两角和与差及二倍角的三角函数(测)-2018年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)+Word版含解析

课时作业20 两角和与差的三角函数一、填空题1．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)＝__________. 2．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________. 3．已知tan(α＋β)＝25，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝__________. 4．(2012重庆高考改编)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________．5．设sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝__________. 6．(2012·湖南高考改编)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________． 7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos θ＝__________. 8．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，则β＝________. 9．若sin α＋sin β＝22，则cos α＋cos β的取值范围为________． 二、解答题10．(2012江苏苏州吴县中学期中考试)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12. (1)求f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值． 11．(2012天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a ＝2，c＝2，cos A ＝－24. (1)求sin C 和b 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3的值． 12．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．参考答案一、填空题1．1 解析：原式＝ta n 10°ta n 20°＋3ta n(10°＋20°)(1－ta n 10°ta n 20°)＝ta n 10°ta n 20°＋1－ta n 10°ta n 20°＝1. 2.12 解析：已知cos(α＋β) ＝cos αcos β－sin αsin β＝15， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35， 则cos αcos β＝25，sin αsin β＝15， 所以ta n αta n β＝12. 3.322 解析：ta n ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝ta n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan(α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322. 4．－3 解析：因为ta n α，ta n β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以ta n α＋ta nβ＝3，ta n α·ta n β＝2，所以ta n(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3. 5．－211 解析：由题意，得cos α＝－45，ta n α＝－34，ta n β＝－12， 故ta n(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211. 6．[－3，3] 解析：f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为[－3，3]． 7.53＋1226 解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213. ∴cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＝53＋1226. 8.π3 解析：∵0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314， ∵cos α＝17，0＜α＜π2，∴sin α＝1－cos 2α＝437. 故cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3. 9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－142，142 解析：设cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝12＋t 2，即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12t 2－34∈ [－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－142，142. 二、解答题10．解：(1)依题意有A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)，将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝12，而0＜φ＜π，∴π3＋φ＝56π，∴φ＝π2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，sin β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513，f (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋45×513＝5665. 11．解：(1)在△ABC 中，由cos A ＝－24， 可得sin A ＝144. 又由a sin A ＝csin C及a ＝2，c ＝2， 可得sin C ＝74. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0.因为b ＞0，故解得b ＝1.所以sin C ＝74，b ＝1. (2)由cos A ＝－24，sin A ＝144，得cos 2A ＝2cos 2A －1＝－34，sin 2A ＝2sin A cos A ＝－74，所以，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝cos 2A cos π3－sin 2A sin π3＝－3＋218. 12．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2 α－sin 2 α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.。

第五节 两角和与差、二倍角的正弦、余弦和正切公式课时作业练1.(2018某某高三第二次调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知角α,β的始边均为x 轴的正半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为. 答案 97解析 由题意得tan α=2,tan β=15,则tan(α-β)=tan α-tan α1+tan αtan α=2-151+25=97.2.若α∈(π2,π),且3cos 2α=sin (π4-α),则sin 2α=. 答案 -1718解析 由3cos 2α=sin (π4-α)可得3(cos 2α-sin 2α)=√22(cos α-sin α),又由α∈(π2,π)可知cos α-sin α≠0,于是3(cos α+sin α)=√22,所以1+2sin αcos α=118,故sin 2α=-1718. 3.cos85°+sin25°cos30°cos25°=.答案 12 解析 原式=sin5°+√32sin25°cos25°=sin(30°-25°)+√32sin25°cos25°=12cos25°cos25°=12.4.在平面直角坐标系中,已知角α+π4的终边经过点P(3,4),则cos α=. 答案7√210解析 由题意可得sin (α+π4)=45,cos (α+π4)=35,则cos α=cos [(α+π4)-π4]=35×√22+45×√22=7√210. 5.(2018某某高考信息预测卷(二))若sin (α+π4)=-45,则sin 2x 的值为. 答案725解析 ∵sin (α+π4)=-45,∴cos [2(α+π4)]=1-2sin 2(α+π4)=1-2×1625=-725,即cos (2α+π2)=-725, ∴-sin 2x=-725,∴sin 2x=725.6.若tan(α+β)=1,tan(α-β)=2,则sin2αcos2α=. 答案 1解析 ∵tan(α+β)=1,tan(α-β)=2, ∴sin2αcos2α=sin[(α+α)+(α-α)]cos[(α+α)-(α-α)]=sin(α+α)cos(α-α)+cos(α+α)sin(α-α)cos(α+α)cos(α-α)+sin(α+α)sin(α-α)=tan(α+α)+tan(α-α)1+tan(α+α)tan(α-α)=33=1.7.已知α,β为锐角,且tan α=17,cos(α+β)=2√55,则cos 2β=.答案 45解析 因为α为锐角,tan α=17,所以sin α=√210,cos α=7√210.又β为锐角,所以α+β∈(0,π).因为cos(α+β)=2√55,所以sin(α+β)=√55,所以cos β=cos[(α+β)-α]=2√55×7√210+√55×√210=3√1010,则cos2β=2cos 2β-1=2×910-1=45.8.(2018某某教育学会学业水平检测)已知sin (π2-α)=35,且α为第四象限角,求下列各式的值:(1)tan (α-π4);(2)2sin 2α+sin2αcos2α.解析 (1)∵sin (π2-α)=cos α=35,α为第四象限角, ∴sin α=-√1-cos 2α=-45, ∴tan α=sin αcos α=-43, ∴tan (α-π4)=tan α-11+tan α=-43-11+(-43)=7.(2)2sin 2α+sin2αcos2α=2sin 2α+2sin αcos αcos 2α-sin 2α=2sin αcos α-sin α=2tan α1-tan α=2×(-43)1-(-43)=-87.9.(2018某某伍佑中学秋学期期末)已知α∈(0,π2),β∈(π2,π),cos β=-13,sin(α+β)=4-√26.(1)求tan 2β的值; (2)求α的值.解析 (1)∵β∈(π2,π),cos β=-13,∴sin β=2√23,∴tan β=-2√2, 则tan 2β=2tan α1-tan 2β=4√27.(2)由α∈(0,π2),β∈(π2,π), 得α+β∈(π2,3π2),又sin(α+β)=4-√26,∴cos(α+β)=-√1-sin 2(α+β)=-4+√26,∴cos α=cos(α+β-β)=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=√22. ∵α∈(0,π2),∴α=π4.10.已知α∈(π2,π),且sin α2+cos α2=√62.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cos β的值. 解析 (1)因为sin α2+cos α2=√62, 所以两边同时平方,得sin α=12.又π2<α<π,所以cos α=-√32.(2)因为π2<α<π,π2<β<π,所以-π<-β<-π2,故-π2<α-β<π2. 又sin(α-β)=-35,故cos(α-β)=45, 所以cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =-√32×45+12×(-35) =-4√3+310.11.(2019某某某某模拟)已知cos (π6+α)·cos (π3-α)=-14,α∈(π3,π2).(1)求sin 2α的值; (2)求tan α-1tan α的值.解析 (1)cos (π6+α)·cos (π3-α)=cos (π6+α)·sin (π6+α) =12sin (2α+π3)=-14, 即sin (2α+π3)=-12. ∵α∈(π3,π2),∴2α+π3∈(π,4π3),∴cos (2α+π3)=-√32,∴sin 2α=sin [(2α+π3)-π3]=sin (2α+π3)cos π3-cos (2α+π3)sin π3=12. (2)∵α∈(π3,π2),∴2α∈(2π3,π).又由(1)知sin 2α=12, ∴cos 2α=-√32,∴tan α-1tan α=sin αcos α-cos αsin α =sin 2α-cos 2αsin αcos α=-2cos2αsin2α=(-2)×-√3212=2√3.基础滚动练 (滚动循环 夯实基础)1.集合M={x|x 2<3x},N={x|x 3≤8},则M∩N=. 答案 {x|0<x≤2}解析 因为M={x|x 2<3x}={x|0<x<3},N={x|x 3≤8}={x|x≤2},所以M∩N={x|0<x≤2}.2.设命题p:ax 2+2ax+1>0的解集是实数集R;命题q:0<a<1,则p 是q 的.(选填:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或既不充分也不必要条件) 答案 必要不充分条件解析 由ax 2+2ax+1>0的解集是实数集R 得a=0或{α>0,4α2-4a <0,即0≤a<1,所以p 是q 的必要不充分条件.3.(2018某某滨海中学秋学期高三月考)已知函数f(x)=ln x+x,则函数f(x)在点P(1, f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 答案 14解析 因为f '(x)=1α+1,所以f '(1)=2.又f(1)=1,所以函数f(x)在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,该直线与两坐标轴的交点坐标为(0,-1),(12,0),所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为14. 4.(2019某某丹阳高级中学高三模拟)已知sin α=cos 2π5,0<α<π,则α的取值集合为.答案 {π10,9π10}解析 ∵sin α=cos 2π5=sin (π2-2π5)=sin π10=sin (π-π10)=sin 9π10,又0<α<π,∴α=π10或9π10,∴α的取值集合为{π10,9π10}.5.函数y=lo g 12(x 2-1)的单调递增区间为.答案 (-∞,-1)解析 函数y=log 12(x 2-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),令u=x 2-1,则函数u=x 2-1的递减区间为(-∞,0),因为y=lo g 12u 为减函数,所以原函数的递增区间为(-∞,-1).6.函数y=1ln α(x≥e)的值域是. 答案 (0,1] 解析 因为y'=-1α(ln α)2<0,x∈[e,+∞),所以函数y=1ln α(x≥e)递减,且1ln α>0,1lne =1,所以函数y=1ln α(x≥e)的值域是(0,1].7.(2018某某第一学期期末调研)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示. (1)求A,ω,φ的值; (2)若x∈[-π2,π12],求f(x)的值域.解析 (1)设函数f(x)的最小正周期为T,由图象知,A=2,14T=π6-(-π12)=π4,所以T=π,从而ω=2πα=2.因为函数图象过点(-π12,2),所以sin (-π6+φ)=1.因为0<φ<π,所以-π6<-π6+φ<5π6,所以-π6+φ=π2,解得φ=2π3.因此A=2,ω=2,φ=2π3.(2)由(1)知f(x)=2sin (2α+2π3).因为x∈[-π2,π12],所以-π3≤2x+2π3≤5π6,所以-√32≤sin (2α+2π3)≤1,从而函数f(x)的值域为[-√3,2].。

2. 注意两角和(差)的三角函数公式的变形运用
asin x＋bcos x＝
sin φ＝ b ， 2 2 a ＋ b a2＋b2sin(x＋φ)，其中 φ 满足 cos φ＝ 2a 2. a ＋b _____________________________________
3. 注意几种常见的角的变换 β (α－β)＋___； β (1) α＝(α＋β)－___＝ (α－β ) (2) 2α＝(α＋β)＋_________ ； (β－α) (3) 2α＝(α＋β)－_________ ； (4) 2α＋β＝α＋___________ (α＋β) ．
【精要点评】两角和与差的公式的正用和逆用是解答本题 的关键．
例2
求值：[2sin50° ＋sin10° (1＋ 3tan10° )]· 2sin280° .
【思维引导】化切为弦，通分，再应用两角和与差的公式 进行化简求值．
cos10° ＋ 3sin10° 【解答】 原式＝ 2sin50° ＋sin10° · · cos10°
2. ( 必修 4P109 习题 4 改编 ) 计算： sin 75°·cos 30°－ sin 2 2 15°·sin 150°＝________.
【解析】原式＝sin 75° cos 30° －cos 75° sin 30° ＝sin(75° 2 －30° )＝sin 45° ＝2.
π 2 3. (必修 4P108 例 1 改编)已知 sinα＝3，α∈2，π，cosβ －6＋4 5 3π 3 15 ＝－5，β∈π， 2 ，那么 sin(α＋β)＝________. π 2 【解析】由 sin α＝3，α∈2，π，得 cos α＝－ 1－sin2α

＝－csπ6－α＝－33
而sin2α－π6＝1－cs2α－π6＝1－13＝23，
所以原式＝－33－23＝－2＋33
答案B
3．若sinα＝55，sinβ＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为( )
A．－π4 Bπ4
c．±π4 Dπ3
解析解法一依题意有csα＝1－552＝255，
csβ＝1－10102＝31010，
∴32csα＋32sinα＝453，312csα＋32sinα＝453，
3sinπ6＋α＝453，∴sinπ6＋α＝45，
∴sinα＋76π＝－sinπ6＋α＝－45
答案c
2．已知csπ6－α＝33，则cs56π＋α－sin2α－π6的值是( )
A2＋33 B．－2＋33
c2－33 D－2＋33
解析∵cs56π＋α＝csπ－π6－α
答案3
8．已知csπ4－α＝1213，α∈0，π4则cs2αsinπ4＋α(α∈0，π4)＝________
解析∵cs2αsinπ4＋α＝cs2α－sin2α22(sinα＋csα)
＝(csα－sinα)(csα＋sinα)22(sinα＋csα)
＝2(csα－sinα)＝2sinπ4－α
又α∈0，π4，则π4－α∈0，π4
解(1)由csα＝17，0απ2，
得sinα＝1－cs2α＝1－172＝437
∴tanα＝sinαcsα＝437×71＝43
于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－(43)2＝－8347
∴α＝π4
答案π4
三、解答题(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．如图，在平面直角坐标系x中，以x轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为210，255