大一高数复习资料全

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- - 考试资料 高等数学（本科少学时类型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）

○邻域（去心邻域）（★）

,|Uaxxa

,|0Uaxxa

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列nx，证明limnxxa

【证明示例】N语言

1．由nxa化简得gn，

∴Ng

2．即对0，Ng。当Nn时，始终有不等式nxa成立，

∴axnxlim

第三节 函数的极限

○0xx时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数xf，证明Axfxx0lim

【证明示例】语言

1．由fxA化简得00xxg，

∴g

2．即对0，g，当00xx时，始终有不等式fxA成立，

∴Axfxx0lim

○x时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数xf，证明Axfxlim

【证明示例】X语言

1．由fxA化简得xg，

∴gX

2．即对0，gX，当Xx时，始终有不等式fxA成立，

∴Axfxlim

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★）

函数xf无穷小0limxf 函数xf无穷大xflim

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设xf为有界函数，xg为无穷小，则lim0fxgx

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若xf为无穷大，则1fx为无穷小；反之，若xf为无穷小，且0fx，则xf1为无穷大

【题型示例】计算：0limxxfxgx（或x）

1．∵fx≤M∴函数fx在0xx的任一去心邻域,0xU内是有界的；

（∵fx≤M，∴函数fx在Dx上有界；）

2．0lim0xgxx即函数xg是0xx时的无穷小；

（0limxgx即函数xg是x时的无穷小；）

3．由定理可知0lim0xxfxgx

（lim0xfxgx）

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★）

（定理一）加减法则

（定理二）乘除法则

关于多项式px、xq商式的极限运算

设：nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110

则有0lim00baxqxpxmnmnmn

000lim00xxfxgxfxgx0000000,00gxgxfxgxfx

（特别地，当00lim0xxfxgx（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解） - -

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- - 考试资料 【题型示例】求值233lim9xxx

【求解示例】解：因为3x，从而可得3x，所以原式23333311limlimlim93336xxxxxxxxx

其中3x为函数239xfxx的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：00233323311limlimlim9269xLxxxxxxx

○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数xf是定义域上的连续函数，那么，00limlimxxxxfxfx

【题型示例】求值：93lim23xxx

【求解示例】22333316limlim9966xxxxxx

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★）

第一个重要极限：1sinlim0xxx

∵2,0x，xxxtansin∴1sinlim0xxx

0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxxxxxxx

（特别地，000sin()lim1xxxxxx）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：exxx11lim

（一般地，limlimlimgxgxfxfx，其中0limxf）

【题型示例】求值：11232limxxxx

【求解示例】 211121212122121122122121lim21221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：12lim1212121212122lim121xxxxxxxxxeeee

第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）

○等价无穷小（★★）

1．~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1UUUUUUUe

2．UUcos1~212

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：xxxxxx31ln1lnlim20

【求解示例】

3131lim31lim31ln1lim31ln1lnlim,0,000020xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因为

第八节 函数的连续性

○函数连续的定义（★）

000limlimxxxxfxfxfx

○间断点的分类（P67）（★）

）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数xaexfx2 ，00xx应该怎样选择数a，使得xf成为在R上的连续函数？

【求解示例】

1．∵2010000feeefaafa

2．由连续函数定义efxfxfxx0limlim00 - -

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- - 考试资料 ∴ea

第九节 闭区间上连续函数的性质

○零点定理（★）

【题型示例】证明：方程fxgxC至少有一个根介于a与b之间

【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数xfxgxC在闭区间,ab上连续；

2．∵0ab（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间ba,内至少有一点，使得0，即0fgC（10）

4．这等式说明方程fxgxC在开区间ba,内至少有一个根

第二章 导数与微分

第一节 导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）

【题型示例】已知函数baxexfx1 ，00xx在0x处可导，求a，b

【求解示例】

1．∵0010fefa，00001120012feefbfe

2．由函数可导定义0010002ffafffb

∴1,2ab

【题型示例】求xfy在ax处的切线与法线方程

（或：过xfy图像上点,afa处的切线与法线方程）

【求解示例】

1．xfy，afyax|

2．切线方程：yfafaxa

法线方程：1yfaxafa

第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则

○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）

1．线性组合（定理一）：()uvuv

特别地，当1时，有()uvuv

2．函数积的求导法则（定理二）：()uvuvuv 3．函数商的求导法则（定理三）：2uuvuvvv

第三节 反函数和复合函数的求导法则

○反函数的求导法则（★）

【题型示例】求函数xf1的导数

【求解示例】由题可得xf为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且0xf；∴11fxfx

○复合函数的求导法则（★★★）

【题型示例】设2arcsin122lnxyexa，求y

【求解示例】

2222222arcsin122arcsin122222arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin12211121121221221xxxxxxxyexaexaxxaexaxexaxxxexxaexaeexa解：2n1222212xxxxxxa

第四节 高阶导数

○1nnfxfx（或11nnnndydydxdx）（★）