沪教版(上海)数学高二上册-7.4 数学归纳法 课件 _2最新课件PPT

证明 （Ⅰ）当n=1时，左边=1，右边=12 =1，等式成立。
（Ⅱ）假设当n=k(k 1)时，等式成立，即 1+3+5+ … +（2k-1）=k2 ,
那么当n=k+1时，由假设可知
1+3+5+ … +(2k-1)+ 2 k 1 1
=k2 2 k 1 1 =k2 2k 1 k 12 ,
求证：命题 P(n)(n N ) 皆为真命题。
（Ⅰ）证明：命题P(1)为真命题；（存在性）
（Ⅱ）证明：假设命题 P(k)(k 1)为真命题，那么命题 P(k+1)
也为真命题。（传递性）
根据（Ⅰ）、（Ⅱ），可知对于任何n N ，命 题P(n) 皆为真命题。
例1 证明１+３+５+ ···+（2n–1）=n 2 ，n N .
1 1 4
1 47
1 7 10
…+ 3k
1
23k
1
k, 3k 1
那么当n=k+1时，由假设可知
1 1
4
4
1
7
7
1 10
…
+
3k
1
2
3k
1
3
k
1
1 2 3
k
1
1
k 3k
1
3 k
1
1
2 3
k
1
1
3k 1k 1 3k 13k 4
k 1
3k 1
1
,
故当n=k+1时等式也成立。
根据（Ⅰ)和(Ⅱ），可以得出对于任何n N等式都成立。
1、错； 2、不确定； 3、对； 4、对。

（4）数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运
用“有限”的手段来解决“无限”的问题.
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沪教版高中数学高二上册第七章7.4七章7.4数 学归纳 法课件 _2【精品】
小结： （1）数学归纳法是一种严密的数学证明方法 (基础正确；可传递) ，它适用于证明与正整数 有关的数学命题; （2）两个步骤，缺一不可，否则结论不能成 立； （3）在证明n=k+1时命题成立，必须利用归 纳假设的结论（即假设n=k时命题成立），必 须进行恒等变形.
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沪教版高中数学高二上册第七章7.4数 学归纳 法课件 _2【精品】
请思考：要满足怎样的条件才能使
骨牌全部倒下呢？
▪ 只要满足以下两个条件，所有多米诺 骨牌就能全部倒下：
▪ （1）第一块骨牌倒下;
▪ （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒 下一定导致后一块倒下.
事实上，条件（2）给出了一个递 推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1 块也倒下.
7.4 数学归纳法
1
回顾：我们是怎样求出首项为a1，公差 为d的等差数列{an}的通项公式?
a1 a1 0d a2 a1 d a1 1d a3 a2 d a1 2d
a4 a3 d a1 3d
归纳：由此得到，等差数列{an}的通项 公式是
an a1 (n 1)d (n N ) .
已知数列{an}通项公式为an=(n2-5n+5)2 验证可知：a1=1， a2=1， a3=1， a4=1，
由此推知对任何n∈N*都有an=1，对吗? 答：不对，因为a5 =25 .
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4
完全归纳法 不完全归纳法

2kk12k112k3
k 1 2k 3
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N* 都成立。
2020年10月2日
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探究：已知数列 1, 1, 1 , 1 , , 1447710(3n2)3 (n1 )
设Sn为数列前n项和，计算S1, S2 ,S3 ,S4,根据计算结果， 猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。
解：
S1=
1
1
4
1 4
S2=
1 1 2 4 47 7
S3=72
1 3 710 10
S4=13010113143
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，
分母可用项数n表示为3n+1,可以猜想Sn
n 3n 1
2020年10月2日
8
课堂小结：
（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题. （2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：
n=1时，左边=
1
1
3
等式成立。
右边= 1
211
(2) 假设n=k（k∈N*)时等式成立，即 1 1 3 3 1 5 5 1 7 2 k 1 1 2 k 1 2 k k 1
那么, 1 1 3 3 1 5 5 1 7 2 k 1 1 2 k 1 2 k 1 1 2 k 3
2020年10月2日
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数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。