.国庆档电影上映前五天，《长津湖》以21.31亿元的票房收入高居票房榜榜首．长江社区为了慰问烈士家属，购买了某场放映《长津湖》同一排座位号为2，4，6，8，10，12的六张电影票，准备全部分发给甲、乙、丙、丁四个烈士家庭，每个家庭至少一张，至多两张，且分给同一家庭的两张票必须座位相连，那么不同的分法种数是()A. 24B. 48C. 96D. 14411. 已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在区间(0,π)内恰好有3个零点，则ω的取值范围是()A. (53,83] B. [53,83) C. (83,113] D. [83,113)12. 若直线x=a与两曲线y=e x，y=lnx分别交于A，B两点，且曲线y=e x在A点处的切线为m，曲线y=lnx在B点处的切线为n，则下列结论：①∃a∈(0,+∞)，使m//n；②当m//n时，|AB|取得最小值；③|AB|的最小值为2；④|AB|>ln2+log 2e.其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①②③C. ①②④D. ①②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=12，a 2+a 5=17，则a 11=______14. 若变量x ，y 满足约束条件{9x −3y −1≥0x +y −1≤0y ≥−1，则目标函数z =x +4y 的最大值为______．15. 已知△ABC 的面积为3−√32，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =√3−1，则角C =______． 16. 在平面直角坐标系中，O.为坐标原点，A 的坐标为(1,0)，点P 为动点，且满足|PO||PA|=2，记f(t)=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |(t ∈R)，若f(t)的最小值为d min ，则d min 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，从下面①②中任取一个作为条件，证明另外一个成立． ①{1S n }的前n 项的和为nn+1； ②a 2=2a 1，且满足点(n,a n )(n ∈N ∗)在斜率为2的直线上．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(3b −2c)bcosA =a 2+b 2−c 2．(1)求cosA 的值；(2)如图，点D 在边AB 上，且DB =DC =2，AC =√5，求△DBC 的面积．19. 已知函数f(x)=1−e xx ,g(x)=x −1．(1)求函数y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：当x >0时，f(x)的图像在g(x)的图像下方．20. 2021年“远大美乐杯”四川男子篮球联赛在绵阳进行，大赛分为常规赛和季后赛两种．常规赛分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制(“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军).假设下面是宜宾队在常规赛42场比赛中的比赛结果记录表：(1)根据表中信息，是否有85%的把握认为宜宾队在常规赛的“胜负”与“主客场”有关？(2)假设宜宾队与某队在季后赛的总决赛中相遇，且每场比赛结果相互独立，并假设宜宾队除第五场比赛获胜的概率为12外，其他场次比赛获胜的概率等于其在常规赛42场比赛中获胜的频率．记X 为宜宾队在总决赛中获胜的场数．(ⅰ)求X 的分布列；(ⅱ)求宜宾队获得本赛季的总冠军的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．21. 已知函数f(x)=e xx −ax +alnx ．(1)若a =1，求f(x)的极值点；(2)若f(x)≥0，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =−1+2sinα(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π6)=√3．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ，求1|PA|+1|PB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −m|−|x −3|(m >0)的最大值为4．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 均为正数，且a +2b +3c =m ，求a 2+b 2+c 2的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：∵集合A ={x ∈N|x 2−x −2≤0}={x ∈N|−1≤x ≤2}={0,1,2}，B ={x|−1≤x <2}，∴A ∩B ={0,1}．故选：C ．求出集合A ，利用交集定义能求出A ∩B ．本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：∵z =2+1+i 1−i =2+(1+i)2(1−i)(1+i)=2+i ，∴|z|=√22+12=√5．故选：A ．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 3.答案：B解析：由题意可得，v =11.5×1000=11500，则11500=2000ln(1+M m )，故M m =e 5.75−1≈314−1=313．故选：B ．令v =11500，即可求得燃料质量与火箭质量之比．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题． 4.答案：B解析：向量m⃗⃗⃗ =(−7,2+a)，n ⃗ =(a +13,−6)， 因为n⃗ =λm ⃗⃗⃗ ， 所以(a +13,−6)=λ(−7,2+a)，则{a +13=−7λ−6=λ(2+a)，解得λ=−2或37． 故选：B ．利用已知的向量坐标和向量的关系，列出方程组，求解即可．本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．5.答案：D解析：二项式(1+2x)7中，T r+1=C 7r (2x)r =2r C 7r x r ，当r =3时，2r C 7r =23C 73=8×7×6×53×2×1=280． ∴展开式中含x 3项的系数为280．故选：D ．T r+1=C 7r (2x)r =2r C 7r x r ，当r =3时，能求出展开式中含x 3项的系数．本题考查二项式定义的应用，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.答案：B解析：由表可知，x −=15×(10+20+30+40+50)=30，y −=15×(62+m +75+81+89)=m+3075， 所以样本中心点为(30,m+3075)， 将其代入y ̂=0.67x +54.9中，得m+3075=0.67×30+54.9，所以m =68．故选：B ． 根据样本中心点在回归直线方程上，即可得解．本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．7.答案：A解析：函数的定义域为{x|x ≠0}，令f(x)=y =ex 3e x −e −x ，∴f(−x)=−ex 3e −x −e x =f(x)， 故函数f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，又f(3)=27e 2−e −4>279=3，故选：A ．利用函数的性质，排除法，即可得到函数的大致图象．本题考查了函数的性质，函数图象，学生的数学运算能力，属于基础题． 8.答案：B解析：∵函数y=0.5x在R上是减函数，∴0.5<0.50.6<0.50.5，又∵函数y=x0.5在(0,+∞)上是增函数，∴0.50.5<0.60.5，而c=log93=0.5，故c<a<b，故选：B．利用指数函数、幂函数单调性比较三个数的大小即可．本题考查了指数函数、幂函数单调性的应用，属于基础题．9.答案：D解析：解：∵函数f(x)=|sinx|的图象与y=kx仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，).则α∈(π,3π2∵直线y=kx与y=−sinx相切，∴k=−−sinα，同时，由y′=−cosx，α∴k=−cosα．=−cosα，因此，−−sinαα∴α=tanα，即α−tanα=0，故选：D．=−cosα，由此可得α的根据题意，画出图象，然后根据切线斜率的定义以及斜率公式，求得−−sinαα值．本题重点考查了三角函数图象与性质、三角函数图象变换等知识，解题关键是数形结合思想在解题中的应用，属于中档题．10.答案：D解析：根据题意，分2步进行分析：①，先将6张票分为符合条件的4份；4个家庭分6张票，且每个家庭至少一张，至多两张，则两个家庭一张，2个家庭2张，。
立体几何1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．【答案】B2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D 【解析】3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为A．322B．23C．35D．45【答案】C6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【答案】D【解析】7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角ABDC中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE 翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BEC．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B【答案】D8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D【解析】9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________. 【答案】33πR 10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]【答案】4π11．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 的最小值是________．【答案】305【解析】 【分析】由面面平行找到点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，再找出点P 的位置，使1C P 取得最小值，即1C P 垂直DN 于点O ，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】取BC 中点N ，连接11,,B D B N DN ，作CO DN ⊥，连接1C O ，因为平面1B DN ∥平面1A BM ，所以动点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，当点P 与点O 重合时，1C P 取得最小值，因为11152225DN CO DC NC CO ⋅=⋅⇒==，所以221min 11130()155C P C O CO CC ==+=+=. 故1C P 的最小值是305. 【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P 的位置，再通过解三角形的知识求最值.12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．21【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB△和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ 为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设PAB△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，则OQ⊥平面PAB，OG⊥平面ABCD，E为AB中点，∴四边形OGEQ为矩形，112OQ GE BC ∴===，2233PQ PE ==， ∴外接球的半径：22213R GE PQ =+=. 故答案为21. 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果. 13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】【解析】14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]【答案】1 315．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，90APB=，M为CP的中点．求证：∠=︒，BP BC（1）AP//平面BDM；（2）BM ACP⊥平面．【解析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ， 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点， 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ， 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以AP ∥平面BDM ．（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故AP BP ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ， 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥． 因为AP CP P =I ，AP CP ⊂，平面ACP ， 所以BM ⊥平面ACP .16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）] 如图，在四棱锥ABCDV -中，二面角D BC V --为︒60，E 为BC 的中点. （1）证明：VE BC =；（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为︒60，求.VA VFABCDPMABCDPMO【解析】17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】 【分析】（1）证明AB ∥平面PCD ，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB ∥l ； （2）以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量和直线AQ 的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ． ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD =l ， ∴AB ∥l ；（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，且AB =2， ∴13BE AE AE BC ==⊥,,， ∴AE ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()020,002,30,300D P C E,,,,,,,,，∴()0,1,1F ，()()()()3000,11310022AE AF DC DP ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,,,,,,,,,,，设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，有0PD ⋅=u u u r n ，0CD ⋅=u u u rn ，得()133=，，n ，设()1AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r，则()()321AQ λλλ=-u u u r ,,，再设(3,,)AQ mAE n m n n AF =+=u u u r u u u r u u u r，则()3321m n nλλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩，解之得23m n λ===，∴2223333AQ ⎛⎫=⎪⎝⎭u u u r ,,， 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3105sin cos ,AQ AQ AQα⋅>=<==u u u r u u u r u u u r n n n ，∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3105． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：ABC △为直角三角形；（2）求二面角1C AD B --的余弦值． 【解析】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，易知1ABB △为等边三角形，从而得到1B O AB ⊥，结合1B D AB ⊥，可根据线面垂直判定定理得到AB ⊥平面1B OD ，由线面垂直的性质知AB OD ⊥，由平行关系可知AB AC ⊥，从而证得结论；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面1ADC 和平面ADB 的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果. 【详解】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，在1ABB △中，1AB B B =，160B BA ∠=︒，1ABB ∴△是等边三角形， 又O 为AB 中点，1B O AB ∴⊥，又1B D AB ⊥，111B O B D B =I ，11,B O B D ⊂平面1B OD ，AB ∴⊥平面1B OD ，OD ⊂Q 平面1B OD ，AB OD ∴⊥， 又OD AC ∥，AB AC ∴⊥， ∴ABC △为直角三角形.（2）以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：令12AB AC AA ===，则()1,2,0C -，()1,0,0A -，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()10,0,3B ，()11,0,3BB ∴=-u u u v ，()0,2,0AC =u u u v ，()1,1,0AD =u u u v，()1111,2,3AC AC CC AC BB =+=+=-u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v，设平面1ADC 的法向量为(),,x y z =m ，10230AD x y AC x y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=++=⎪⎩u u u v u u u u v m m ，令1x =，则1y =-，3z =，()1,1,3∴=-m ， 又平面ADB 的一个法向量为()0,0,1=n ，315cos ,5113∴<>==++m n ， Q 二面角1C AD B --为钝二面角，∴二面角1C AD B --的余弦值为15-.【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]20．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]21．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【解析】22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2AB=,1BC=，2PC PD==，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求二面角E AC D--的余弦值；（3）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF. 因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点 . 又因为E为PB中点，所以EF∥PD.因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ，所以PD ∥平面ACE.（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点，所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A C B P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-u u u r u u u r ， 所以20,2,0,131.00222x y x y AC z y x y z AE -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩u u u v u u u v m m 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11=-（，）m .平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =u u u r ，则6cos ,OP OP OP⋅<>==-⋅u u u r u u u r u u u r m m |m |. 如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为66-. （3）在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PM M x y z PD=∈λλ，则,01,0PM PD D =-u u u u r u u u r λ（，）.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ，所以(0,,1)M --λλ. (1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--u u u u r u u u r λλ.因为AM BD ⊥，所以0AM BD ⋅=u u u u r u u u r .所以12(1)0λ--=，解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥，且12PM PD =。
2016年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞4} D．{x|﹣2＜x＜5}2．（1﹣2x）10的展开式中，各项系数的和是（）A．1 B．210C．﹣1 D．1或﹣13．要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．下列说法错误的是（）A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．56．六个人从左到右排成一列，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法总数有（）A．48种B．384种C．432种D．288种7．（中数量积）已知向量，，x，y满足||=||=1，•=0，且，则等于（）A．B．C．2 D．58．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M是线段A1C1上的动点，则下列结论不正确的是（）A．三棱锥M﹣ABD的主视图面积不变B．三棱锥M﹣ABD的侧视图面积不变C．异面直线CM，BD所成的角恒为D．异面直线CM，AB所成的角可为9．已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g （x）=a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．10．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（）A．0 B．+3 C．e2﹣1 D．e2+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数的虚部是．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，当x∈[﹣，0]时，f（x）=x（x+），则f（2016）=．13．函数y=（a≠1）在区间（0，1]是减函数，则a的取值范围是．14．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为千米/时．15．若函数f（x）具有性质：，则称f（x）是满足“倒负”变换的函数．下列四个函数：①f（x）=log a x（a＞0且a≠1）；②f（x）=a x（a＞0且a≠1）；③；④．其中，满足“倒负”变换的所有函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤.16．已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．17．某著名大学向大一贫困新生提供A，B，C三个类型的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个类型，且申请任何一个类型是等可能的，在该校的任意4位申请人中．（1）求恰有3人申请A类奖助学金的概率；（2）被申请的助学金类型的个数ξ的分布列与数学期望．18．如图1，在矩形ABCD中，AB=，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE 沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2）．（1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，求证：DP∥平面A′BE；（2）求二面角B﹣A′E﹣D的余弦值的大小．19．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足8S n=a+4a n+3（∈N*），且a1＜3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，设{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB 的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）．（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．2016年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞4} D．{x|﹣2＜x＜5}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合A，再由交集定义求解．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，集合B={x|﹣2＜x＜5}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（1﹣2x）10的展开式中，各项系数的和是（）A．1 B．210C．﹣1 D．1或﹣1【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理．【分析】给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解答】解：令二项式（1﹣2x）10中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为1．∴展开式中各项的系数的和为1．故选：A．【点评】求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．3．要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=3cos2x的图象向左平移个单位长度，可得y=3cos2（x+）=3cos（2x+）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．下列说法错误的是（）A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件B．若p∨q是假命题，则p∧q是假命题C．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”D．命题“对任意的x∈R”，2x＞x2”是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】A．根据不等式的基本性质，“a＞b”不一定“ac2＞bc2”结论，因为必须有c2＞0这一条件；反过来若“ac2＞bc2”，说明c2＞0一定成立，一定可以得出“a＞b”，即可得出答案；B．利用复合命题的真假关系进行判断；C．根据特称命题的否定是全称命题．即可得到结论．D．x=2，4时，命题不正确．【解答】解：当c=0时，a＞b⇏ac2＞bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，由c2＞0，得ac2＞bc2⇒a ＞b，故“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件，正确．若命题p∨q是假命题，则p，q都是假命题，所以命题p∧q是假命题，正确；∵命题是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题．得到命题的否定是：对任意的x∈R，2x＞0，x=2，4时，命题不正确．故选：D．【点评】本题考查不等式的性质和充要条件的判断，考查复合命题，考查命题的否定与真假判断，是一道好题，本题是基本概念题．5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．6．六个人从左到右排成一列，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法总数有（）A．48种B．384种C．432种D．288种【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】首先分析题目甲、乙两人至少有一人在两端的排法，此题适合从反面考虑，然后求出甲、乙两人没有一人在两端的排法，进而用总的排法减去它即可得到答案．【解答】解：此题可以从反面入手：甲、乙两人没有一人在两端，即甲、乙排在中间4个位置，故有A42种，剩下4人随便排即可，则有A44种排法，因为6个人排成一排一共有A66种排法，所以甲、乙两人至少有一人在两端的排法有A66﹣A42A44=432．故选：C．【点评】此题主要考查排列组合及简单的计数原理的问题，象这种见到至少、至多字眼时一般利用正难则反的思想．此类排队或者排数问题在高考中属于重点考查内容，希望同学们多多掌握．7．（中数量积）已知向量，，x，y满足||=||=1，•=0，且，则等于（）A．B．C．2 D．5【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题．【分析】求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可．【解答】解：由所给的方程组解得，，，∴=．故选B．【点评】本题中的方程组是关于向量的方程，这与一般的关于实数的方程在解法上没有本质区别，方法与实数的方程组的解法相似．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若M是线段A1C1上的动点，则下列结论不正确的是（）A．三棱锥M﹣ABD的主视图面积不变B．三棱锥M﹣ABD的侧视图面积不变C．异面直线CM，BD所成的角恒为D．异面直线CM，AB所成的角可为【考点】棱柱的结构特征．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】判断主视图和侧视图的底与高是否发生变化来判断A，B，建立空间坐标系求出数量积来判断C和D．【解答】解：对于A，三棱锥M﹣ABD的主视图为三角形，底边为AB的长，高为正方体的高，故棱锥的主视图面积不变，故A正确；对于B，侧视图为三角形的底边为AD的长，高为正方体的高，故棱锥侧视图的面积不变，故B正确；对于C，连结AC，BD，A1C，则BD⊥AC，∵AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1，又∵BD⊥CC1，于是BD⊥平面A1C1C，∵CM⊂平面A1C1C，∴BD⊥CM，故C正确；对于D，分别以AB，AD，AA1为坐标轴，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，M（a，a，1），B（1，0，0），A（0，0，0），C（1，1，0）．∴=（a﹣1，a﹣1，1），=（1，0，0），∴cos＜＞=≠±，∴异面直线CM，AB所成的角不可能是．故D错误．故选：D．【点评】本题考查了棱锥的三视图，异面直线所成的角，使用向量法可快速计算空间角的问题．9．已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g （x）=a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）=x﹣4+=x+1+﹣5≥2﹣5=1，当且仅当x=2时取等号，此时函数有最小值1∴a=2，b=1，此时g（x）=2|x+1|=，此函数可以看着函数y=的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选A【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键10．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e）（其中e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的最大值与最小值之和为（）A．0 B．+3 C．e2﹣1 D．e2+【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在≤x≤e上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可得到最值的和．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在≤x≤e上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），极大值故方程﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．即有a的最大值和最小值的和为e2﹣2+1=e2﹣1．故选C．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数==，它的虚部为：，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，当x∈[﹣，0]时，f（x）=x（x+），则f（2016）=．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出f（x+5）=﹣=f（x），从而f（2016）=f（1）=﹣f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+）=﹣，∴f（x+5）=﹣=f（x），即函数的周期是5，∵x∈[﹣，0]时，f（x）=x（x+），∴f（2016）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣[﹣1×（﹣1+）]=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．13．函数y=（a≠1）在区间（0，1]是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3]．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】先求导数，根据题意便可得到，从而解出a＜0，或a＞1①，还需满足3﹣ax≥0在x∈（0，1]上恒成立，这样便得到在x∈（0，1]上恒成立，从而得出a≤3②，这样由①②便可得出a的取值范围．【解答】解：；原函数在（0，1]上是减函数；∴y′＜0；∴；解得a＜0，或a＞1；且3﹣ax≥0在x∈（0，1]上恒成立；即在x∈（0，1]上恒成立；在（0，1]上的最小值为3；∴a≤3，又a＜0，或a＞1；∴a＜0，或1＜a≤3；∴a的取值范围为（﹣∞，0）∪（1，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（1，3]．【点评】考查函数单调性和函数导数符号的关系，分式不等式的解法，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值．14．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为千米/时．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1．在Rt△PAC中，∠APC=60°，∴AC=3．在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，∴BC==．则船的航行速度÷=．故答案为：．【点评】本题主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力，考查学生的计算能力，比较基础．15．若函数f（x）具有性质：，则称f（x）是满足“倒负”变换的函数．下列四个函数：①f（x）=log a x（a＞0且a≠1）；②f（x）=a x（a＞0且a≠1）；③；④．其中，满足“倒负”变换的所有函数的序号是①③④．【考点】抽象函数及其应用；对数的运算性质．【专题】压轴题；新定义．【分析】利用题中的新定义，对各个函数进行判断是否具有，判断出是否满足“倒负”变换，即可得答案．【解答】解：对于f（x）=log a x，，所以①是“倒负”变换的函数．对于f（x）=a x，，所以②不是“倒负”变换的函数．对于函数，，所以③是“倒负”变换的函数．对于④，当0＜x＜1时，＞1，f（x）=x，f（）=﹣x=﹣f（x）；当x＞1时，0＜＜1，f（x）=，；当x=1时，=1，f（x）=0，，④是满足“倒负”变换的函数．综上：①③④是符合要求的函数．故答案为：①③④【点评】本题考查理解题中的新定义，并利用定义解题；新定义题是近几年常考的题型，解答此类问题的关键是灵活利用题目中的定义三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤.16．已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），•=1，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．【考点】平面向量的坐标运算；函数的值域；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用向量数量积计算•，得到A 的三角函数式，即可求出A．（2）把A代入函数f（x）并化简，利用三角函数的有界性，求得值域．【解答】解：（1）由题意得•=sinA﹣cosA=1，2sin（A﹣）=1，sin（A﹣）=，由A为锐角得A﹣=，A=．（2）由（1）知cosA=，所以f（x）=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=﹣2（sinx﹣）2+，因为x∈R，所以sinx∈[﹣1，1]，因此，当sinx=时，f（x）有最大值．当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣3，所以所求函数f（x）的值域是[﹣3，]．【点评】本题考查平面向量的数量积，两角和与两角差的三角函数，以及函数值域问题，是中档题．17．某著名大学向大一贫困新生提供A，B，C三个类型的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个类型，且申请任何一个类型是等可能的，在该校的任意4位申请人中．（1）求恰有3人申请A类奖助学金的概率；（2）被申请的助学金类型的个数ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）所有可能的申请方式有34种，再求出恰有3人申请A类助学金的申请方式有多少种，由此能求出恰有3人申请A类奖助学金的概率．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3，分别求出相应的概率，由此能示出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）所有可能的申请方式有34种，恰有3人申请A类助学金的申请方式有种，所以，所求概率为；…（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3…，，，…综上知：ξ的分布列为：所以：…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．如图1，在矩形ABCD中，AB=，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE 沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2）．（1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，求证：DP∥平面A′BE；（2）求二面角B﹣A′E﹣D的余弦值的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，根据线面平行的判定定理即可证明DP∥平面A′BE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣A′E﹣D的余弦值的大小．【解答】解：（1）在图2中，过P作PQ∥BC交A'B于Q．…∵CP=3PA'，∴，∵BC=4，∴PQ=1，…∵DE∥BC．DE=1，∴，得DE∥QP．∴DP∥EQ…∵DP⊄平面A'BE，EQ⊂平面A'BE∴DP∥平面A'BE．…（2）在图2中，过A'作A'F⊥BE于F．∵平面A'BE⊥平面BCDE，∴A'F⊥平面BCDE …∵∠BA′E=90°，A′B=，A′E=3，∴∠A'EB=30°，A′F=，EF=，过F作FG⊥DE交DE延长线于G，则FG=，EG=…如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，，=（，，0），=（1，0，0）…设平面A'BE的法向量，则，可取…设平面A'DE 的法向量，则，可取…，∴…∵二面角B ﹣A'E ﹣D 为钝角，∴二面角B ﹣A'E ﹣D 的余弦的大小为． … 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定以及二面角的求解，利用线面平行的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．19．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足8S n =a +4a n +3（∈N *），且a 1＜3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =，设{b n }的前n 项和为T n ，若不等式（﹣1）nλ＜T n +对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围． 【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式可得T n ，对n 分类讨论即可得出．【解答】解：（1）∵，∴8S n ﹣1=+4a n ﹣1+3 （n ≥2），∴，∴，∵a n ＞0，∴a n ﹣a n ﹣1=4（n ≥2）． ∴数列{a n }是以4为公差的等差数列，又∵，∴而a 1＜3，∴a1=1，∴a n=4n﹣3 （n∈N*）．（2），，=+…++n×，两式相减得，∴，∴．若n为偶数，则．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，∴λ＞﹣2．∴﹣2＜λ＜3．【点评】本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB 的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，即可求圆C的方程；（Ⅱ）①设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C 的连线与PM垂直；②证明k PM•k AB=﹣1，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵x2+y2﹣4x﹣2y+3=0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．…设圆C的圆心为C（a，b），又因为圆C与圆D关于直线4x+2y﹣5=0对称，即圆心D（2，1）与（a，b）关于直线4x+2y﹣5=0对称．∴，…∴．∴圆C的方程为x2+y2=2．…（Ⅱ）①因为点P（2，0），M（0，2），所以，…设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，故有最大值，最大面积，…此时点Q坐标为点（﹣1，﹣1）．…②直线AB与直线PM垂直，理由如下：…因为过点Q（﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）⇒（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，…又因为点Q（﹣1，﹣1）在圆C上，故有，所以，同理，…，…又，所以有k PM•k AB=﹣1，故直线AB与直线PM垂直．…【点评】本题考查求一个圆关于直线的对称圆的方程的方法，直线和圆相交的性质，判断两直线垂直的方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）．（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；构造法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，利用函数f（x）在区间[e，+∞）上为减函数，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，推出a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞）上恒成立．构造新函数求出新函数的最小值，推出结果．（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，转化为k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立．法一：问题转化为对任意x∈（1，+∞）恒成立，构造新函数，求解新函数的最小值，然后求解k的值为1，2，3．…法二，令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]，求出函数的导数，通过当2﹣k≥0时，导数的符号，求解k．当2﹣k＜0时，即k＞2时，求解k．即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）可知x＞0，有：f′（x）=lnx+1+a﹣2x，∵函数f（x）在区间[e，+∞）上为减函数，∴当x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，…∴a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞）上恒成立．令g（x）=2x﹣lnx﹣1，，当时，g′（x）≥0，g （x）单增；时，g′（x）≤0，g（x）单减．∴x∈[e，+∞）时，g（x）min=g（e）=2e﹣2∴a≤2e﹣2．…（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立．法一：∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．则问题转化为对任意x∈（1，+∞）恒成立，…设函数，则，再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．∵x∈（1，+∞），∴m'（x）＞0，则m（x）=x﹣lnx﹣2在x∈（1，+∞）上为增函数，∵m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h（x）＞0 …∴在x∈（1，x0）上递减，在x∈（x0，+∞）上递增．∴h（x）的最小值为．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴ln（x0）+1=x0﹣1，代入函数，得h （x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x），对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．…法二（同比例给分）：令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]=xlnx﹣（k﹣1）x+k（x＞1），∴g′（x）=lnx+1﹣（k﹣1）=lnx+2﹣k，当2﹣k≥0时，即k≤2时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上单调递增，∴g（x）＞g（1）=1＞0恒成立，而k∈N*∴k=1或k=2．当2﹣k＜0时，即k＞2时，g′（x）=0⇒x=e k﹣2，∴g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增，∴恒成立，∴k＞e k﹣2，而k∈N*，∴k=3．综上可得，k=1或k=2或k=3时成立．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
