湖南省2019届高三六校联考试题(4月)数学(理)Word版含解析
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湖南省2019届高三六校联考试题
数学（理科）
由常德市一中师大附中湘潭市一中
长沙市一中岳阳市一中株洲市二中联合命题
炎德文化审校、制作
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时量120分钟，满分150分。
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴
的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z满足(1＋i)z＝||－4i，则z＝
A．2＋2i B．1＋2i C．1－2i D．2－2i
2．已知集合A＝x|x＋3
1－x≥０，则?RA＝
A．[－3，1) B．(－∞，－3)∪[1，＋∞）
C．(－3，1) D．(－∞，－3]∪(1，＋∞）3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，
下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]
内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．
其中正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x等
于
A．2 B．3 C．4 D．1
5．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－x
x－2，则函数在x＝－1处的切线方程是
A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－2＝0
6．如图，在矩形OABC中的曲线分别是y＝sin x，y＝cos x的一部分，Aπ
2，0，C(0，
1)，在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则
A．P1>P2 B．P1
7．已知△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，AD⊥BC于D，AD→＝λAB→＋μAC→，则λ
μ＝
A．6 B．32 C．3 D．23
8．已知双曲线C：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)，以点P(b，0)为圆心，a为半径作圆P，圆P
与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°，则C的离心率为
A.7
2 B.5
2 C.2 D.3
9．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：2019＋100＝2119，
则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为2019的“简单
的”有序对的个数是
A．30 B．60 C．96 D．100 10．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于
A．e B．1 C.1
e D．－1
11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ）ω>0，φ∈π
2，π的部分图象如图所示，且f(x)
在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值
范围是
A.7
12，13
12 B.7
12，13
12 C.11
12，17
12 D.11
12，17
12
12．已知函数f(x)＝ex－ax－1在区间()－1，1内存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一
整数解，则a的取值范围是(其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）
A.e2－1
2e2，e B.e2－1
2e2，1∪e－1，e2－1
2
C.e2－1
2e2，e－1
e∪()e－1，e D．(e－1，e)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知二项式ax－1
x6的展开式中的常数项为－160，则a＝________．
14．若实数x，y满足不等式组x＋y－4≤0，
2x－3y－8≤0，
x≥1，则目标函数z＝3x－y的最大值为
________．15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如
图，若四棱锥P－ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外
接球半径为R，内切球半径为r，则R
r＝________．
16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若c＝2b，△ABC的面积为1，则a的最小值为________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题，共60分。
17．(本小题满分12分)
已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意的r、t∈N*，都有SrSt＝r
t2.
(Ⅰ)判断{an}是否为等差数列，并证明你的结论；
(Ⅱ)若数列{bn}满足anbn＝2n－1(n∈N*)，设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn<6.
18．(本小题满分12分)
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝1
2.已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF
沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′－EF－B的大小是60°.连接C′B，C′A，如图：
(Ⅰ)求证：平面C′FA⊥平面ABC′；(Ⅱ)求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．
19．(本小题满分12分)
已知平面上一动点P到定点F(3，0)的距离与它到直线x＝43
3的距离之比为3
2，记动
点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)设直线l：y＝kx＋m与曲线C交于M，N两点，点M在x轴上的射影为G，O为坐标
原点，若4OM→·ON→＝9OG→·ON→，求△MON面积的最大值．
20．(本小题满分12分)
随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产－运输－销售一体化的直销供应模式，不仅减少了成本，而且减去了蔬菜
的二次污染等问题．
(Ⅰ)在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的．根据统计某种有机蔬菜的
产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y(百斤)与使用堆沤肥料
x(千克)之间对应数据如下表：
使用堆沤肥料x (千克) 2 4 5 6 8
产量增加量y(百斤) 3 4 4 4 5
依据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；并根据所求线性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增
加量y是多少百斤？(Ⅱ)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的
价格销售到生鲜超市．“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖
不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都
低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货)．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的
前8小时内的销售量(单位：份)，制成如下表格 (注：x，y∈N*，且x＋y＝30)：
每日前8个小时
销售量(单位：份) 15 16 17 18 19 20 21
频数10 x 16 16 15 13 y
若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机
蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求x的取值范围．
附：回归方程系数公式b^＝错误!，错误!＝错误!－错误!·错误!.
21．(本小题满分12分)
已知f(x－1)＝2ln(x－1)－kx＋k(x>1)．
(Ⅰ)判断当－1≤k≤０时f(x)的单调性；(Ⅱ)若x1，x2(x1≠x2)为f(x)两个极值点，求证：x[f(x1)＋f(x2)]≥(x＋1)[f(x)＋2－
2x]．
(二)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝m＋2t，
y＝2t(t为参数)，以坐标原点为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4
1＋sin2θ.
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(Ⅱ)设P为曲线C上的点，PQ⊥l，垂足为Q，若||PQ的最小值为2，求m的值．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－2a|－|x－a|，a∈R.
(Ⅰ)若f(1)>1，求a的取值范围；
(Ⅱ)若a<0，对x，y∈(－∞，a]，都有不等式f(x)≤||y＋2020＋|y－a|恒成立，
求a的取值范围．
湖南省2019届高三六校联考试题
数学(理科)参考答案
命题学校：师大附中、湘潭市一中一、选择题
题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案D B B C C A A C B B D C
1.D 【解析】(1＋i)z＝4，z＝4
1＋i＝2－2i.
2．B 【解析】∵(x＋3)(x－1)≤０且x≠1，∴A＝{}x|－3≤x<1，∴?RA＝(－∞，－
3)∪[1，＋∞)．
3．B 【解析】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低
于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在
区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，
且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退
步，故④不正确．故选B.
4．C 【解析】该几何体为四棱锥，体积为
V＝12（2＋4）×２
3·x＝8，
∴x＝4.
5．C 【解析】当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x
x＋2，∴f(x)＝x
x＋2(x<0)，
k＝f′(－1)＝2，切点为(－1，－1)，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)．
∴切线方程为2x－y＋1＝0.
6．A 【解析】根据题意，阴影部分的面积的一半为
∫π40(cos x－sin x)dx＝2－1，
于是此点取自阴影部分的概率为P1＝2×2－1
π2＝4（2－1）
π>4（1.4－1）
3.2＝1
2.
又P2＝1－P1<1
2，故P1>P2.
7．A 【解析】BC→＝AC→－AB→，∵AD→⊥BC→，
∴(λAB→＋μAC→)·(－AB→＋AC→)＝0，
∴－λAB→2＋μAC→2＋(λ－μ）AB→·AC→＝0，∴λ＝6μ，∴λ
μ＝6.
8．C 【解析】不妨设双曲线C的一条渐近线bx－ay＝0与圆P交于M，N，因为∠MPN
＝90°，所以圆心P到bx－ay＝0的距离为b2
a2＋b2＝b2
c＝2
2a，即2c2－2a2＝2ac，解得e
＝2.故选C.
9．B 【解析】值为2019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10＝60.故选B.
