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2010数学奥赛

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1 一、选择题（每题7''） 1．若20 10abbc，，则abbc的值为（ ）． （A）1121 （B）2111 （C）11021 （D）21011

解：D 由题设得12012101111110aabbcbcb． 2．若实数a，b满足21202aabb，则a的取值范围是 （ ）． （A）a≤2 （B）a≥4 （C）a≤2或 a≥4 （D）2≤a≤4 解．C 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程21202baba

的判别式 21()41(2)2aa＝≥0,解得a≤2或 a≥4． 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=422，CD＝42，则AD边的长为（ ）．

（A）26 （B）64 （C）64 （D）622 解：D 如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得BE=AE=6，CF＝22，DF＝26，于是 EF＝4＋6．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD222(46)(6)(224)＝226． 4．在一列数123xxx，，，……中，已知11x，且当k≥2时，

1121444kkkkxx







（取整符号a表示不超过实数a的最大整数，例如2.62，0.20），则2010x等于

（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解：B 由11x和1121444kkkkxx可11x，22x，33x，44x，

51x，62x，73x，84x，因为2010=4×502+2，所以2010x=2．

（第3题） （第3题） 2

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1

绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3

绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，

则点P2010的坐标是（ ）． （A）（2010，2） （B）（2010，2） （C）（2012，2） （D）（0，2） 解：B由已知可以得到，点1P，2P的坐标分别为（2，0），（2，2）． 记222 )Pab（，，其中222,2ab． 根据对称关系，依次可以求得： 322(42)Pab，－－，422(2)Pab，4，522(2)Pab，，622(4)Pab，． 令662(,)Pab，同样可以求得，点10P的坐标为（624,ab），即10P（2242,ab）， 由于2010=4502+2，所以点2010P的坐标为（2010，2）． 二、填空题（每题7''） 6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ． 解：0 由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是 2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0． 7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．解：15 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为abc，，（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得10abS，①152acS， ②

xbcS．③由①②，得30bcS（），所以，x=30．故 3010515t

（分）．

（第5题） 3

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ． 解：111

33yx+

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N． 由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以， 过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分． 于是，直线MN即为所求的直线l．

设直线l的函数表达式为ykxb，则2352kbkb+，，

解得 1311.3kb，,故所求直线l的函数表达式为11133yx+． 9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则AEAD ．

解： 2

15

见题图，设,FCmAFn． 因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 2ABAFAC． 又因为 FC＝DC＝AB，所以 2()mnnm，即 2()10nnmm，

解得512nm，或512nm（舍去）．

（第9题） 4

又Rt△AFE∽Rt△CFB，所以AEAEAFnADBCFCm512， 即AEAD=512． 10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值0n满足020003000n，则正整数k的最小值为 ．

解：9 因为1n为2 3 k，，，的倍数，所以n的最小值0n满足 012 3 nk，，，，

其中2 3 k，，，表示2 3 k，，，的最小公倍数． 由于2 3 88402 3 92520 ，，，，，，，， 2 3 1025202 3 1127720，，，，，，，，

因此满足020003000n的正整数k的最小值为9．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： tanEFPADBC． 证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以 ED⊥BC， FD⊥BC， 因此D，E，F三点共线. …………（5分） 连接AE，AF，则 AEFABCACBAFD， 所以，△ABC∽△AEF. …………（10分） 作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得EFAHBCAP， 从而EFPDBCAP， 所以 tanPDEFPADAPBC. …………（20分） 12．如图，抛物线2yaxbx（a0）与双曲线kyx相交于点A，B. 已知点A的坐标

）（第11题） 5

为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）. （1）求实数a，b，k的值； （2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标. 解：（1）因为点A（1，4）在双曲线kyx上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy4. 设点B（t，4t），0t，AB所在直线的函数表达式为ymxn，则有 44mnmtnt，， 解得4mt，4(1)tnt.

于是，直线AB与y轴的交点坐标为4(1)0,tt，故141132AOBtStt（），整理得22320tt，解得2t，或t＝21（舍去）．所以点B的坐标为（2，2）． 因为点A，B都在抛物线2yaxbx（a0）上，所以4422abab，， 解得13.ab， …………（10分）

（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（4，4），于是CO＝42. 又BO=22，所以2BOCO. 设抛物线2yaxbx（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（3，0）. 因为∠COD＝∠BOD＝45，所以∠COB=90. （i）将△BOA绕点O顺时针旋转90，得到△1BOA.这时，点B(2，2)是CO的中点，点1A的坐标为（4，1）. 延长1OA到点1E，使得1OE=12OA，这时点1E（8，2）是符合条件的点. （ii）作△BOA关于x轴的对称图形△2BOA，得到点2A（1，4）；延长2OA到点2E，使得2OE＝22OA，这时点E２（2，8）是符合条件的点． 所以，点E的坐标是（8，2），或（2，8）. …………（20分）

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2010冬世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)河南选拔海选赛五年级A卷

2010冬世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)河南选拔海选赛五年级A卷

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）河南选拔海选赛五年级A 卷名____________辅导教师__________年级_______准考证号_________考场____考号------装-----------------------------订---------------------------线-------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考题一份。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，第1至10题（每题6分），第11至16题（每题10分）3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时，所有考题及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。

五年级试卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）1. 找规律填数： 1, 3, 5, 7, 9， 11 。

2. 用1、2、3三个数字不重复排列可以组成 6 个不同的三位数。

3．定义新运算，a ※b=a ×b+b ， 求2※3的值是 9 。

4. 进入百宝箱的密码是○□○□○，如果44÷4+○=18, □×(2+9)=66，那么进入百宝箱的密码是 76767 。

5. 有9个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛 8 场.6. 下图中有 36 个长方形。

7. 切2刀，最多可以把一个饼分成 4 块。

8.一个数除以5，减去5，再乘以5，结果等于5，这个数是 30 。

9. 123×1+57×65-65×56= 188 。

10.鸡与兔共10只，脚共22只，问兔有 1 只。

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）河南选拔海选赛五年级A 卷名____________辅导教师__________年级_______准考证号_________考场____考号------装-----------------------------订---------------------------线-------------------------------11.有一正方形操场，每边都栽种4棵树，四个角各种1棵。

2010年全国数学联赛一试、二试试题及答案

2010年全国数学联赛一试、二试试题及答案


（12 分）
8 3 8 x 4 x 2 x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为 .（16 分） 3 3
2 解二： f ( x) 3ax 2bx c .
设 g ( x) f ( x) 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g ( x) 2 . 设 z 2 x 1 ，则 x
由此可设 m (1,0,1), n (0,1, 3 ) ，
B1
z
A1 C1
P A O C B y
所以 m n m n cos ，
即 3
2 2 cos cos
6 . 4
x
3
所以 sin
10 . 4
A1 C1 E B1 O A P
2
整数的点）的个数是 1790 . 解：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,9) 与双曲线右半支于 Ak ,交直
1
线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的个数 为
(99 k ) 99 9 45 846 .
z 1 ,1 z 1 . 2 z 1 3a 2 3a 2b 3a h( z ) g ( ) z z b c 1. 2 4 2 4
（4 分） （8 分）
容易知道当 1 z 1 时，0 h( z ) 2,0 h( z ) 2 . 从而当 1 z 1 时， 0 即
3
3 3.
3 d q,
3(3 4d ) q 2 ，
（1）代入（2）得
（1） （2）
9 12d d 2 6d 9 ，求得 d 6, q 9 .
2010年浙江省高等数学竞赛试题与答案(共4份)

2010年浙江省高等数学竞赛试题与答案(共4份)

试题共四套：数学类、工科类、经管类、文专类2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限1lim 2n →+∞+⎦2．计算()22222exp 21R x xy y dxdy ρρ⎡⎤-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰． 其中01ρ≤< 3．请用,a b 描述圆 222x y y +≤ 落在椭圆 22221x y a b+= 内的充分必要条件，并求此时椭圆的最小面积。

4．已知分段光滑的简单闭曲线Γ（约当曲线）落在平面π：10ax by cz +++=上，设Γ在π上围成的面积为A ,求()()()bz cy dx cx az dy ay bx dz ax by czΓ-+-+-++⎰其中n Γ与的方向成右手系。

5．设f 连续，满足()()() 22 02exp xf x x x t f t dt =--⎰且()11/f e =,求()()1n f 的值。

二、（满分20）定义数列{}n a 如下：{},,max ,211011dx x a a a n n ⎰-==,4,3,2=n ，求n n a ∞→lim 。

三、（满分20分）设函数)(2R C f ∈，且0)(lim =∞→x f x ，1)(≤''x f ，证明：0)(lim ='∞→x f x 。

四、（满分20分）设非负函数f 在［0，1］上满足)()()(,,y f x f y x f y x +≥+∀且1)1(=f ，证明：（1）]1,0[,2)(∈≤x x x f （2）21)(1≤⎰dx x f 五、（满分20分）设全体正整数集合为+N ，若集合+⊂N G 对加法封闭（即G y x G y x ∈+⇒∈∀,），且G 内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数N ，当正整数n >N 时，G n ∈（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限1lim 2n →+∞+⎦2．计算()() +22 122dxx x x ∞-∞+-+⎰3．设ABC ∆为锐角三角形,求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值。

第二届全国大学生数学竞赛(湖南赛区)暨2010年湖南省高校大学生数学竞赛获奖结果

第二届全国大学生数学竞赛(湖南赛区)暨2010年湖南省高校大学生数学竞赛获奖结果

关于第二届全国大学生数学竞赛（湖南赛区）暨2010年湖南省高校大学生数学竞赛获奖结果的通报各高校教务处、数学院（系）：第二届全国大学生数学竞赛（湖南赛区）暨2010年湖南省高校大学生数学竞赛于2010年10月30日在湖南师范大学举行，来自全省的21所高校共计591名学生（不含国防科技大学赛区人数）报名参加了这次竞赛，竞赛取得了圆满成功。

本次竞赛分数学专业类和非数学专业类两大组，经过湖南省数学会竞赛委员会的认真评审，共有88人（不含国防科技大学赛区）获第二届全国大学生数学竞赛（湖南赛区）奖，其中数学专业类一等奖10名，二等奖12名，三等奖16名；非数学专业类一等奖10名，二等奖15名，三等奖25名。

有324人（含国防科技大学赛区）获2010年湖南省高校大学生数学竞赛奖，其中数学专业类一等奖29名，二等奖45名，三等奖63名；非数学专业类一等奖36名，二等奖67名，三等奖84名。

现将获奖结果予以公布（见附件1，附件2）。

第二届全国大学生数学竞赛决赛将于2011年3月在北京航空航天大学举行。

根据全国大学生数学竞赛委员会关于各赛区决赛指标的分配办法，经湖南省数学会竞赛委员会讨论决定，分别有10名数学类和8名非数学类选手被推选作为湖南赛区参加第二届全国大学生数学竞赛决赛的候选人上报第二届全国大学生数学竞赛组委会（名单见附件3），名单经第二届全国大学生数学竞赛组委会最终确认后，将由湖南省数学会通知到参加决赛选手所在学校，希各有关单位予以积极支持。

特此通报。

附件1：第二届全国大学生数学竞赛（湖南赛区）获奖结果附件2：2010年湖南省高校大学生数学竞赛获奖结果附件3：湖南赛区参加第二届全国大学生数学竞赛决赛推选人名单备注：获奖名单按获奖者所在学校名称“笔划”顺序排列。

附件1：第二届全国大学生数学竞赛（湖南赛区）获奖名单(数学专业类)(非数学专业类)附件2：2010年湖南省高校大学生数学竞赛获奖名单(数学专业类)2010年湖南省高校大学生数学竞赛获奖名单(非数学专业类)附件3：湖南赛区参加第二届全国大学生数学竞赛决赛推选人名单1．数学类2．非数学类。