线性规划问题的一种改进的单纯形法

◼1.5 求解线性规划问题的单纯形法➢LP问题的几何意义➢单纯形法的经济解释➢单纯形法的计算步骤❖基本概念为凸集。

则称若设K K XXK XK X),10( )1( ,,)2()1()2()1(≤≤∈−+∈∈ααα 1、凸集：在某个点集K 中任给出两点，若连接这两点的线段上的一切点也在此点集中。

即2、顶点：不能用不同的两点的线性组合表示的点。

➢LP 问题的几何意义❖基本定理➢LP问题的可行域是凸集。

➢可行解X=(x,x2,…,x m,0,…,0)T是基本可行解的充要条件是X1的非零分量所对应的系数列向量是线性无关的➢基本可行解对应可行域的顶点➢有可行解必有基本可行解，即凸集非空、有顶点➢最优解一定在可行域的顶点上得到（必定在基本可行解中）例设有一家具厂用木材和钢材生产A,B,C 三种家具，生产一件家具所需的材料、每件家具可获得的利润以及每月可供的木材和钢材数量如下表，问此家具厂应如何安排各种家具的生产量才能使企业获得最大的利润？产品木材钢材单位产品获利（元）A B C3 21 14 4415材料可供量8000 3000解：设A,B,C 三件家具的产量(件数)分别为x 1,x 2,x 3，有：⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤++≤++++=3,2,1,0300042800043..54321321321j x x x x x x x t s x x x MaxZ j➢单纯形法的经济解释模型的标准型为：⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+++=+++⋅+⋅+++=5,4,3,2,1,0300042800043..00545321432154321j x x x x x x x x x t s x x x x x MaxZ j系数矩阵和基：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10011041201413B A 取则：x 4, x 5为初始基变量; x 1, x 2x 3为非基变量，变换标准型的约束条件：⎩⎨⎧−−−=−−−=32153214423000438000x x x x x x x x 代入目标函数：Z = 0 + 4x 1+ x 2+ 5x 3令非基变量等于0，基变量x 4=8000, x 5=3000)3000,8000,0,0,0()0(==Z XT初始基本可行解经济解释观察目标函数：321540x x x Z +++=选x 3入基，x 1, x 2仍为非基变量且为0，代入上方程组：75043000,48000min 04300004800033534=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎩⎨⎧≥−=≥−=x x x x x 则：则：基变量为x 4, x 3;非基变量为x 1, x 2x 5，变换标准型的约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧−−−=+−=⇒⎩⎨⎧−−−=−−=+521351452132143414121430005000230004380004x x x x xx x x x x x x x x x 代入目标函数：Z = 3750 + 1.5x 1－0.25x 2－1.25x 5 令非基变量等于0，基变量x 3=750,x 4=50003750)0,5000,750,0,0()1(==Z XT基本可行解当x 3=750时，x 5=0即为非基变量，x 4=5000观察目标函数：5214541233750x x x Z −−+=选x 1入基，x 2, x 5仍为非基变量，且为0，代入上方程组：{}15002*750,5000min 0217500500011314==⎪⎩⎪⎨⎧≥−=≥−=x x x x x 则：则：基变量为x 1, x 4; 非基变量为x 2, x 3x 5，变换标准型的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−=+++=⇒⎩⎨⎧−−−=−−=+5321532453213241212211500232213500430002480003xx x x x x x x x x x x x x x x 代入目标函数：Z = 6000 －x 2－3x 3－2x 5 令非基变量等于0，基变量x 1=1500, x 4=35006000)0,3500,0,0,1500()2(==Z XT最优解当x 1=1500时，x 3=0即为非基变量，x 4=3500将问题化标准型，求出初始基本可行解，建立初始单纯形表是否最优？是否无解？最优解YNY无解N确定换入变量、换出变量，迭代，得到一个新的基本可行解➢单纯形法的计算步骤例线性规划问题的标准型：⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+++=+++⋅+⋅+++=5,4,3,2,1,0300042800043..00545321432154321j x x x x x x x x x t s x x x x x MaxZ j初始单纯形表：∑='=mi iji j a c Z 1c j → 41 5 0 0 C ’ B X B b x 1 x2 x3 x4 x5 0 0X 4 X 5 8000 30003 2 1 14 4 1 0 0 1 Z j C j – Z j0 40 10 50 00 0初始解为X=(0,0,0,8000,3000)Z=0检验数表达式推导：∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+=+====+=+=+==+=−+='−+'=+−'=+'=−=nm j jj jnm j jm i ij i j mi i imi nm j jjnm j j iji inm j j jmi i i nm j jiji i x z cZ x a c c b cx cx ab cx cx c Z m i x ab x 10111111111)()()(),,2,1(＝代入目标函数式： ➢判别式：MaxZ: c j –z j ≤ 0 (对于所有的非基变量）问题达到最优；换入变量的确定：{}入基K K K j j x Z c Z c Max ⇒−=>−0换出变量的确定：出基L LKLik ik i x a b a a b Min ⇒=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0,θ系数矩阵的变换：按照增广矩阵的变换规则，将基变量的系数矩阵转化为单位矩阵，非基矩阵和资源向量作相应的变化。

求解线性规划的方法
求解线性规划问题的常用方法有以下几种：
1. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是解线性规划问题的经典方法，通过逐步迭代找到目标函数的最优解。

它适用于小到中等规模的问题。

2. 内点法（Interior Point Method）：内点法通过在可行域内的可行点中搜索目标函数最小化的点来解决线性规划问题。

相对于单纯形法，内点法在大规模问题上的计算效率更高。

3. 梯度法（Gradient Method）：梯度法是基于目标函数的梯度信息进行搜索的一种方法。

它适用于凸优化问题，其中线性规划问题是一种特殊的凸优化问题。

4. 对偶法（Duality Method）：对偶法通过构建原问题和对偶问题之间的关系来求解线性规划问题。

通过求解对偶问题，可以得到原问题的最优解。

5. 分支定界法（Branch and Bound Method）：分支定界法通过将原问题划分为更小的子问题，并逐步确定可行域的界限，来搜索目标函数的最优解。

需要根据具体的问题规模、约束条件和问题特点选择合适的方法进行求解。

线性规划问题的算法综述本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！线性规划概念是在1947年的军事行动计划有关实践中产生的，而相关问题1823年Forier和口1911年PQusi就已经提出过，发展至今已有将近100年的历史了。

现在已成为生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题决策的依据。

线性规划就是在满足线性约束下，求线性函数的极值。

毋庸置疑，数学规划领域的重大突破总是始于线形规划。

提到线性规划算法，人们最先想到的是单纯形法和内点法。

单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法，而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的，内点算法的计算复杂度是多项式时间的。

把两种算法相提并论，要么是这两种算法都已经非常完备，要么都有需改进之处。

显然不属于前者，即两者都有需要改进之处。

几十年来，研究者通过不断努力，在两种算法的计算上都取得相当的进展。

1数学模型线性规划问题通常表示成如下两种形式:标准型、规范型。

设jj(2…，n)是待确定的非负的决策变量；认2…，n)是与决策变量相对应的价格系数；K2…mj=l2…n)是技术系数；b(i12…，m)是右端项系数；线性规划是运筹学最基本、运用最广泛的分支，是其他运筹学问题研究的基础。

在20世纪50年代到60年代期间，运筹学领域出现许多新的分支：非线性规划（nonlinearprogranming、商业应用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)随机规划（stochasticPKgiamniig)、整数规划(ntegerprogramming)、互补转轴理论（amplmentaiyPivotheor)多项式时间算法（polynomialtjneagatm)等。

第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。

②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。

单纯形法、大M法单纯形法是一种线性规划算法，通常用于寻找线性规划问题的最优解。

它的基本思想是在约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值。

单纯形法是由美国数学家乔治·达内在1947年提出的，是目前应用最广泛的解线性规划问题的方法之一。

单纯性法的原理是基于一个立方体模型的，该模型由各种小三角形组成。

每个三角形都是由原问题的一个约束条件所定义的平面，当这些平面被绘制时，它们会将立方体分成多个小三角形。

在这个模型中，每个小三角形代表了原问题的一个可行解，即满足所有约束条件的解。

最初的解法是从任意一个可行解作为起始点，通过一系列变形（称为单纯形变换）来寻找可行解中的最优解。

这个过程可以看作是在不断地将一个小三角形变形成另一个小三角形的过程。

具体而言，我们会找到一个角点（即可行解的某个顶点），然后对它进行变形，通过不断调整其他的角点直到得到一个更优的可行解。

在单纯性法的过程中，还有一些其他的要点需要注意。

首先，我们需要选择一个合适的起始点。

通常情况下，我们会选择一个位于可行域的角点，这可以通过求解一个最小化问题来实现。

其次，每一次变形都会改变模型中三角形表面的形状，从而使得原来的角点可能不再是新的最优解。

因此，在每次变形后，我们需要重新计算通过各个角点可以到达的最优解，然后再进行变换。

最后，为了保证算法能够收敛，需要对一些特殊情况进行处理，比如出现无界解或无可行解的情况。

尽管单纯性法是目前应用最广泛的线性规划算法之一，但它也存在一些问题。

比如，它对于非特定类型的问题来说，可能会产生较低的收敛速度，尤其是在高维空间中更为明显。

此外，如果问题的可行域非常大，那么单纯形法可能需要很长的计算时间才能找到最优解。

因此，针对这些问题，研究人员提出了一些改进的方法，比如内点法、动态规划等。

大M法是一种针对线性规划问题的算法，它可以将不等式约束转化为等式约束，从而使问题更容易求解。

大M法是一种通用方法，可以用于解决任何线性规划问题，不论其约束条件是等式还是不等式形式。